Equazione diofantea

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Gauss
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Messaggio da Gauss » 01 gen 1970, 01:33

Trovare le soluzioni (quatrene (p;m;q;n)) di
<BR>p^m-p=q^n-q
<BR>con p e q primi ed m ed n interi positivi.
<html>
I can smile... and kill while i smile.
</html>

teo
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Messaggio da teo » 01 gen 1970, 01:33

se p = q dovremmo avere m = n
<BR>1) la soluzione è (q,q,n,n);
<BR>
<BR>2)
<BR>se m = n
<BR>p^m -p = q^m -q
<BR>da cui
<BR>(p-q)[p^(m-1).....] = p-q
<BR>p^(m-1)+q^(m-1).......... = 1
<BR>il che è impossibile
<BR>
<BR>3)
<BR>p=/=q
<BR>m =/= n
<BR>
<BR>p(p^(m-1)-1) = q(q^(n-1)-1)
<BR>
<BR>se p=/=q allora p = q^(n-1) - 1 che nn è un numero primo
<BR>
<BR>quindi le soluzioni sono solo della forma
<BR>1)

Gauss
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Messaggio da Gauss » 01 gen 1970, 01:33

Nel punto 3 al massimo puoi dire che p divide q^(n-1)-1, non capisco perchè debbano essere uguali...
<html>
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Nello
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Messaggio da Nello » 01 gen 1970, 01:33

Olà,
<BR>allora siccome non hai specificato se le varie incognite possano essere diverse,io ho trovato una soluzione:
<BR>p=2 m=3 q=3 n=2
<BR>infatti
<BR>2^3-2=3^2-3
<BR>8-2=9-3
<BR>6=6 <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_biggrin.gif">
Qualunque cosa tu faccia, falla con stile.(F.Mercury)

Nello
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Messaggio da Nello » 01 gen 1970, 01:33

pardon ho sbagliato ad esprimermi,nel senso che non hai specificato se possano essere uguali(non diversi),o che debbano essere x forza diversi.just?ok by <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_cool.gif">
Qualunque cosa tu faccia, falla con stile.(F.Mercury)

Gauss
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Messaggio da Gauss » 01 gen 1970, 01:33

basta che siano soluzioni <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_smile.gif"> poi naturalmente ci sono quelle banali
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teo
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Messaggio da teo » 01 gen 1970, 01:33

riproviamo così
<BR>
<BR>dalla 3)
<BR>p^(m-1)-1 = kq
<BR>q^(n-1) -1 = kp
<BR>
<BR>ora qesto è vero se n = p e m = q per il piccolo teorema di fermat ( nn so se possano esserci altre possibilità)
<BR>
<BR>quindi la nostra equazione è della forma
<BR>p^q-p = q^p-q
<BR>
<BR>se p = q + h
<BR>
<BR>abbiamo che
<BR>
<BR>(q+h)^q -h = q^(q+h)
<BR>
<BR>questo è vero se
<BR>
<BR>(q+h)^q > q^(q+h)
<BR>per h = 1 gli unici valori possibili sono p = 2 q = 3 che soddisfano le condizioni ( come avava trovato Nello)
<BR>
<BR>ma se h >1 mi pare che quella disequazione sia falsa (nn l\'ho ancora dimostrato !)
<BR>
<BR>voi che ne dite ?
<BR>ciao<BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: teo il 2002-03-23 21:34 ]</font>

Nello
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Messaggio da Nello » 01 gen 1970, 01:33

soluzione ancor + banale se n=m=1
<BR>ci sono infinite soluzioni. <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_biggrin.gif">
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