Ammissione al S. Anna

Vuoi proporre i tuoi esercizi? Qui puoi farlo!!

Moderatore: tutor

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castelnuovo
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Messaggio da castelnuovo »

Vi propongo qualche esrcizietto dei test di ingresso al S. Anna:
<BR>1) siano a, b, c, d, 4 numeri dimostrare che (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) è divisibile per 12
<BR>2) trovare gli interi n per cui n^2 + 4n - 1 è divisibile per 11
<BR>3) dimostrare che per ogni n>=1 (4n -1 )^(1/2) è irrazionale.
<BR>Buon divertimento
<BR>ps. ciao Lord
Davide_Grossi
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Messaggio da Davide_Grossi »

NUMERO 1)
<BR>
<BR>12 = 2²x3, fattori che devono comparire nei 6 fattori dati.
<BR>Le classi di resto modulo 3 sono ovviamente 3, i numeri a,b,c,d sono quattro, quindi per il teorema del Pingeonhole ci sono almeno due numeri che appartengono alla stessa classe, ergo c\'è almeno uno dei sei fattori che è del tipo 3k.
<BR>Per il fattore 2² discorso analogo, 4 numeri e 2 classi: o appartengono tutti alla stessa, oppure 3 ad una e 1 all\'altra, oppure 2 e 2 a ciascuna, resta il fatto che ci sono almeno due differenze pari.
Davide Grossi
lordgauss
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Messaggio da lordgauss »

CIAO CASTEL!!!!!!!!!!
<BR>Vieni in chat... dai. mIRC, #olimpiadi. Ci sono praticamente 7 ore al giorno, a mezzanotte mi becchi al 100%.
<BR>
<BR>2) posto k=n+2 ottengo che k²-5 deve essere divisibile per 11. Quindi k²==5 (11) ovvero k==4 o k==7 (11).
<BR>
<BR>3) Poniamo per assurdo (4n-1)^(1/2) = p/q, con p e q coprimi. Then q²(4n-1)=p², il che implica q²=1, da cui p²==-1 (4), assurdo.
<BR>
<BR>Bye. In ogni caso devi andare in Normale <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_wink.gif">
Davide_Grossi
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Messaggio da Davide_Grossi »

Se vogliamo essere pignoli... <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>Da k==4 o k==7 (11) si ottiene n==2 o n==5 (11). Lordgauss picchiami pure!
<BR>
<BR>Non ho capito una cosa del n°3: perchè è assurdo che sia p²==-1(4) == 3(4) ?
<BR>
<BR>Ciao!
Davide Grossi
Davide_Grossi
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Messaggio da Davide_Grossi »

Ommadonna..... che stupido... lascia perdere Lordgauss... ero in non so quale stato mentale...
Davide Grossi
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