nessuno è perfetto

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lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

Calcolare la probabilità che le ultime quattro cifre di un quadrato perfetto siano 3946

CassanodiGaeta2000
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Messaggio da CassanodiGaeta2000 » 01 gen 1970, 01:33

Le possibilità sono nulle infatti non esistono quadrati che terminino con 46.
<BR>1)osservo che se a^2 termina per 6 allora a terminerà per 4 o per 6.
<BR>2)se vogliamo trovare le ultime 2 cifre di a^2 basta ragionare sulle ultime 2 cifre di a e non sull’ intero numero.
<BR>Premesso ciò un se a^2 termina con 46 la sua base sarà o del tipo 100y+10x+4 o 100y+10x+6, ma per il punto 2) considero solo le ultime 2 cifre. Nel primo caso elevando al quadrato ottengo 100x^2+80x+16. E’ evidente che la penultima cifra sarà dispari per qualsiasi valore di n e dunque le ultime due cifre non saranno mai 46. Si fa lo stesso ragionamento per 100x^2+120x+36 e si ha lo stesso esito.
<BR>Grazie a questo problema si può stabilire uno pseudo-teorema:
<BR>Se un quadrato termina per 6 la penultima cifra è un numero dispari.
<BR>Domanda a tutti:
<BR>Con le altre cifre finali dei quadrati (0,1,4,5,9) si possono fare ragionamenti analoghi sulla penultima?
<BR>

lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

Complimenti Cassano!
<BR>La tua dimostrazione è molto diversa da quella che trovato io: per questo posto anche la mia soluzione.
<BR>Se a^2 finisse per 46 significherebbe che è congruo a 2 mod 4, il che è impossibile. Infatti o a è del tipo 4k, o del tipo 4k+1, o 4k+2, o 4k+3. Nel primo e nel terzo caso a^2 è congruo a 0 mod 4, nel secondo e nel quarto è congruo ad 1.
<BR>(NOTA: dire che n è congruo a m mod p significa che n diviso per p dà resto m).
<BR>Infine la tua ultima domanda: basta procedere come hai fatto tu nella soluzione. Ovvero, se chiamiamo a il numero, b la sua penultima cifra e c la sua ultima cifra:
<BR>1- Data l\'ultima cifra di a^2, considerare i possibili valori di c
<BR>2- Analizzare ora i possibili valori di 20cb+c
<BR>3- trarre conclusioni.
<BR>Ciao ed ancora complimenti,
<BR>(se è lecito: vai a Gaeta anche quest\'anno?)
<BR>
<BR>lordgauss
<BR><BR><BR><font size=1>[ This message was edited by: lordgauss on 2001-06-11 20:24 ]</font>

sergio_vanni
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Messaggio da sergio_vanni » 01 gen 1970, 01:33

La soluzione del quesito finale sollevato da Cassano è nella sua stessa formula. Dato un numero
<BR>n = 10y + x
<BR>si avrà che
<BR>A) n^2 = 100*y^2 + 20*y*x + x^2
<BR>Il secondo addendo della sommatoria definisce le decine nel caso in cui l\'ultima cifra sia 1, 2 o 3. In tal caso la penultima cifra del quadrato deve essere un numero pari. Se il \"riporto\" dall\'ultimo addendo (x^2 > 10) è dispari, allora la penultima cifra è dispari (come ha illustrato Cassano per i terminali x = 4 e x = 6, che sono peraltro gli unici a generare quadrati aventi la penultima cifra dispari). In tutti gli altri casi la penultima cifra è sempre pari (includendo lo zero tra le cifre pari).
<BR>E\' da notare che
<BR>- se x = 0 allora il secondo addendo della A) è nullo e pertanto n^2 dovrà terminare con un doppio zero e che
<BR>- se x = 5 allora il secondo addendo della A) diviene 100*y e pertanto n^2 dovrà terminare per 25.
<BR>Credo che nel caso di quadrati di numeri aventi cifra terminale diversa da zero e da 5 la penultima cifra (dispari per x = 4 e per x = 6; pari negli altri casi) possa variare al variare del valore di y.
<BR>
<BR>[addsig]
<BR>
<BR><font size=1>[ This message was edited by: sergio_vanni on 2001-06-12 12:36 ]</font>
<BR>
<BR><font size=1>[ This message was edited by: sergio_vanni on 2001-06-12 12:38 ]</font><BR><BR><font size=1>[ This message was edited by: sergio_vanni on 2001-06-13 09:29 ]</font>
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