successione simpatica

[FrancescoVeneziano]

a(0)=1
<BR>a(1)=a
<BR>a(n+1)=(a(n)+a(n-1))/2 n>1 intero
<BR>
<BR>Calcolare il limite con n tendente ad infinito degli a(n)
<BR>
<BR>CaO (ossido di calcio)

[alefig]

Che bel problema...chissà com\'è, ma mi ricorda qualcosa...
<BR>Beh, buon divertimento a tutti! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>Ciao,
<BR>Alessio

[colin]

Giacchè mi sembra facile (non sarà che sto sbagliando qualcosa?) intanto dimostro che i valori di a_n, per a_n arbitrariamente grandi, convergono ad un qualche valore compreso tra 1 e (a+1)/2.
<BR>l\'approsimazione ovviamente può essere migliorata...
<BR>
<BR>Dunque
<BR>
<BR>Se ho ben capito l\'enne+unesimo termine è la media aritmetica dei due precedenti termini.
<BR>
<BR>Sulla retta dei numeri la media aritmetica corrisponde alla metà della distanza che c\'è tra i due numeri e quindi è minore del numero-termine maggiore di cui si sta calcolando la media e maggiore di quello minore.
<BR>
<BR>Si può quindi dire che si succederanno sempre valori di a_n+1 minori del maggiore fra i due termini di cui si calcola la media (che poi è appunto a_n+1)
<BR>ma anche maggiori del minore fra i due termini di cui si calcola la media ( vedi parentesi sopra).
<BR>
<BR>E quindi compresi tra 1 e (a+1)/2
<BR>
<BR>QED
<BR>
<BR>Vista l\'ora è il meglio che potessi fare...
<BR>
<BR>Bye
<BR>
<BR>

[jack_202]

Prendiamo la successione
<BR>
<BR>b[n] = b[n-1] + 2 b[n-2]
<BR>
<BR>con b[1]=b[2]=1
<BR>
<BR>avremo
<BR>a[n] = ( b[n] a + b[n-1] ) / ( 2^(n-1))
<BR>
<BR>sciogliendo la successione
<BR>b[n]= 1/3 [ 2^n - (-1)^n]
<BR>
<BR>dunque
<BR>lim(n->inf) a[n] = (2a+1)/3
<BR>
<BR>controllate i passaggi perché i conti non sono il mio forte...
<BR>

[ma_go]

Ok, il risultato è questo jack, ma ci sono arrivato con un metodo un po\' più diretto e brutale..
<BR>Consideriamo la successione, si ricava (con un metodo che non ho voglia di spiegare, e che si trova sulle dispense olimpiche) che
<BR>a_n = (2a+1)/3 + (a-1)/3*(-1/2)^n, per cui, per n che tende ad infinito, a_n tende a (2a+1)/3.

[Maus]

Mi sapreste indicare un sito per approfondire sulle successioni?

[DD]

jack e ma_go, la scuola è un optional, vedo...

[ma_go]

hai qualche idea migliore sull\'utilizzo proficuo dell\'ora di informatica (ipertesto sui cambiamenti di stato)??

[alefig]

Ok, dai, questo era facile...
<BR>Questo è un po\' più difficile, ma neanche troppo:
<BR>sia
<BR>a(1)=a
<BR>a(n+1)=a(n)/2 + a(n)^2.
<BR>Trovare, se esiste, lim per n-->+inf.
<BR>Good luck!

[colin]

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2002-12-09 22:50, alefig wrote:
<BR>Ok, dai, questo era facile...
<BR>Questo è un po\' più difficile, ma neanche troppo:
<BR>sia
<BR>a(1)=a
<BR>a(n+1)=a(n)/2 + a(n)^2.
<BR>Trovare, se esiste, lim per n-->+inf.
<BR>Good luck!
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>
<BR>Qualcuno ha qualche idea??????

[alefig]

Un suggerimento: non cercate di trovare una formula esplicita (penso sia praticamente impossibile)...studiate i sottocasi! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

[Azarus]

mmh..scusa una cosa...ho notato che sei di Pisa Alefig...

[jack_202]

Beh, direi che tale successione converge a 0 se abbiamo 0<=a<=1/2,
<BR>altrimenti diverge... giusto una disuguaglianza.
<BR>
<BR>

[alefig]

Un consiglio per Jack202:controlla bene tutti i casi, sia positivi che negativi!
<BR>Ciao,
<BR>Alessio
<BR>
<BR>
<BR>p.s. Azarus, guarda che ci conosciamo: l\'ultima volta che ci siamo visti è stato quando hai portato a Francesco i testi delle olimpiadi alla mensa della Normale e ci siamo messi a parlare con Lucio.
<BR>

[ma_go]

Si può risolvere graficamente (assi cartesiani, una parabole e UNA retta)?