nessuno è perfetto

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Calcolare la probabilità che le ultime quattro cifre di un quadrato perfetto siano 3946

CassanodiGaeta2000 · Messaggio da **CassanodiGaeta2000** » 01 gen 1970, 01:33

Le possibilità sono nulle infatti non esistono quadrati che terminino con 46.
 1)osservo che se a^2 termina per 6 allora a terminerà per 4 o per 6.
 2)se vogliamo trovare le ultime 2 cifre di a^2 basta ragionare sulle ultime 2 cifre di a e non sull’ intero numero.
 Premesso ciò un se a^2 termina con 46 la sua base sarà o del tipo 100y+10x+4 o 100y+10x+6, ma per il punto 2) considero solo le ultime 2 cifre. Nel primo caso elevando al quadrato ottengo 100x^2+80x+16. E’ evidente che la penultima cifra sarà dispari per qualsiasi valore di n e dunque le ultime due cifre non saranno mai 46. Si fa lo stesso ragionamento per 100x^2+120x+36 e si ha lo stesso esito.
 Grazie a questo problema si può stabilire uno pseudo-teorema:
 Se un quadrato termina per 6 la penultima cifra è un numero dispari.
 Domanda a tutti:
 Con le altre cifre finali dei quadrati (0,1,4,5,9) si possono fare ragionamenti analoghi sulla penultima?

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Complimenti Cassano!
 La tua dimostrazione è molto diversa da quella che trovato io: per questo posto anche la mia soluzione.
 Se a^2 finisse per 46 significherebbe che è congruo a 2 mod 4, il che è impossibile. Infatti o a è del tipo 4k, o del tipo 4k+1, o 4k+2, o 4k+3. Nel primo e nel terzo caso a^2 è congruo a 0 mod 4, nel secondo e nel quarto è congruo ad 1.
 (NOTA: dire che n è congruo a m mod p significa che n diviso per p dà resto m).
 Infine la tua ultima domanda: basta procedere come hai fatto tu nella soluzione. Ovvero, se chiamiamo a il numero, b la sua penultima cifra e c la sua ultima cifra:
 1- Data l\'ultima cifra di a^2, considerare i possibili valori di c
 2- Analizzare ora i possibili valori di 20cb+c
 3- trarre conclusioni.
 Ciao ed ancora complimenti,
 (se è lecito: vai a Gaeta anche quest\'anno?)
 
 lordgauss
 [ This message was edited by: lordgauss on 2001-06-11 20:24 ]

sergio_vanni · Messaggio da **sergio_vanni** » 01 gen 1970, 01:33

La soluzione del quesito finale sollevato da Cassano è nella sua stessa formula. Dato un numero
 n = 10y + x
 si avrà che
 A) n^2 = 100*y^2 + 20*y*x + x^2
 Il secondo addendo della sommatoria definisce le decine nel caso in cui l\'ultima cifra sia 1, 2 o 3. In tal caso la penultima cifra del quadrato deve essere un numero pari. Se il \"riporto\" dall\'ultimo addendo (x^2 > 10) è dispari, allora la penultima cifra è dispari (come ha illustrato Cassano per i terminali x = 4 e x = 6, che sono peraltro gli unici a generare quadrati aventi la penultima cifra dispari). In tutti gli altri casi la penultima cifra è sempre pari (includendo lo zero tra le cifre pari).
 E\' da notare che
 - se x = 0 allora il secondo addendo della A) è nullo e pertanto n^2 dovrà terminare con un doppio zero e che
 - se x = 5 allora il secondo addendo della A) diviene 100*y e pertanto n^2 dovrà terminare per 25.
 Credo che nel caso di quadrati di numeri aventi cifra terminale diversa da zero e da 5 la penultima cifra (dispari per x = 4 e per x = 6; pari negli altri casi) possa variare al variare del valore di y.
 
 [addsig]
 
 [ This message was edited by: sergio_vanni on 2001-06-12 12:36 ]
 
 [ This message was edited by: sergio_vanni on 2001-06-12 12:38 ] [ This message was edited by: sergio_vanni on 2001-06-13 09:29 ]