Problema della chat(castelnuovo)

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Maus
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Messaggio da Maus » 01 gen 1970, 01:33

Il testo, per chi volesse risolverlo, è : determinare per quali valori di a e b 2^a+3^b è un quadrato perfetto (k^2).
<BR>
<BR>Con un po’ di congruenze modulo 4 si vede che a e b sono entrambi pari.
<BR>Mettiamo a=2k e b=2h. allora 2^(2k)=(n+3^k)(n-3^k). i due fattori al 2° membro sono entrambi pari.
<BR>
<BR>Poniamo n+3^k=2^x, di conseguenza n-3^k=2^x-2(3^k).
<BR>l\'espressione diventa 2^(2h)=2^x(2^x-2(3^k)), ovvero
<BR>2^(2h)=2*2^x(2^(x-1)-(3^k)) mettendo a fattor comune il 2.
<BR>ora osserviamo che 2^(x-1)-3^k è DISPARI mentre il 1°membro è pari,
<BR>e quindi per il teorema di fattorizzazione unica non può essere che 1.
<BR>e quindi i valori che soddisfano sono solo a=4 et b=2 cioè 16+9=25.
<BR>Infatti per dimostrare che è uguale a 1 solo in questo caso è sufficiente controllare le congruenze mod4 per x-1>1 e k>1. (per valori minori ovviamente non si ahnno soluzioni). Infatti
<BR>1°membro congruo a 0
<BR>2°membro congruo a 2
<BR>ciao <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Maus il 2002-05-12 20:11 ]</font><BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Maus il 2002-05-12 20:17 ]</font>

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