Da \"pi in the sky\".

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lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

Sono un po\' di giorni che non propongo nulla, ed anche ora sono davvero in crisi. Comunque questo è meglio di niente...
<BR>
<BR>Dato un quadrato ABCD, sia P un punto ad esso interno tale che AP=BP e A^PB=B^PA=15°. Dimostrare che CDP è equilatero.<BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: lordgauss il 2002-04-09 17:19 ]</font>

Rhossili
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Messaggio da Rhossili » 01 gen 1970, 01:33

mmh...non sara\' molto elegante ma...
<BR>supponiamo che CDP sia equilatero.
<BR>Se R e\' il piede dell\'altezza di APB da P, si ha che PR/PB= sin PB^R.
<BR>il lato del quadrato e\' l;
<BR>PR=l(2-sqrt(3))/2
<BR>PB=sqrt(l^2/4+PR^2)=lsqrt(2-sqrt(3));
<BR>PR/PB=(...semplificando e razionalizzando)
<BR>= sqrt(2-sqrt(3))/2.
<BR>(PR/PB)^2=(2-sqrt(3)/4.
<BR>(sin15)^2=(sqrt(6)-sqrt(2))^2/16=(2-sqrt(3)/4.
<BR>Non e\' una dimostrazione \'purista\', dal nulla, ma...meglio di niente!
<BR>buona primavera
<BR> <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR><BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Rhossili il 2002-04-10 18:35 ]</font>

lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

In effetti non è il massimo... comunque ogni dimostrazione va bene, anche se trigonometrica o analitica.
<BR>
<BR>Comunque il problema resta aperto per i cultori del metodo sintetico...

Rhossili
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Messaggio da Rhossili » 01 gen 1970, 01:33

allora ecco la soluzione \'diretta dal libro\'...
<BR>forse! ...(vedi allegato)
<BR>ABC e\' equilatero; prolunghiamo l\'altezza da A (AJ) oltre il lato BC per avere AJ =AB.
<BR>Il problema e\' analogo a quello di dimostrare che l\'angolo HB^J=15.
<BR>AB^H=60;
<BR>BA^J=30;
<BR>HB^J=x
<BR>BH^J=y
<BR>
<BR>180-30=150;
<BR>150/2=75=y;
<BR>x+60=y; ==>
<BR>x=75-60=15.
<BR>
<BR>e\' meglio, neh?
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_biggrin.gif"> <BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Rhossili il 2002-04-10 21:28 ]</font>

sprmnt21
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Messaggio da sprmnt21 » 01 gen 1970, 01:33

Sia O il vertice del triangolo equilatero di lato AP interno al triangolo APD. Essendo < OAD = 15°, si ha che AOD e\' congruente ad APB. Quindi < ODA = 90°-(60°+15°)=15° e percio\' < DOA= < DOP = 150° e quindi i triangoli DOA e DOP sono uguali. Da questo segue che CP=DP=DA=DC che e\' quello che si doveva provare.
<BR>
<BR><BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 2002-04-10 22:02 ]</font>

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