problema semplice (credo)

Maus · Messaggio da **Maus** » 01 gen 1970, 01:33

trovare l\'unica soluzione del sistema:
 
 xy+yz+xz=12
 xyz=2+x+y+z
 
 se x, y e z sono interi positivi.
 
 dimostrare che la soluzione è la stessa ed è unica anche se x, y e z sono reali. <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon21.gif">
 
 
 (indicato in particolare per Lucio e Antimateria) [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Maus il 2002-06-09 20:22 ]

DD · Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

x(y+z)+yz=12
 se ci sono almeno 2 numeri pari tra x, y e z, allora ce n\'è 3 perché la loro somma e il loro prodotto hanno la stessa parità.
 se x è dispari, o z+y e yz sono entrambi dispari (impossibile), o sono entrambi pari, ma allora y e z sono pari quindi anche x lo è.
 Se x è pari, allora anche xy lo è, quindi x e y sono pari e anche z lo è.
 Perciò x, y e z sono tutti pari ed è facile vedere che l\'unica soluzione è (2,2,2).
 (Per ora lascio l\'ultima parte a Lucio e Antimateria)

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

\"Se x è pari, allora anche xy lo è, quindi x e y sono pari...\"
 Non ci giurerei, DD!! Potresti usare la simmetria delle 2 equazioni rispetto alle variabili, e dire che se x è pari, automaticamente lo sono anche y e z.
 <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_wink.gif">

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

Allora, vogliamo trovare le soluzioni reali. E aggiungerei positive, visto che anche la terna (-1, -1, -11/2) soddisfa le equazioni iniziali. In ogni caso, vediamo che x+y=0 porta ad un assurdo, perchè sostituendo nella prima equazione viene x^2=-12. Inoltre, xy-1=0 dà come unica soluzione la suddetta (-1, -1, -11/2), che non è da accettare.
 A questo punto, forti di tutto ciò, possiamo allegramente dividere la prima equazione per x+y e la seconda per xy-1, ed esplicitare entrambe rispetto a z, senza timore di perdere qualche soluzione. Si ottiene z = (12-xy)/(x+y) = (2+x+y)/(xy-1), e procedendo brutalmente si trasforma l\'uguaglianza in un polinomio in y, che vi risparmio (il coefficiente di y^2 è x^2+1, che non è mai 0). Basta allora vedere quando il discriminante è non negativo, per essere certi di beccare tutti i valori di x che forniscono soluzioni reali. Il discriminante è il seguente: -4x^4 -8x^3 +69x^2 -52x -44 = -(2x+11)(2x+1)(x-2)^2, che è non negativo solo per -11/2<=x<=-1/2 V x=2. Accettiamo solo la soluzione positiva, facciamo un paio di sostituzioni e ritroviamo la terna (2, 2, 2). Fine.
 
 <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon21.gif">

miccia · Messaggio da **miccia** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao!
 1)mettiamo x,y,z=/=0
 é evidente (dalla 1a equazione) che x,y,z sono compresi fra 1 e 10, e che fra di loro non più di una é pari a 10 quindi:
 xyz=x+y+z+2<32
 Prendiamo
 (x+1)(y+1)(z+1)=2xyz+15
 da cui si ha x, y, z pari
 Poi si ha
 16x\'y\'z\'<32
 da cui x\'=y\'=z\'=1
 e x=y=z=2
 2) mettiamo per esempio x=0
 viene fuori
 yz=12
 y+z=-2
 impossibile, e analogamente per y=0, z=0
 
 Quindi l\'unica sol. é x=y=z=2
 Ciao!
 MIRCEA
 
 [addsig]

DD · Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 \"Se x è pari, allora anche xy lo è, quindi x e y sono pari...\"
 Non ci giurerei, DD!!
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Nemmeno io! Quello che volevo scrivere era in realtà: se x è pari anche yz lo è, quindi x e y (o x e z) sono pari, quindi anche z (o y) lo è.

Sylvester · Messaggio da **Sylvester** » 01 gen 1970, 01:33

Ecco un\'altra soluzione:
 
 Intanto x,y e z sono diversi da 1. Siccome il sistema è simmetrico basta verificarlo per x.
 Se fosse x=1 si avrebbe contemporaneamente y+yz+z=12 e 3+y+z=yz, sottraendo le due equazioni si otterrebbe yz-3=12-yz --> 2yz=15 assurdo. Quindi ciascuno dei tre addendi del membro di sinistra della prima equazione del sistema è un numero composto. L\'unico modo di scrivere 12 come somma di 3 numeri composti è 12=4+4+4 (è facile convincersene tenendo conto del fatto che il più piccolo numero che è somma di due numeri composti è 8=4+4 e 12=8+4), quindi x=y=z=2[addsig]

Maus · Messaggio da **Maus** » 01 gen 1970, 01:33

il testo inglese dice : dimostrare che una soluzione esiste se x, y, e z sono reali e distinti