(i) Sia dato un triangolo equilatero di lato l, e due punti A\' e A\'\' sul lato BC tali che BA\'=A\'A\'\'=A\'\'C=BC/3; due punti B\' e B\'\' sul lato AC tali che AB\'=B\'B\'\'=B\'\'C=AC/3; due punti C\' e C\'\' sul lato AB tali che AC\'=C\'C\'\'=C\'\'B=AB/3; siano D,E,F,G,H e I i punti di incontro rispettivamente di CC\'\' e AA\', AA\' e BB\', BB\' e CC\', CC\' e AA\'\', AA\'\' e BB\'\', BB\'\' e CC\'\'. Determinare il rapporto fra le aree dell\'esagono DEFGHI e del triangolo ABC.
<BR>
<BR>(ii) Dimostrare che tale rapporto rimane invariato preso un qualunque traingolo ABC.
<BR>
<BR>Auguri! <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_wink.gif"> Il primo è relativamente semplice, il secondo (anche se ho appena provato a farlo, e non mi sono ancora messo del tutto seriamente) decisamente meno... Ciao!
Triangoli ed esagoni...
Moderatore: tutor
Trovare il rapporto (in funzione di n) tra l\'area dell\'esagono DEFGHI (vedi messaggio precedente) e del triangolo ABC, sapendo che AB\'=B\'\'C=AC/n, A\'B=A\'\'C=BC/n, AC\'=BC\'\'=AB/n. Se avete risolto l\'(ii) non è poi così difficile... Ciao a tutti! <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_razz.gif">
non ci credo <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon27.gif"> ho scritto il messaggio e mi si è tutto cancellato!! devo fare tutto daccapo!! <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_mad.gif"> .
<BR>allora. dimostrerò solo l\'ultima parte perchè da questa discende direttamente la (i).
<BR>considerando il triangolo con le caratteristiche suddette, chiamiamo N l\'intersezione tra A\'C\'\' e BB\' e M quella tra BB\' e CC\'\'.
<BR>
<BR>Ora troviamo l\'area dell\'\"esagono\" ’’A’B’B’’C’C’’ – DEFGHI. essa si trova moltiplicando per 3 l\'area di B\'C\'C\'\'N (non spiego perchè, ma basta vedere che i triangoli DEM e MNC\'\' sono congruenti). ora procederò più sinteticamente: tutte le aree saranno trovate con l\'applicazione del Teorema di Talete.
<BR>
<BR>A(ABC)=AB*h/2
<BR>A(A\'BC\'\')=AB*h/2n^2
<BR>A(B\'C\'B)=AB*h/2n che moltiplica (1-1/n) (1)
<BR>A(NC\'\'B)=AB*h/2n^3 (2)
<BR>A(B\'C\'C\'\'N)= AB*(n-1)-h)/2n^3
<BR>trovata sottraendo (2) da (1).
<BR>per trovare l\'area dell\'esagono DEFGHI togliamo dall\'area di tutto il triangolo quella di B\'C\'C\'\'N moltiplicata per tre meno il triplo dELL\'area di A\'BC\'\'(INFATTI I TRIANGOLI A\'BC\'\', AB\'C\' e A\'\'B\'\'C sono equiestesi).
<BR>quindi A(DEFGHI)=AB*n(n-1)-1)+3hn tutto fratto 2n^3.
<BR>impostando il rapporto e semplificando si ha N^3/(N^3-3N^2+3)
<BR>che perciò non dipende nè dall\'altezza nè dalla base. inoltre per (i) si ha che k=9 sostituendo a n 3.
<BR>
<BR>Era questo che chiedevi??(sicuramente c\'è un modo più elegante di risolverlo...questo porta facilmente a errori di calcolo).
<BR>ciao
<BR> <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>allora. dimostrerò solo l\'ultima parte perchè da questa discende direttamente la (i).
<BR>considerando il triangolo con le caratteristiche suddette, chiamiamo N l\'intersezione tra A\'C\'\' e BB\' e M quella tra BB\' e CC\'\'.
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<BR>Ora troviamo l\'area dell\'\"esagono\" ’’A’B’B’’C’C’’ – DEFGHI. essa si trova moltiplicando per 3 l\'area di B\'C\'C\'\'N (non spiego perchè, ma basta vedere che i triangoli DEM e MNC\'\' sono congruenti). ora procederò più sinteticamente: tutte le aree saranno trovate con l\'applicazione del Teorema di Talete.
<BR>
<BR>A(ABC)=AB*h/2
<BR>A(A\'BC\'\')=AB*h/2n^2
<BR>A(B\'C\'B)=AB*h/2n che moltiplica (1-1/n) (1)
<BR>A(NC\'\'B)=AB*h/2n^3 (2)
<BR>A(B\'C\'C\'\'N)= AB*(n-1)-h)/2n^3
<BR>trovata sottraendo (2) da (1).
<BR>per trovare l\'area dell\'esagono DEFGHI togliamo dall\'area di tutto il triangolo quella di B\'C\'C\'\'N moltiplicata per tre meno il triplo dELL\'area di A\'BC\'\'(INFATTI I TRIANGOLI A\'BC\'\', AB\'C\' e A\'\'B\'\'C sono equiestesi).
<BR>quindi A(DEFGHI)=AB*n(n-1)-1)+3hn tutto fratto 2n^3.
<BR>impostando il rapporto e semplificando si ha N^3/(N^3-3N^2+3)
<BR>che perciò non dipende nè dall\'altezza nè dalla base. inoltre per (i) si ha che k=9 sostituendo a n 3.
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<BR>Era questo che chiedevi??(sicuramente c\'è un modo più elegante di risolverlo...questo porta facilmente a errori di calcolo).
<BR>ciao
<BR> <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_biggrin.gif">
Ciao!
<BR>Cmq per estendere il teorema dai triangoli equilateri a tutti gli altri triangoli, basta applicare due \"stiramenti\" al piano (non so come si chiamano scientificamente), che manterranno costanti i rapporti fra segmenti e quelli fra aree, ma potranno trasformare il triangolo equilatero iniziale in qualsiasi altro triangolo.
<BR>Ciao a tutti![addsig]
<BR>Cmq per estendere il teorema dai triangoli equilateri a tutti gli altri triangoli, basta applicare due \"stiramenti\" al piano (non so come si chiamano scientificamente), che manterranno costanti i rapporti fra segmenti e quelli fra aree, ma potranno trasformare il triangolo equilatero iniziale in qualsiasi altro triangolo.
<BR>Ciao a tutti![addsig]
<image src="http://www.deathmetal.com/images/gaurd289.gif">
1) Il rapporto nel caso n=3 è di 1/10;
<BR>2) Il rapporto nel caso n=2 è di 0;
<BR>Dunque la tua formula (è per Maus) è sbagliata... E anche il procedimento non mi sembra esente da errori (può essere che tu abbia sbagliato a scrivere). Comunque trovare la formula generale è tutt\'altro che semplice.. <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon24.gif">
<BR>2) Il rapporto nel caso n=2 è di 0;
<BR>Dunque la tua formula (è per Maus) è sbagliata... E anche il procedimento non mi sembra esente da errori (può essere che tu abbia sbagliato a scrivere). Comunque trovare la formula generale è tutt\'altro che semplice.. <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon24.gif">
L\'ho appena trovata ieri sera e a me viene che il rapporto Area(esagono)/Area(triangolo) è 2[(n-2)^2]/[(n+1)(2n+1)]. Con n=3 e n=2 il discorso torna...
<BR>La dimostrazione l\'ho fatta ma mi manca da dimostrare che il lati di DHF (triangolo) sono paralleli a quelli di ABC, ma non dev\'essere un\'impresa impossibile..ci penserò e magari stasera metto la dimostrazione (non ho usato neppure una differenza fra aree, comunque, e niente trigonometria). <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon21.gif">
<BR>
<BR>Per curiosità, le stelline come si mettono?<BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ma_go il 2002-06-11 11:21 ]</font>
<BR>La dimostrazione l\'ho fatta ma mi manca da dimostrare che il lati di DHF (triangolo) sono paralleli a quelli di ABC, ma non dev\'essere un\'impresa impossibile..ci penserò e magari stasera metto la dimostrazione (non ho usato neppure una differenza fra aree, comunque, e niente trigonometria). <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon21.gif">
<BR>
<BR>Per curiosità, le stelline come si mettono?<BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ma_go il 2002-06-11 11:21 ]</font>
Rieccomi. siccome non hai risposto stasera (per ma_go) se vuoi la dimostrazione che cerchi te la posso fornire io. in ogni modo è molto semplice: è sufficiente controllare un po\' di triangoli congruenti (e quindi angoli) e dedurre il parallelismo. <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_eek.gif"> ciao