[A] Sembra brutto ma non lo è

Vuoi proporre i tuoi esercizi? Qui puoi farlo!!

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lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

A+B+C è un multiplo intero di pigreco, x,y,z sono numeri reali. Se xsinA + ysinB + zsinC = x²sin2A + y²sin2B + z²sin2C = 0, dimostrare che x^nsin(nA) + y^nsin(nB) + z^nsin(nC) = 0 per ogni n intero positivo

ma_go
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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

dai, uppo perché è carino, e per la provenienza <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

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Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

Avevate ragione, sembra bruttina ma invece è bellina, anzi, oserei dire \"carina\" (copyright by Talpuz). Allora, innanzitutto prendiamo due numeri complessi X e Y tali che:
<BR>X=x(cos(A)+i*sen(A))
<BR>Y=y(cos(B)+i*sen(B))
<BR>La prima affermazione ci dice che X+Y non ha parte immaginaria (perchè=0) e quindi è un numero reale e sfruttando De Moivre (X<sup>n</sup>=x<sup>n</sup>(cos(nA)+i*sen(nA)) sappiamo che la seconda condizione implica X²+Y² è un numero reale. Noi vogliamo dimostrare che X<sup>n</sup>+Y<sup>n</sup> è reale per ogni n naturale maggiore di 0. Ma si dimostra facilmente con l\'induzione:
<BR>Sappiamo che XY=(X+Y)²/2-(X²+Y²)/2 è reale e, induttivamente
<BR>X<sup>n+1</sup>+Y<sup>n+1</sup>=(X<sup>n</sup>+Y<sup>n</sup>)(X+Y)-XY(X<sup>n-1</sup>+Y<sup>n-1</sup>
<BR>E, siccome l\'addizione e la moltiplicazione sono interni ad R abbiamo che X<sup>n+1</sup>+Y<sup>n+1</sup> è reale, C.V.D. (oppure G.V.C., per chi sa cosa voglia dire.... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

Davvero un bell\'approccio, Simo!
<BR>Però consideri solo X e Y, mentre dovresti aggiungere anche un Z, e di conseguenza modificare la parte finale della dimostrazione.
<BR>Nota anche che non hai usato il fatto che A+B+C=k*pigreco, e forse è essenziale, quindi stai attento!!

ma_go
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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

uhm.. talpuz spaccia cose mie per cose sue...
<BR>la cosa non mi piace <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>comunque è molto molto carina <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

Beh simo, l\'idea è ottima. Ora perchè non finisci la dimostrazione nel caso di tre variabili (va beh, non proprio variabili) ? Sarebbe un ottimo allenamento per la gara di domani!
<BR>Ok, è completamente inutile, però è brutto lasciare le cose a metà

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Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

Scusate se nn ho finito la dim, ma ho avuto dei problemi con Internet... cmq ecco la sol... avevo letto male il problema, credevo ci fossero solo 2 numeri... Cmq rimedio subito <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>Definiamo X e Y come prima, e poniamo Z=z(cos(C)+i*sen(C)).
<BR>Ora chiamiamo
<BR>d=XY+YZ+ZX
<BR>p=XYZ
<BR>s<sub>k</sub>=X<sup>k</sup>+Y<sup>k</sup>+Z<sup>k</sup> con k >= 0
<BR>
<BR>ragionando come prima come dati abbiamo: s<sub>1</sub>€R, s<sub>2</sub>€R e sen(A+B+C)=0 (poichè A+B+C=k*pi, k€N)
<BR>
<BR>Si può facilmente verificare che:
<BR>
<BR>s<sub>n</sub>=s<sub>n-1</sub>s<sub>1</sub>-ds<sub>n-2</sub>+ps<sub>n-3</sub> per n>=3
<BR>
<BR>Possiamo quindi auspicare un\'induzione (ricordando che dobbiamo dimostrare s<sub>k</sub>€R per ogni k€N). L\'unica cosa che ci servirebbe è d€R e p€R.
<BR>Ma 2d=s<sub>1</sub>²-s<sub>2</sub> e quindi d€R
<BR>sappiamo che
<BR>XY=[x(cos(A)+i*sen(A))][y(cos(B)+i*sen(B))]=xy(cos(A+B)+i*sen(A+B))
<BR>e quindi XYZ=xyz(cos(A+B+C)+i*sen(A+B+C))=xyzcos(A+B+C)€R
<BR>ma allora p€R e quindi la tesi che s<sub>k</sub>€R per ogni R è vera. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>
<BR>riproposta un po\' modificata...
<BR>A+B+C è un multiplo intero dispari di pigreco/2, x,y,z sono numeri reali. Se xcosA + ycosB + zcosC = x²sin2A + y²sin2B + z²sin2C = 0, dimostrare che:
<BR>x^(2k)sin(2kA) + y^(2k)sin(2kB) + z^(2k)sin(2kC) = 0
<BR>
<BR>o, più in generale:
<BR>
<BR>x^(2k)sin(2kA) + y^(2k)sin(2kB) + z^(2k)sin(2kC) = 0
<BR>x^ncos(nA) + y^ncos(nB) + z^ncos(nC) = 0 (dove n=2k-1)
<BR>
<BR>per ogni k>0 k€N

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