Da 9 a n, da 10 a n+1

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lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

Stabilire un criterio di divisibilità per n in un sistema di numerazione in base n+1.
<BR>

sergio_vanni
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Messaggio da sergio_vanni » 01 gen 1970, 01:33

Credo che il criterio di divisibilità per n (all\'interno di un qualsiasi sistema di numerazione in base n+1) sia il medesimo che vale nel sistema decimale:
<BR>Se la somma delle cifre che compongono un numero è divisibile per n allora anche il numero è divisibile per n.[addsig]
Il delitto non paga, paga il mandante

N3o
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Messaggio da N3o » 01 gen 1970, 01:33

Un numero è divisibile per n se la somma delle sue cifre della sua rappresentazione in base n+1 è divisibile per n.
<BR>Infatti:
<BR>n+1 == 1 (mod n)
<BR>(n+1)^k == 1 (mod n)
<BR>
<BR>Se A è un qualsiasi numero naturale, abbiamo:
<BR>A = a0 + a1(n+1) + a2(n+1)^2 + ... + ak(n+1)^k == a0 + a1 + a2 + ... + ak (mod n),
<BR>da cui la tesi.
<BR>
<BR>Un quesito simile: trovate il criterio di divisibilità per n+1 in un sistema in base n.

lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

Mi attengo alla tua notazione.
<BR>Se k è un intero positivo
<BR>n^2k==-1 (mod n+1)
<BR>n^(2k+1)==1 (mod n+1)
<BR>
<BR>Se A è un dato numero numero naturale e a0, a1,...,aR le sue cifre abbiamo (con R es. pari):
<BR>A = a0(n^0-1)+a1(n+1)+a2(n^2-1)+...+aR(n^R-1)+a0-a1+a2-...+aR.
<BR>La prima parte dell\'espressione (sino ad a0 escluso) è == 0 (mod n+1), perciò la divisibilità di A per n+1 dipenderà dalla differenza fra le cifre di posto pari e quelle di posto dispari.
<BR>
<BR>Ciao,
<BR>lordgauss
<BR>
<BR>

lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

Allora io rilancio <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> .
<BR>Trovare un criterio di divisibilità per 7 (non è richiesta la dimostrazione, tanto è sempre la stessa) e risolvere il seguente problema:
<BR>sapendo che il numero intero di 6 cifre decimali ABCDEF è multiplo di 7, dimostrare che anche il numero BCDEFA è multiplo di 7.
<BR>(dalla gara senior 1990)
<BR>NOTA: la soluzione può essere fatta anche senza criterio, ma utilizzandolo si semplifica molto.
<BR>Ciao [addsig]

Kornholio
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Messaggio da Kornholio » 01 gen 1970, 01:33

poniamo che 7 divida N, numero con 2 o
<BR>più cifre. Poniamo N=10a+b e ragioniamo
<BR>in modulo 7 :
<BR>
<BR>(10a+b) congruo a
<BR>(3a-6b) uguale a
<BR>3(a-2b)
<BR>
<BR>se (a-2b) è nullo, 7 divide N. Per questo la
<BR>prova di divisibilità può essere condotta
<BR>col seguente criterio :
<BR>
<BR>si considera N come 10a+b
<BR>si pone N[1] uguale (a-2b)
<BR>si considera N[1] come 10c+d
<BR>si pone N[2] uguale a (c-d)
<BR>and so on...
<BR>
<BR>per quanto riguarda la seconda parte
<BR>del quesito si può tranquillamente far
<BR>riferimento alle magiche proprietà del
<BR>numero (1000000-1)/7 ....
<BR>
<BR>jack202
<BR>
Lex maxima : se qualcosa può andar male, prima o poi lo farà

lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

Kornholio, il numero che hai citato, ovvero 142857, è come saprai un cosiddetto numero ciclico.
<BR>Ciclico perchè le cifre di cui è composto nei suoi multipli (fino al sestuplo) si ripetono ciclicamente:
<BR>142857*2=285714
<BR>142857*3=428571
<BR> ...
<BR>Incredibilmente, invece, 142857*7=999999.
<BR>Proporrei a questo punto una specie di gara; vediamo chi riesce a dare più risposte alle seguenti domande:
<BR>1) conosci qualche altro numero ciclico oltre a 142857? Se sì, puoi postarlo? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
<BR>2) conosci qualche altra proprietà dei numeri ciclici?
<BR>Ciao a tutti [addsig]

sergio_vanni
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Messaggio da sergio_vanni » 01 gen 1970, 01:33

Non è incredibile che
<BR>142857*7 = 999999
<BR>Infatti se N è un numero ciclico a n cifre, il ciclo deve chiudersi in n modificazioni. Nel caso di specie con
<BR>142857*6 = 857142
<BR>il ciclo si è chiuso.
<BR>Da notare che i sei numeri del ciclo iniziano secondo l\'ordine crescente delle sei cifre che sono all\'interno di N = 142853 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> [addsig]
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lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

Altre curiosità sui numeri ciclici.
<BR>Innanzitutto ecco come crearli:
<BR>dividiamo 1 per un primo p. Se il periodo è di lunghezza p-1 allora il numero costituito dalle cifre del periodo è un numero ciclico.
<BR>ESEMPI
<BR>1/7=0,142857142...
<BR>142857 è ciclico
<BR>1/17=0,0588235294117647588...
<BR>588235294117647 è ciclico
<BR>Il ciclico successivo è dato dalle cifre del periodo di 1/23.
<BR>Domanda: per che numero dovremo moltiplicare il 2° e il 3° ciclico per ottenere una serie di 9?
<BR>E quanti 9 otterremo?
<BR>Queste notizie mi sembra di averle prese da Internet, ma non ho più il nome del sito...
<BR>Ciao
<BR>
<BR>
<BR>[addsig]<BR><BR><font size=1>[ This message was edited by: lordgauss on 2001-06-19 16:25 ]</font>

sergio_vanni
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Messaggio da sergio_vanni » 01 gen 1970, 01:33

ATTENZIONE
<BR>Il numero ciclico non è 588235294117647 ma
<BR>N = 0588235294117647
<BR>(Lo zero iniziale deve essere omesso nelle moltiplicazioni, ma compare sempre nel risultato). Poiche il numero ha 16 cifre, sono possibili 16 \"variazioni sul tema\": alla 17a variazione compariranno tutti \"9\".
<BR>Risposta:
<BR> N*17 = 999999...
<BR>
<BR>Per estensione sarei portato a dire che nel caso delle cifre del periodo 1/23 saranno possibili 22 \"variazioni\" ed alla 23a prova compariranno tutti 9.
<BR>
<BR>
<BR>[addsig]<BR><BR><font size=1>[ This message was edited by: sergio_vanni on 2001-06-19 16:52 ]</font>
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lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

L\'argomento numeri ciclici non è certo chiuso. Infatti ci si può chiedere: ma un numero ciclico di p-1 cifre, moltiplicato per un numero maggiore di p, perde tutte le sue proprietà? Certo che no! Facciamo una prova
<BR>142857*254=36285678. Dividiamo questo numero, partendo da destra, in gruppi di p-1, ovvero 6, cifre e sommiamo i gruppi ottenuti (anche i gruppi eventualmente non di 6 cifre che rimangono alla fine): 285678+36=285714.
<BR>Ancora la sequenza di cifre! Facciamo lo stesso moltiplicando un numero ciclico per un multiplo di p.
<BR>142857*252=35999964. 99964+35=999999.
<BR>Ebbene sì! Sono brutte bestie...
<BR>Ciao <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> [addsig]

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