tra Pitagora e numeri primi

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CassanodiGaeta2000
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Messaggio da CassanodiGaeta2000 » 01 gen 1970, 01:33

TRA PITAGORA E NUMERI PRIMI
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<BR>Sia p un numero primo ed n un intero naturale. Quante terne pitagoriche con un cateto pari ad un dato p^n esistono? Quante sono primarie?
<BR>
<BR>Cassano di Gaeta2000
<BR>

ma_go
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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

Tutte la terne pitagoriche (a,b,c) sono del tipo (q^2-r^2, 2qr, q^2+r^2), con q ed r interi (e q>r).
<BR>Per ora tratto solo quelle primitive.
<BR>
<BR>Ora distinguiamo due casi:
<BR>(a) p = 2: allora 2qr = 2^n: se fosse q^2-r^2 = 2^n, cioè pari. Ma anche 2qr è pari, quindi la terna non sarebbe più primitiva. Dunque qr = 2^(n-1). Ma allora r = 2^i e q = 2^(n-i-1), con i<=(n-1)/2. Dunque se p=2 abbiamo che il numero di tali terne pitagoriche è [(n-1)/2], dove con [a] si intende il massimo intero minore o uguale ad a.
<BR>
<BR>(b) p > 2: tutti i primi maggiori di due sono dispari, quindi l\'unico cateto che misuri p^n può essere il primo: q^2-r^2 = (q-r)(q+r) = p^n.
<BR>Allora impostiamo il sistema:
<BR>{ q-r = p^i (i<=(n-1)/2)
<BR>{ q+r = p^(n-i)
<BR>Questo è un sistema di primo grado, che ammette una sola soluzione per ogni i. Quindi le terne pitagoriche con un cateto pari a p^n sono [(n-2)/2].
<BR>
<BR>Se ci fossero errori siete pregati di segnalarli qui sul forum...
<BR>[addsig]

CassanodiGaeta2000
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Messaggio da CassanodiGaeta2000 » 01 gen 1970, 01:33

ben lungi da me salire in cattedra ma credo che tu abbia sbagliato, provi a rettificare?

ma_go
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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

Eh si...c\'hai perfettamente ragione... comunque le primitive sono una per ogni p^n, mentre le derivate sono quelle che mi sembravano primitive, cioè [(n-1)/2] (e non [(n-2)/2] (quest\'ultima solo se p>3). Per le terne derivate con p02 ci penserò... <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_cool.gif">

CassanodiGaeta2000
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Messaggio da CassanodiGaeta2000 » 01 gen 1970, 01:33

giustissimo per le primitive ma, non per essere scocciante, non mi sembra per le derivate. ciao Cassano

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