problema semplice (credo)

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Maus
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Messaggio da Maus » 01 gen 1970, 01:33

trovare l\'unica soluzione del sistema:
<BR>
<BR>xy+yz+xz=12
<BR>xyz=2+x+y+z
<BR>
<BR>se x, y e z sono interi positivi.
<BR>
<BR>dimostrare che la soluzione è la stessa ed è unica anche se x, y e z sono reali. <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon21.gif">
<BR>
<BR>
<BR>(indicato in particolare per Lucio e Antimateria)<BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Maus il 2002-06-09 20:22 ]</font>

DD
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Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

x(y+z)+yz=12
<BR>se ci sono almeno 2 numeri pari tra x, y e z, allora ce n\'è 3 perché la loro somma e il loro prodotto hanno la stessa parità.
<BR>se x è dispari, o z+y e yz sono entrambi dispari (impossibile), o sono entrambi pari, ma allora y e z sono pari quindi anche x lo è.
<BR>Se x è pari, allora anche xy lo è, quindi x e y sono pari e anche z lo è.
<BR>Perciò x, y e z sono tutti pari ed è facile vedere che l\'unica soluzione è (2,2,2).
<BR>(Per ora lascio l\'ultima parte a Lucio e Antimateria)
[img:2sazto6b]http://digilander.iol.it/daniel349/boy_math_md_wht.gif[/img:2sazto6b]

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Antimateria
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Messaggio da Antimateria » 01 gen 1970, 01:33

\"Se x è pari, allora anche xy lo è, quindi x e y sono pari...\"
<BR>Non ci giurerei, DD!! Potresti usare la simmetria delle 2 equazioni rispetto alle variabili, e dire che se x è pari, automaticamente lo sono anche y e z.
<BR> <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_wink.gif">

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Antimateria
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Messaggio da Antimateria » 01 gen 1970, 01:33

Allora, vogliamo trovare le soluzioni reali. E aggiungerei positive, visto che anche la terna (-1, -1, -11/2) soddisfa le equazioni iniziali. In ogni caso, vediamo che x+y=0 porta ad un assurdo, perchè sostituendo nella prima equazione viene x^2=-12. Inoltre, xy-1=0 dà come unica soluzione la suddetta (-1, -1, -11/2), che non è da accettare.
<BR>A questo punto, forti di tutto ciò, possiamo allegramente dividere la prima equazione per x+y e la seconda per xy-1, ed esplicitare entrambe rispetto a z, senza timore di perdere qualche soluzione. Si ottiene z = (12-xy)/(x+y) = (2+x+y)/(xy-1), e procedendo brutalmente si trasforma l\'uguaglianza in un polinomio in y, che vi risparmio (il coefficiente di y^2 è x^2+1, che non è mai 0). Basta allora vedere quando il discriminante è non negativo, per essere certi di beccare tutti i valori di x che forniscono soluzioni reali. Il discriminante è il seguente: -4x^4 -8x^3 +69x^2 -52x -44 = -(2x+11)(2x+1)(x-2)^2, che è non negativo solo per -11/2<=x<=-1/2 V x=2. Accettiamo solo la soluzione positiva, facciamo un paio di sostituzioni e ritroviamo la terna (2, 2, 2). Fine.
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon21.gif">

miccia
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Messaggio da miccia » 01 gen 1970, 01:33

Ciao!
<BR>1)mettiamo x,y,z=/=0
<BR>é evidente (dalla 1a equazione) che x,y,z sono compresi fra 1 e 10, e che fra di loro non più di una é pari a 10 quindi:
<BR>xyz=x+y+z+2<32
<BR>Prendiamo
<BR>(x+1)(y+1)(z+1)=2xyz+15
<BR>da cui si ha x, y, z pari
<BR>Poi si ha
<BR>16x\'y\'z\'<32
<BR>da cui x\'=y\'=z\'=1
<BR>e x=y=z=2
<BR>2) mettiamo per esempio x=0
<BR>viene fuori
<BR>yz=12
<BR>y+z=-2
<BR>impossibile, e analogamente per y=0, z=0
<BR>
<BR>Quindi l\'unica sol. é x=y=z=2
<BR>Ciao!
<BR>MIRCEA
<BR>
<BR>[addsig]
<image src="http://www.deathmetal.com/images/gaurd289.gif">

DD
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Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>\"Se x è pari, allora anche xy lo è, quindi x e y sono pari...\"
<BR>Non ci giurerei, DD!!
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Nemmeno io! Quello che volevo scrivere era in realtà: se x è pari anche yz lo è, quindi x e y (o x e z) sono pari, quindi anche z (o y) lo è.
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Sylvester
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Messaggio da Sylvester » 01 gen 1970, 01:33

Ecco un\'altra soluzione:
<BR>
<BR>Intanto x,y e z sono diversi da 1. Siccome il sistema è simmetrico basta verificarlo per x.
<BR>Se fosse x=1 si avrebbe contemporaneamente y+yz+z=12 e 3+y+z=yz, sottraendo le due equazioni si otterrebbe yz-3=12-yz --> 2yz=15 assurdo. Quindi ciascuno dei tre addendi del membro di sinistra della prima equazione del sistema è un numero composto. L\'unico modo di scrivere 12 come somma di 3 numeri composti è 12=4+4+4 (è facile convincersene tenendo conto del fatto che il più piccolo numero che è somma di due numeri composti è 8=4+4 e 12=8+4), quindi x=y=z=2[addsig]
<p>Santi Spadaro</p>

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Maus
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Messaggio da Maus » 01 gen 1970, 01:33

il testo inglese dice : dimostrare che una soluzione esiste se x, y, e z sono reali e distinti

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