funzione in 2 variabili

Vuoi proporre i tuoi esercizi? Qui puoi farlo!!

Moderatore: tutor

Bloccato
Rhossili
Messaggi: 39
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Tampere

Messaggio da Rhossili » 01 gen 1970, 01:33

<BR>esiste una funzione di due variabili z=f(x,y) (da R su R) che sia iniettiva e suriettiva?
<BR>Cioè che ogni sezione parallela al piano xy sia un punto?
<BR>
<BR>credo di no... la cardinalità del piano è più grande di quella di una retta..
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>

Avatar utente
Antimateria
Messaggi: 651
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Vergate sul Membro

Messaggio da Antimateria » 01 gen 1970, 01:33

In realtà esiste, perchè la cardinalità del piano R^2 è LA STESSA della retta R (come la cardinalità dei razionali è la stessa dei relativi).
<BR>Vogliamo una funzione bigettiva da R^2 a R: prendiamo un numero x reale, e la sua espressione decimale (consideriamo inaccettabili numeri che finiscono con infiniti 9, per evitare ambiguità). E\' chiaro che, in questo modo, esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti della retta e le scritture decimali. Prendiamo allora la scrittura decimale di x, e formiamo 2 reali y e z, le cui cifre decimali siano rispettivamente quelle di posto pari (rispetto alla virgola...) e quelle di posto dispari di x. Ci si convince facilmente che la funzione che manda ogni x nei relativi y e z è proprio quella cercata.
<BR>E\' interessante invece constatare che non esistono funzioni bigettive CONTINUE da R^2 a R. Esiste un\'elegante dimostrazione, basata sul fatto che, togliendo un punto a R lo si sconnette, mentre non è possibile sconnettere R^2 togliendogli un punto, e sul fatto che le funzioni continue conservano le proprietà di connessione degli insiemi di partenza e di arrivo...

Lucio
Messaggi: 180
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pisa

Messaggio da Lucio » 01 gen 1970, 01:33

Caro signor michiamoantimateriaemicredomoltofigo, il Suo è un intervento corretto; tuttavia ritengo sia meglio ripetere con parole + semplici quello che Lei ha detto, affinché possa capire anche chi non ha familiarità con certi concetti.
<BR>Un gruppo è una coppia. haha scherzavo...
<BR>Dunque: un insieme si dice connesso se, volgarmente parlando, è fatto di un solo \"pezzo\". Ad esempio R è connesso, l\'intervallo ]0,4] è connesso, una circonferenza è connessa; non sono connessi l\'insieme formato dall\'unione degli intervalli [1,3] e ]-2,0], R meno un punto, una circonferenza meno due punti distinti. Anche se non è corretto diciamo che un insieme è connesso se si può andare da un punto qualsiasi dell\'insieme a un punto qualsiasi dell\'insieme con una curva che sia contenuta interamente nell\'insieme stesso (a dir la verità, questa è la definizione di connessione per archi, non di connessione, ma x il nostro caso fa lo stesso).
<BR>Secondo punto: si può dimostrare che l\'immagine di un insieme connesso (per archi) tramite una funzione continua è connessa (per archi).
<BR>Allora, se esiste f : R^2 -> R biiettiva e continua, in particolare è continua la restrizione di f a R^2 meno un punto; ma R^2 meno un punto è connesso (per archi) (abbastanza evidente), mentre l\'immagine (essendo f biiettiva) è R meno un punto, che è sconnesso: di qui l\'assurdo che esista f biiettiva e continua.
<BR>
<BR>Non so se Rhossili aveva già capito, ma le discussioni su questo forum non si fanno solo per chi fa le domande.

Avatar utente
Antimateria
Messaggi: 651
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Vergate sul Membro

Messaggio da Antimateria » 01 gen 1970, 01:33

Ehi, michiamolucioepensocheantimateriasiaunosboronenarcisistaepippaiolomentale, guarda che l\'ultima parte della risposta l\'ho messa solo come curiosità finale per chi volesse documentarsi, mica pretendevo che si capisse qualcosa!!!
<BR>E poi, come argomento è un po\' off-topic in questo sito, ed ho preferito non dilungarmi.
<BR>PERDINDIRINDINA!!!
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">

Rhossili
Messaggi: 39
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Tampere

Messaggio da Rhossili » 01 gen 1970, 01:33

Forse mi sono espresso male e ambiguamente in partenza: io in realtà cercavo una funzione (da RxR su R, sorry per l\'errore) che, dati due numeri x e y reali ne associ uno solo, univocamente determinato dalla coppia ordinata (x,y).
<BR>Antimateria, la tua idea funziona per portare R su RxR, ma non per il contrario...
<BR>Infatti, se x=345,5643 , allora y=3563 e z=454 (se ho ben capito); ma il punto (y,z) è associato anche a x=34556,43 , a x=0,03455643 e così via.
<BR>Questo problema potrebbe essere risolto mantenendo il posto della virgola, ma anche in questo caso per i numeri negativi non avrebbe significato.
<BR>
<BR>Quindi rilancio la domanda.
<BR>
<BR>
<BR>

alefig
Messaggi: 33
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pisa

Messaggio da alefig » 01 gen 1970, 01:33

Ok...chiariamo un po` meglio le idee.
<BR>Consideriamo la funzione
<BR>f(x)=arctan(x)/pi +1/2.
<BR>Grazie a questa funzione facciamo vadere che R e (0,1) sono in corrispondenza biunivoca.
<BR>Allora anche R^2 e (0,1)^2 sono in corrisponbdenza biunivoca.
<BR>Se consideriamo dunque la funzione di Antimateria da (0,1)^2 in (0,1) tutto torna.
<BR>Ciao,
<BR>Alessio
<BR>

Lucio
Messaggi: 180
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pisa

Messaggio da Lucio » 01 gen 1970, 01:33

Antim: lo sapevo che ti saresti incazzato :D :D

Lucio
Messaggi: 180
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pisa

Messaggio da Lucio » 01 gen 1970, 01:33

Cmq Rhossili: la funzione detta da Antimateria è biiettiva. La virgola la metti dov\'è ovvio metterla...
<BR>nel tuo esempio a 345.5643 viene associato (35.63 , 4.54) e viceversa a (123.4 , 5.678) viene associato 10253.64708<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Lucio il 25-11-2002 22:28 ]

Bloccato