esercizio con le monete

Tassinari_Luca · Messaggio da **Tassinari_Luca** » 01 gen 1970, 01:33

Considerimo l\' esrcizio proposto originariamente da Figalli:
 si ha :
 (n=3+h,con h>=0 -d\' altronde i casi n=0,1,2 sono trivial ed in più sono già stati affrontati-)
 
 m>=(25(3)^h+1)/2.
 
 Questo costituisce il limite effettivo se h=0.
 
 Saluto Daniel spiegando che le formulette da me tratte sono quasi ovvie quando uno ha affrontato qualche caso concreto: ad esempio n=3,4.....
 dunque riterrei offensivo annoiarvi con calcoli pedanti.
 (a meno che non insistiate per vederli.........:>:>).
 Bye!!!

alefig · Messaggio da **alefig** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao Luca!
 La formula da me trovata vale anche per n=0,1 e 2.
 E ti posso dire che per n>=4 da` valori maggiori della tua...I`m sorry!
 Ciao,
 Alessio

Tassinari_Luca · Messaggio da **Tassinari_Luca** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao Alessio!
 Finalmente sono giunto alla formula definitiva:
 M=((3)^n-1)/2.
 Per dimostrare che risulta sempre possibile, date ((3)^n -1)/2 monete distinguere dopo n pesate quella falsa basta usare appropriotamente due lemmi:
 -se si avesse un numero sufficientemente grande di monete di cui si è consci del fatto che sono vere con n pesate si potrebbe distinguere quella falsa fra al massimo ((3)^n+1)/2 monete;
 -se f(n)=((3)^n-1)/2 allora f(n+1)>=((3)^n+1 -1)/2 (Si chiami m(n): f(n))
 ed il fatto che ((3)^n -1)/2 congruo 1 (mod 3^m) per tutti m<=m .
 (Ho appena finito di formalizzare tale dimostrazione :> :> :>).
 Ora per completare l\'opera basta dimostrare che con l>m monete non bastano n pesate,cosa che mi sembra piuttosto ovvia e comunque non difficile da dimostrare!
 
 Bye Bye !!!!
 
 (Congratulations alessio for the beauty of the problem proposed!!!!!)
 
 Luca

Tassinari_Luca · Messaggio da **Tassinari_Luca** » 01 gen 1970, 01:33

OK, ora ho dimostrato anche,per ricorsione, che m è effettivamente il valore massimo ottenibile(m=((3)^n-1)/2).
 Au revoir!!!!

alefig · Messaggio da **alefig** » 01 gen 1970, 01:33

Ok! La tua soluzione è proprio quella che avevo trovato. La cosa a mio parere curiosa è che, se si sapesse se la moneta è più pesante o più leggera, avremmo m(n)=3^n, mentre il non saperlo riduce di due m(n) (trascurando la parte frazionaria)...obiettivamnte io all\'inizio non mi sarei aspettato un risultato del genere!
 In ogni caso bravo Luca!
 Ciao,
 Alessio

alefig · Messaggio da **alefig** » 01 gen 1970, 01:33

Ok! La tua soluzione è proprio quella che avevo trovato. La cosa a mio parere curiosa è che, se si sapesse se la moneta è più pesante o più leggera, avremmo m(n)=3^n, mentre il non saperlo riduce di due m(n) (trascurando la parte frazionaria)...obiettivamnte io all\'inizio non mi sarei aspettato un risultato del genere!
 In ogni caso bravo Luca!
 Ciao,
 Alessio