Due problemi di congruenze

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Azarus
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Messaggio da Azarus » 01 gen 1970, 01:33

il primo è molto bello e di notevole effetto :
<BR>
<BR> A = 4444^4444
<BR> B = somma delle cifre di A
<BR> C = somma delle cifre di B
<BR>
<BR>determinare LA SOMMA DELLE CIFRE di C
<BR>
<BR>il secondo è molto facile:
<BR>
<BR> a^4 + b^4 + c^4 .....(15 incognite) = 15999
<BR>
<BR> trovare tutte le soluzioni intere
<BR>
<BR>

alefig
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Messaggio da alefig » 01 gen 1970, 01:33

Sono d\'accordo con te che il primo sia molto bello (non scrivo la soluzione perché già la conoscevo e voglio lasciare anche agli altri il gusto di provare a risolverlo)...ma non sono d\'accordo sul fatto che il secondo sia molto facile; infatti ci ho dovuto sbattere la testa parecchio prima di trovare le soluzioni che, trascurando l\'ordine delle incognite, sono
<BR>(1,1,1,1,3,3,3,3,3,3,3,3,3,5,11)
<BR>e
<BR>(1,3,3,3,5,5,5,5,5,5,7,7,7,7,7).
<BR>Ciao,
<BR>Alessio

Azarus
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Messaggio da Azarus » 01 gen 1970, 01:33

infatti ho sbagliato sono 14 incognite...
<BR>scus..

alefig
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Messaggio da alefig » 01 gen 1970, 01:33

Ahhh...ora sono d\'accordo sul fatto che il problema sia molto facile: basta fare una congruenza mod 16 per accorgersi che non ci possono essere soluzioni.
<BR>

Gauss
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Messaggio da Gauss » 01 gen 1970, 01:33

Vabbene, mentre la peptidasi enterica ed i miei altri beneamati enzimi provvedono a fare il loro lavoro vedo che si può fare sul primo problema.
<BR>Le cifre di 4444^4444 dovrebbero essere [4444*log_10(4444)]+1 cioè 16211 (considerando [x] il più grande intero minore uguale a x). Di conseguenza B<16211*9=145899 e C<1+4+5+8+9+9=36 e la somma delle cifre di C è minore di 9. Ora è noto che la cifra che si ottiene iterando il processo di somma delle cifre su un numero è esattamente il valore del numero in Z\\9Z, e si ha che 4444^k è congruo a 1(mod9) se k==0 mod 3, ==7(mod9) se k==1 mod 3 e ==4(mod9) se k==2 mod 3 allora essendo 4444==1 mod 3 la somma delle cifre di C sarà 7.
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Azarus
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Messaggio da Azarus » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2002-03-31 17:32, Gauss wrote:
<BR>Vabbene, mentre la peptidasi enterica ed i miei altri beneamati enzimi provvedono a fare il loro lavoro vedo che si può fare sul primo problema.
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>.........................
<BR>vabbe tralasciando commenti..
<BR>si la soluzione è giusta,ma si puo fare senza logaritmi.
<BR>
<BR>si approssima il numero delle cifre a:
<BR>
<BR>1000^4444 < 4444^4444 < 10000^5000
<BR>il termine massimo ha 20000 cifre
<BR>seguono le tue identiche considerazioni,
<BR>i conti sono più imprecisi ma è lo stesso..

Gauss
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Messaggio da Gauss » 01 gen 1970, 01:33

perchè? se vuoi la puoi commentare la mia digestione...
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Rhossili
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Messaggio da Rhossili » 01 gen 1970, 01:33

Gauss, potresti spiegarmi perche\' il numero di cifre di 4444^4444 e\'
<BR>[4444*log(4444)]+1 ?<BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Rhossili il 2002-04-06 13:06 ]</font>

Gauss
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Messaggio da Gauss » 01 gen 1970, 01:33

Certo. Visto che se log_10(x)=k allora 10^k=x, se k è intero x sarà una potenza di dieci e quindi avrà k+1 cifre. Ora, se un numero r è tale che 10^k<=r<=10^(k+1) allora r avrà lo stesso numero di cifre di 10^k. \"logaritmando\" il tutto e sommando uno si ottiene k+1<=log_10(r) + 1<k+2 ora per la definizione di [x] per x reale [log_10(r)+1]=[log_10(r)]+1=k+1, quindi le cifre di r che sono uguali alle cifre di 10^k, sono [log_10(r)]+1.
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