Pitagora!

[Ero]

Dimostrare che la 4-upla {k*n, k(n+1), k*n(n+1), k(n^2+n+1)} è una quaterna pitagorica <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">, discutere il risultato ed, inoltre, verificare se questa è l’unica che soddisfa la condizione sopra considerata <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">.

[Ero]

Riguardo la dimostrazione dell\'unicità della quaterna pitagorica sopra indicata, ho trovato un caso particolare che smentisce la tesi: a=12, b=16, c=99, d = 101, tale che a^2+b^2+c^2=d^2. Una vera dimostrazione sarà resa nota fra qualche giorno.

[Gauss]

Ciao Ero, tramite un metodo non molto olimpionico, ma che funziona che a suo tempo imparai ho trovato le seguenti soluzioni:
<BR>
<BR>a = 2uz
<BR>b = 2vz
<BR>c = z^2 - u^2 - v^2
<BR>d = z^2 + u^2 + v^2
<BR>
<BR>A occhio mi pare che queste soluzioni, non includano quella numerica che hai scritto tu... adesso provo a controllare. Poi ti faccio sapere[addsig]

[Ero]

La quaterna da te proposta non è una del tipo X=12, Y=16, Z=99, T=101! Questo si dimostra facilmente: A=2ub deve essere 12 B=2uc deve essere 16 ma mai 99 poichè questo è dispari. Andando a risolvere si trova che u è 2, b è 3 e c è 4. Sostituendo questi valori nelle altre due equazioni si avrà C=-21 e D=29.
<BR>
<BR>P.S. Aiutami perfavore a trovare un sistema che mi permetta di trovare tutte le quaterne pitagoriche. Io ne ho trovato uno, ma ha la pecca di preservarsi come ipotesi nella dimostrazione che almeno due numeri della quaterna, fanno parte anche di una terna pitagorica, ad esempio 12 e 16 fanno parte della terna {12, 16, 20}!!
<BR>
<BR>Aspetto ansioso aiuti da tutti. Grazie. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

[Kornholio]

a^2 + b^2 = d^2 - c^2
<BR>
<BR>(a^2+b^2)^2 = (d^2-c^2)^2
<BR>
<BR>(a^2+b^2)^2 + (2cd)^2 = (d^2+c^2)^2
<BR>
<BR>questa è una modifica del problema pitagorico standard... per creare la quaterna basta
<BR>sia soddisfatto uno di questi due sistemi :
<BR>
<BR>
<BR>| a^2 + b^2 = e^2 - f^2
<BR>| 2cd = 2ef
<BR>| d^2 + c^2 = e^2 + f^2
<BR>
<BR>| a^2 + b^2 = 2ef
<BR>| 2cd = e^2-f^2
<BR>| d^2 + c^2 = e^2 + f^2
<BR>
<BR>con e,f numeri primi tra loro e non contemporaneamente dispari... dai che adesso è facile...
<BR>

[Kornholio]

Vabbè, non mi piace tener la gente sulle spine... il secondo sistema, ad esclusione della soluzione [0,0,0,0] genera una discesa infinita, ed è quindi praticamente inutile. Dal primo invece abbiamo facilmente che
<BR>
<BR>[a , b , (a^2+b^2-1)/2 , (a^2+b^2+1)/2]
<BR>
<BR>con a,b primi tra loro e non contemporaneamente dispari
<BR>è una soluzione primitiva del problema.
<BR>Soddisfatto, Ero ?