nepero ed esponenziale

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immacolato
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Messaggio da immacolato » 01 gen 1970, 01:33

Dovrei dimostrare che:
<BR>e^(pigreco) > (pigreco)^e
<BR>oppure il viceversa.
<BR>
<BR>Qualcuno sa aiutarmi?
<BR>Saluti
<BR>

achillu
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Messaggio da achillu » 01 gen 1970, 01:33

Usando la calcolatrice? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>Magari se dimostri che <!-- BBCode Start --><I>e<sup>x</sup> >= x<sup>k</sup></I><!-- BBCode End --> per qualche <!-- BBCode Start --><I>k > e</I><!-- BBCode End --> e per ogni <!-- BBCode Start --><I>x >= j</I><!-- BBCode End --> con <!-- BBCode Start --><I>j < pigreco</I><!-- BBCode End -->...
<BR>
<BR>(nota: questo suggerimento potrebbe essere falso, mi è venuto in mente a stomaco vuoto prima di andare in pausa pranzo).
<BR>
<BR>EDIT: tentativo di dare un formato intelligibile al messaggio.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: achillu il 08-02-2005 12:39 ]

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Marco
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

Studiati la funzione f(x) = log(x) / x. Dove ha massimo?
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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immacolato
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Messaggio da immacolato » 01 gen 1970, 01:33

Marco non ho capito il tuo suggerimento.
<BR>Con la calcolatrice credo che non sia la \"risposta giusta\".
<BR>Se si prova a sviluppare in serie l\'esponenziale e la potenza fermandosi al secondo termine si riesce \"approssimativamente\" a dare una risposta.
<BR>L\'idea invece è quella di darne una dimostrazione analitica \"rigorosa\".
<BR>
<BR>GRazie

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Marco
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

Mah, con una disg di quella fatta, la cosa ovvia che viene in mente è fare log ad ambo i membri.
<BR>
<BR>se lo fai, ottieni e log(pi) < [ >? ] pi log(e) che diventa
<BR>
<BR>log(pi) / pi < [ >? ] log(e) / e.
<BR>
<BR>Questo ti porta a studiare la fz che ti ho detto.
<BR>
<BR>log(x)/x ha uno zero in 1 e asintoticamente tende a 0, è continua e derivabile, quindi (Teo. di Rolle) ha un massimo, che risulta essere anche un max assoluto.
<BR>
<BR>Se scopri (non lo so, non ho fatto\'honti) che, ad esempio, e è max assoluto di log(x)/x, sei a cavallo.
<BR>
<BR>Così è più chiaro?
<BR>
<BR>Ciao. M.[addsig]
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MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

x<sup>1/x</sup> ha l\'unico massimo in x=e. (Studia il segno della derivata.)
<BR>
<BR>Quindi
<BR>e<sup>1/e</sup>>pi<sup>1/pi</sup>,
<BR>e<sup>pi</sup>>pi<sup>e</sup>.
<BR>
<BR>Però, per favore, non postiamo troppi problemi di analisi.

immacolato
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Messaggio da immacolato » 01 gen 1970, 01:33

Scusa non lo farò più, ma visto che mi hai risposto perchè
<BR>da e^1/e>pi^1/pi implica che
<BR>e^pi>pi^e?
<BR>

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

Niente da scusare.
<BR>
<BR>Tu sai che se a>b>0, e c>0, allora a<sup>c</sup>>b<sup>c</sup>.
<BR>Nel nostro caso, poni
<BR>a=e<sup>1/e</sup>,
<BR>b=pi<sup>1/pi</sup>,
<BR>c=e*pi.

lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

Affinchè il thread non vada olimpicamente sprecato, si può spostare la questione sugli interi positivi.
<BR>(IMO 1978, o da quelle parti). Fissato un intero positivo, scriverlo come somma di altri interi positivi in modo che sia massimo il prodotto degli addendi.
<BR>Alla luce della discussione precedente, la risposta stupisce?

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