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lordgauss
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Messaggio da lordgauss »

Dire per quali numeri primi p, p²+11 ha esattamente 6 divisori.
<BR>Bye<BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: lordgauss il 2002-05-20 09:29 ]</font>
DD
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Messaggio da DD »

Olé! 50esimo messaggio e tre stelle (luogotenente?)! Grazie di avermi offerto l\'occasione.
<BR>Allora:
<BR>Eulero ci insegna che affinché x abbia 6 divisori dobbiamo avere x=q^5 con q primo, o x=qr^2 con q,r primi distinti.
<BR>1o caso: q^5-11=p^2, q o p è pari cioè 2 ma in entrambi i casi sostituendo si vede che non funge.
<BR>2o caso: qr^2-11=p^2, qr^2 e p^2 sono uno pari e 1 dipari, p^2 pari cioè p=2 non funziona, provsiamo qr^2 pari. Due casi:
<BR>A. q=2 cioè 2r^2-11=p^2, 2(r-2)(r+2)=p^2+3 (*), se p=3 2r^2=20 impossibile, se il primo membro in (*) è divisibile per 3 abbiamo p divisibile per 3 e diverso da 3 impossibile, perciò (r-2)(r+2) non divisibile per 3, (r-2)(r+2)=(r-3+1)(r+2) cioè i due fattori in parentesi sono consecutivi mod 3 e uno deve essere ==1 e l\'altro ==2, perciò r divisibile per 3 cioè r=3, ma sostituendo viene 18-11=p^2 impossibile.
<BR>B. r=2 cioè 4q-11=p^2, p=2k+1, 4(q-3)+1=4k(k+1)+1, q-3=k(k+1). Se q è div per 3 cioè è 3 abbiamo 20-11=3^2 OK perciò una soluzione è p=3. Se q non è div per 3 k*(k+1) non lo è , quindi k e k+1 sono==1 e ==2 mod 3, cioè k=3h+1 da cui p=2*(3h+1)+1=6h+3 divisibile per 3 quindi p=3.
<BR>Scusate se non è molto ampiop ma andavo di fretta
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DD
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Messaggio da DD »

Cavoli! Non bastano 50 messaggi per le tre stelle! Quanti ne servono? 75?
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DD
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Messaggio da DD »

Oh invece sì! 51 però
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BlaisorBlade
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Messaggio da BlaisorBlade »

Non capisco il tuo riferimento a Eulero. Quello che dici è corretto(cioè che perché n abbia 6 divisori deve essere di una delle due forme), e io lo dimostro così:
<BR>Sia n=p1^a1*p2^a2... un numero con la sua scomposizione in fattori primi. Tutti e soli i divisori sono della forma p1^b1*p2^b2... con 0<=b_n<=a_n, e ogni ennupla di b corrisponde a un divisore(due ennuple diverse danno divisori diversi); poiché b_n assume a_n+1 valori, allora il numero dei divisori è (a1+1)(a2+2)(a3+3)... e 6=6 o 6=2*3; nel primo caso a1=5 e gli altri a nulli, nel secondo a1=1 e a2=2(o viceversa). Ci siamo. Ma a quale teorema di Eulero ti riferisci???
BlaisorBlade
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Messaggio da BlaisorBlade »

Non capisco il tuo riferimento a Eulero. Quello che dici è corretto(cioè che perché n abbia 6 divisori deve essere di una delle due forme), e io lo dimostro così:
<BR>Sia n=p1^a1*p2^a2... un numero con la sua scomposizione in fattori primi. Tutti e soli i divisori sono della forma p1^b1*p2^b2... con 0<=b_n<=a_n, e ogni ennupla di b corrisponde a un divisore(due ennuple diverse danno divisori diversi); poiché b_n assume a_n+1 valori, allora il numero dei divisori è (a1+1)(a2+2)(a3+3)... e 6=6 o 6=2*3; nel primo caso a1=5 e gli altri a nulli, nel secondo a1=1 e a2=2(o viceversa). Ci siamo. Ma a quale teorema di Eulero ti riferisci???
DD
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Messaggio da DD »

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Non capisco il tuo riferimento a Eulero. (...) Sia n=p1^a1*p2^a2... un numero con la sua scomposizione in fattori primi. (...) allora il numero dei divisori è (a1+1)(a2+2)(a3+3)...
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Questa, se non sbaglio, è la funzione phi(n) di Eulero per calcolare il numero di divisori di n, e tu l\'hai ridimostrata <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_smile.gif"> [addsig]
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Antimateria
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Messaggio da Antimateria »

La phi di Eulero non indica il numero di divisori di un intero, bensì phi(n) è il numero di interi positivi minori di n che sono primi con n.[addsig]
DD
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Messaggio da DD »

E quanto vale? E la funzione di cui parlavamo noi come si chiama, se ha un nome? E\' sempre di Eulero?
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Antimateria
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Messaggio da Antimateria »

Se p1, ..., pk sono i primi della fattorizzazione di n, allora phi(n) = n (1-1/p1) (1-1/p2) ... (1-1/pk). Il teorema di Fermat generalizzato afferma che, se a è primo con n, allora a^phi(n) == 1 (mod n).
<BR>Per quanto ne sappia io, la formula di prima non ha alcun nome troppo diverso da \"formula per il numero di divisori\".
castelnuovo
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Messaggio da castelnuovo »

Anti io non so te ma la phi di Eulero è la funzione più bella che io abbia mai visto tant\'è che ho deciso di tatuarmi il teorema di Eulero a^phi(n) == 1 (mod n) sul braccio!
BlaisorBlade
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Messaggio da BlaisorBlade »

Follia pura! Ma quello che ti ha fatto il tatuaggio è riuscito a scriverlo corretto(ammesso che sia vero)?
<BR>
<BR>Nota: il messaggio ha il simbolo di Windows. Pare non entrarci, ma ho voluto collegare due esempi di follia.
Bloccato