Ramanujan Revisited

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Sylvester
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Messaggio da Sylvester » 01 gen 1970, 01:33

Mi è capitato recentemente di postare nella mailing list un\'equazione diofantea che ha procurato qualche polemica e ha anche fatto perdere la salute a qualcuno.
<BR>Rieccola: n!+1=x^2
<BR>Mentre cercavo invano di tirar fuori qualcosa di interessante su di essa ho risolto questo problema:
<BR>
<BR>\"Sia p un primo diverso da 3. Dimostrare che l\'equazione diofantea n!+p=x^2 ha al più 2(p-1) soluzioni. \"
<BR>
<BR>che benchè non c\'entri niente con la nostra equazione, o almeno non ci aiuti a risolverla, è gia interessante di per sè, e soprattutto può essere risolto con la nostra amata matematica elementare.
<BR>
<BR>Ovviamente l\'upper bound può essere eventualmente migliorato imponendo ulteriori restrizioni a p tuttavia già così l\'esercizio non è male.
<BR>
<BR>Un\'altra interessante variazione sul tema è questa equazione diofantea: n!=x^2. Provare che oltre a (n,x)=(0,1) e (n,x)=(1,1) non ha altre soluzioni. Anche qui non ci vuole altro che matematica elementare.
<BR>
<BR><p>Santi Spadaro</p>
<BR>
<BR><img src=\"http://www.magicflute.com/notes11/pics/ ... ><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Sylvester il 2002-06-27 11:19 ]</font>
<p>Santi Spadaro</p>

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CassanodiGaeta2000
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Messaggio da CassanodiGaeta2000 » 01 gen 1970, 01:33

ho appena letto il tuo problema ed ho osservato un assurdo: se p finisce con 3o7 per n maggiore di 4, n! termina con 0 ed il quadrato non può esistere quindi le soluzioni sarebbero molto limitate.ho capito male il problema o sono impazzito?

ma_go
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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

Se non sbaglio ha detto \"al più 2(p-1) soluzioni\", che può significare anche 0 soluzioni. <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_wink.gif"> [addsig]

CassanodiGaeta2000
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Messaggio da CassanodiGaeta2000 » 01 gen 1970, 01:33

SORRY!

jack202
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Messaggio da jack202 » 01 gen 1970, 01:33

Per il secondo problema utilizzo l\'artiglieria pesante...
<BR>
<BR>Lemma A (teorema di nonmiricordo)
<BR>se n>2, tra n e 2n c\'è almeno un primo
<BR>
<BR>Nella fattorizzazione di n! tutti i numeri
<BR>primi devono comparire con esponente
<BR>pari. In 3! il 3 appare con esponente
<BR>dispari, dunque bisogna che sia almeno
<BR>n=6 per avere un 3 con esponente pari.
<BR>Ma tra 3 e 6 c\'è un nuovo primo, 5.
<BR>Dunque n>=10, poi n>=14, n>=26 e
<BR>così via sino all\'infinito sempre sfruttando
<BR>il Lemma A. Efficace ma troppo avanzata....
<BR>

CassanodiGaeta2000
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Messaggio da CassanodiGaeta2000 » 01 gen 1970, 01:33

Vorrei complimentarmi con te perché il primo è un problema molto divertente.
<BR>Osserviamo che se n=0 o n=1 otteniamo p=x-1*x+1 da cui è evidente che L’ unico p è3. Per ogni altro p si può osservare che n può variare da 2 a 2p-1 al più, per cui la tesi è vera. Infatti se n>2p-1 otteniamo
<BR>K*p^2+p=x^2 da cui x=a*p per cui modulo p^2 otterremo p=0: assurdo. Si osservi inoltre che la tesi è vera anche per 3. Si verifica facilmente che vale solo per n=0,1,3, che è meno di2p-2.
<BR>Può essere interessante osservare che se n>4 p=1(40) o p=9(40). Infatti se n>4 n! finisce con 0 e affinché sia un quadrato p deve finire con1 o 9.
<BR>Inoltre n!=0(<IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_cool.gif"> X^2=1(<IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_cool.gif">poiché x dispari, da cui p=1(<IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_cool.gif">. Combinando le congruenze osservate con il teorema cinese del resto otteniamo la mia tesi.
<BR>Il secondo punto l’ ho dimostrato in maniera articolata, sono sicuro esistano altri metodi.
<BR>Poiché non è molto conosciuto spiego brevemente il principio di induzione forte:
<BR>sia p una proprietà che vogliamo dimostrare vera per i numeri naturali.
<BR>Se un caso ha questa proprietà e supponiamo vera la proprietà da quel caso a n, e riusciamo a dimostrare con questa ipotesi che è vera per n+1 allora vale per tutti i numeri da quel caso in poi.
<BR>Mettiamola all’ atto pratico: osservo che 3! Non è un quadrato e neanche il doppio di un quadrato. Suppongo ciò vero per tutti gli n da3 in poi. Ora dimostro per n+1!
<BR>Se n+1 è primo, n+1! Chiaramente non è un quadrato. Se n+1 è un quadrato, non essendolo per ipotesi n!, n+1!non è un quadrato. Se non è primo, e neanche un quadrato ci saranno 2 numeri a e b, nei primi n numeri tali che a*b=n+1.
<BR>Se n+1! Fosse ora un quadrato allora a-1! Dovrebbe essere un quadrato ma è impossibile per ipotesi induttiva. L’ unico caso a darci problemi potrebbe essere con a=2 per cui 1! È effettivamente un quadrato. Ma anche in questo caso se n+1! Fosse un quadrato si andrebbe contro l’ ipotesi, infatti ciò vorrebbe dire che b-1! È il doppio di un quadrato che per ipotesi induttiva abbiamo detto impossibile.
<BR> La dimostrazione in realtà non è finita infatti avendo preso per ipotesi che n! non è mai il doppio di un quadrato, dobbiamo dimostrarlo per n+1.
<BR>Si ripresentano così i sottocasi di prima, tutti analogamente dimostrabili, tranne l’ ultimo.
<BR>Per quest’ultimo il ragionamento è al contrario: se n+1! È il doppio di un quadrato, allora il suddetto b-1! Dovrebbe essere un quadrato, che per ipotesi è falso.
<BR>E’ DIMOSTRATO:
<BR>per ogni n>2 n! non è né un quadrato, né il doppio dello stesso, la prima cosa, quella richiesta, vale anche per 2!.
<BR>Spero di esser stato chiaro
<BR>Ciao
<BR>Cassano di Gaeta2000
<BR>

jack202
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Messaggio da jack202 » 01 gen 1970, 01:33

Per il primo un assalto più soft :
<BR><pre>
<BR>n! + p = x^2
<BR>
<BR> se n=1 si ha p=(x+1)(x-1) cioè x=0 x=2
<BR> unica soluzione 1! + 3 = 2^2 ma p diverso da 3
<BR>
<BR> se 1<n<p si hanno al più p-2 soluzioni
<BR>
<BR> se n>=2p
<BR> p divide n!
<BR> dunque x è nella forma x=yp
<BR>
<BR> (2n+k)!/p + 1 = p y^2
<BR>
<BR> ma il primo addendo è congruo a 0 mod p \"contenendo\" il fattore 2p
<BR> il secondo addendo è congruo a 1 mod p
<BR> il terzo addendo è congruo a 0 mod p
<BR>
<BR> possibili soluzioni per 1<n<2p
<BR>
<BR> al più 2(p-1) soluzioni.
<BR></pre>

Gauss
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Messaggio da Gauss » 01 gen 1970, 01:33

Teorema di Cebiscev... anche se dubito che si scriva così... forse Chebischev...
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I can smile... and kill while i smile.
</html>

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