Equazioni disfunzionali

[Gauss]

Ed ecco a voi (per quelli che non sono ancora del tutto allibiti o esterrefatti e tantomeno esterificati) due belle equazioni funzionali (ReKayo, All rights Reserved)
<BR>
<BR>1) determinare tutte le funzioni f:R-->R tali che per ogni x e y reali:
<BR>f(xf(y)+x)=xy+f(x) [continua almeno in x=0]
<BR>
<BR>2)determinare tutte le funzioni f:R-->R tali che per ogni x e y reali:
<BR>f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Gauss il 03-12-2002 17:53 ]

[WindowListener]

veramente belline.........
<BR>
<BR>per la 2)
<BR>
<BR>se poniamo x = 0
<BR>
<BR>[1] f(f(y)) = f(0)^2 +y
<BR>
<BR>ora dimostriamo che f(0) = 0
<BR>
<BR>- applichiamo questa sostituzione
<BR> f(x) = y da cui f(f(x)) = x+ f(0)^2 -> f(y)-f(0)^2 = x
<BR>
<BR>f(y[f(y)-f(0)^2]+f(y) ) = y^2+y
<BR>
<BR>quindi se y = 0 f(f(0)) = 0 quindi dalla [1] 0 = f(0)^2 f(0) = 0
<BR>
<BR>la [1] diventa f(f(y)) = y
<BR>(la funzione è simmetrica risp alla bisettrice del 1 e 3 quadrante) ;
<BR>
<BR>-- f(x) = y
<BR>f(yf(y)+ f(y) ) = y^2+y
<BR>
<BR>-- x = y
<BR>
<BR>f(yf(y)+f(y) ) = f(y)^2 +y
<BR>
<BR>quindi
<BR>
<BR>f(y)^2+y = y^2+y
<BR>
<BR>f(y) = y o f(y) = -y
<BR>
<BR>ciao ciao
<BR>
<BR>per la prima devo pensarci ..................... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">