Interessante problema di calcolo

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jack202
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Messaggio da jack202 » 01 gen 1970, 01:33

Un numero si dice BILANCIATO quando ha tante
<BR>cifre quanti divisori primi. Ex
<BR>
<BR>15 è bilanciato (2 cifre e 2 divisori primi : 3 e 5)
<BR>75 è bilanciato (2 cifre e 2 divisori primi : 3 e 5)
<BR>101 non è bilanciato (3 cifre e 1 divisore primo)
<BR>
<BR>Una volta dimostrato che l\'insieme dei numeri
<BR>bilanciati è limitato, TROVARE IL NUMERO
<BR>BILANCIATO PIù GRANDE.
<BR>
<BR>Difficoltà : abbastanza consistente.
<BR>
<BR>

Davide_Grossi
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Messaggio da Davide_Grossi » 01 gen 1970, 01:33

Diciamo che un numero bilanciato è di ordine n se ha n divisori primi e n cifre. Non esistono numeri bilanciati di ordine superiore a 10, infatti se ne esistesse uno di ordine 11, avrebbe 11 divisori primi, e anche prendendo i più piccoli (da 2 a 29 compresi) il loro prodotto è di 12>11 cifre (per la precisione 174.681.717.210). Per ordini superiori a 11 analogamente non ne esistono, poiché si moltiplica sempre per un numero maggiore di 10, che fa aumentare di almeno un\'unità il numero delle cifre.
<BR>Il massimo numero bilanciato è quindi, ovviamente, di ordine 10.
<BR>Poiché il prodotto dei 10 più piccoli numeri primi è 6.469.693.230, nel massimo numero bilanciato ogni fattore compare una e una sola volta, perché se comparisse due volte già con il più piccolo (il 2) si arriverebbe ad 11 cifre.
<BR>Per massimizzare il prodotto, proviamo a sostituire via via i fattori primi con i primi esclusi, quindi togliamo il 2 e mettiamo il 31: si vede che si ottiene un numero di 11 cifre fino a quando si toglie il 19, quindi i numeri primi fino al 19 compreso sono fattori del numero cercato. Il 23 può essere sostituito con il 31, dando 8.720.021.310, mentre con il 37 dà un numero di 11 cifre.
<BR>Tenendo il 23, il 29 può essere sostituito con al massimo il 43, dando 9.592.913.410, mentre con 47 sfora; tenendo il 31, il 29 non può essere sostituito.
<BR>Il massimo numero bilanciato è quindi 9.592.913.410, dato da 2x3x5x7x11x13x17x19x23x43.
<BR>
<BR>Mumble... forse c\'è una via più breve ed elegante...
<BR>Ciao!<BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Davide_Grossi il 2002-08-06 22:01 ]</font>
Davide Grossi

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