Algebra e Combinatoria da Febbraio e poco in su

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Cu_Fa
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Messaggio da Cu_Fa » 01 gen 1970, 01:33

3.3
<BR>Per la condizione di esistenza deve essere x>=1 e quindi a>=0,come prima limitazione.Elevando al quadrato ambi i membri:
<BR>x<sup>2</sup>-a<sup>2</sup>x+a<sup>2</sup>=<0
<BR>Questa equazione ha una sola soluzione se e solo se il delta è nullo:
<BR>a<sup>4</sup>-a<sup>2</sup>=0
<BR>ovvero a=0 o a=+-1
<BR>La soluzione a=-1 non è accettabile in quanto negativa e lo stesso discorso vale per a=0 essendo x=<0 verificata per infiniti valori di x.
<BR>L\'unica soluzione accettabile è quindi a=1
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Cu_Fa il 04-02-2005 17:48 ]

Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-04 15:32, Cu_Fa wrote:
<BR>1.4.
<BR>Si tratta dell\'equazione di una circonferenza avente le coordinate del centro e il raggio interi.Gli unici punti P di coordinate intere sono quindi 4*:quelli di massima e minima ordinata e quelli di massima e minima ascissa.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Attenzione... Non è assolutamente vero!!!! La circonferenza di centro (0,0) e raggio 5 ha molti più di 4 punti a coordinate intere su di essa!!! Tu puoi dire che ha solo 4 punti interi magari evidenziando il fatto che ha raggio 1 ma non raggio intero!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

Cu_Fa
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Messaggio da Cu_Fa » 01 gen 1970, 01:33

Azz...vero!In effetti può essere senx=3/5 e cosx=4/5 <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> .Ma se il raggio non è unitario come dovrei comportarmi?Terne pitagoriche?

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Poliwhirl
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Messaggio da Poliwhirl » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-04 17:40, Cu_Fa wrote:
<BR>3.3
<BR>Per la condizione di esistenza deve essere x>=1 e quindi a>=0,come prima limitazione.Elevando al quadrato ambi i membri:
<BR>x<sup>2</sup>-a<sup>2</sup>x+a<sup>2</sup>=<0
<BR>Questa equazione ha una sola soluzione se e solo se il delta è nullo:
<BR><!-- BBCode Start --><B>a<sup>4</sup>-a<sup>2</sup>=0</B><!-- BBCode End -->
<BR>ovvero a=0 o a=+-1
<BR>La soluzione a=-1 non è accettabile in quanto negativa e lo stesso discorso vale per a=0 essendo x=<0 verificata per infiniti valori di x.
<BR>L\'unica soluzione accettabile è quindi a=1
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Ho notato che per a=1, x =< sqrt(x-1) non ammette soluzioni. Ho individuato l\'errore in grassetto. In realtà il delta è a^4-4a^2 . Da cui si arriva a a=0 e a=+-2 , e con lo stesso ragionamento tuo, l\'unica soluzione che accettiamo alla fine è a=2 . <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>Bye,
<BR>#Poliwhirl# <font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Poliwhirl il 04-02-2005 19:54 ]
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massiminozippy
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Messaggio da massiminozippy » 01 gen 1970, 01:33

Mi ricordano qualcosa questi problemi....
<BR>Bella iniziativa. E\' un buon modo per esercitarsi.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: massiminozippy il 04-02-2005 20:07 ]

Cu_Fa
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Messaggio da Cu_Fa » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Ho notato che per a=1, x =< sqrt(x-1) non ammette soluzioni. Ho individuato l\'errore in grassetto. In realtà il delta è a^4-4a^2 . Da cui si arriva a a=0 e a=+-2 , e con lo stesso ragionamento tuo, l\'unica soluzione che accettiamo alla fine è a=2 . <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Speriamo che a Febbraio non commetta questi errori<IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">! <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Cu_Fa il 04-02-2005 20:10 ]

Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-04 19:33, Cu_Fa wrote:
<BR>Azz...vero!In effetti può essere senx=3/5 e cosx=4/5 <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> .Ma se il raggio non è unitario come dovrei comportarmi?Terne pitagoriche?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>In pratica si... chiamando il raggio r devi vedere quante sono le coppie (a,b) di naturali positivi tali che r=a²+b² e non esiste una formula precisa. Per esempio se r è primo e 4|r-1 allora esiste una ed una sola coppia (a,b) con a>b e quindi abbiamo 12 punti sulla circonferenza. Ma per esempio la circonferenza di raggio 65 ha su di essa ben 20 punti a coordinate intere...

Igor
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Messaggio da Igor » 01 gen 1970, 01:33

Algebra Sezione 3
<BR>
<BR>Numero 4:
<BR>Una funzione possibile è: 2^(x-2),
<BR>infatti f(2x+1)=2^(2x+1-2)=2^2x-1 e 2*[f(x)]^2=2*2^(2x-2)=2^(2x-1)
<BR>
<BR>Numero 5:
<BR>Di questo esercizio ho già la soluzione perchè è tratto da Ces. 97, comunque
<BR>l\'avevo risolto da solo:
<BR>f(20+x)=f(10+10+x)=f(10-10-x)=f(-x)
<BR>f(20+x)=-f(20-x)=-f(x) (per la relazione precedente);
<BR>Dunque f è dispari
<BR>f(x+40)=f(20+(x+20))=-f(20-(20+x))=-f(-x)=f(x)
<BR>Dunque f è periodica
<BR>
<BR>

Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

Scusate per la divagazione teorica... Per farmi perdonare risolvo il
<BR>3.8
<BR>
<BR><font color = white>
<BR>alloVa...
<BR>
<BR>Sostituiamo nella nostra eq. x-->f(x) in modo che diventi:
<BR>f(f(x)+f(y))=f(f(x))+y
<BR>
<BR>ma il primo membro è simmetrico e quindi possiamo anche dire (scambiando la x con la y):
<BR>
<BR>f(f(y)+f(x))=f(f(y))+x
<BR>
<BR>cioè f(f(x))+y=f(f(y))+x e quindi:
<BR>f(f(x))-x=f(f(y))-y
<BR>e quindi possiamo dire che
<BR>f(f(x))=x+k per ogni x€R dove k è un numero reale fisso.
<BR>sappiamo che la funzione x+k è biiettiva. Ma se una composizione di più funzioni è suriettiva allora anche quella + esterna è suriettiva mentre se la composizione di più funzioni è iniettiva allora sarà iniettiva anche la funzione più interna. Ma allora f(x) è biiettiva.
<BR>
<BR>Applichiamo f() a entrambi i membri nell\'eq. iniziale e otteniamo:
<BR>f(f(x+f(y)))=f(f(x)+y)=f(y)+x
<BR>Essendo la funzione suriettiva ci sarà un k tale che f(k)=0. Poniamo y=k e confrontando il primo e l\'ultimo membro otteniamo:
<BR>
<BR>f(f(x))=x
<BR>
<BR>Dividiamo la dim in 2 parti:
<BR>-f(x) monotona crescente
<BR>-f(x) monotona decrescente
<BR>
<BR>Partiamo dal primo caso: se f(x) è monotona crescente allora anche f(x)+x è monotona crescente e biiettiva(*) e quindi prenderà tutti i valori in R. Ponendo y-->x otteniamo f(x+f(x))=x+f(x) ma abbiamo detto che f(x)+x può prendere tutti i valori in R quindi preso un r€R possiamo trovare un s tale che s+f(s)=r. Quindi abbiamo che f(r)=r per ogni r€R
<BR>
<BR>Per il secondo caso:
<BR>
<BR>Prendiamo l\'eq. iniziale e portiamo la y al primo membro e applichiamo f() a entrambi i membri.
<BR>
<BR>f(f(x+f(y))+(-y))=f(f(x))
<BR>x+f(y)+f(-y)=x
<BR>f(-y)=-f(y)
<BR>
<BR>cioè la funzione è dispari.
<BR>
<BR>Ora come ipotesi abbiamo che f(x) è monotona decrescente e quindi x-f(x) è monotona crescente e biiettiva (analogamente al caso di prima) quindi prenderà tutti i valori in R. Analogamente a quanto avevamo fatto nel primo caso facciamo la sostituzione y-->(-x) nell\'eq iniziale e otteniamo f(x+f(-x))=f(x)+(-x) e sapendo che la f() è dispari abbiamo f(x-f(x))=f(x)-x e per lo stesso motivo di prima abbiamo
<BR>f(x)=-x.
<BR>
<BR>Quindi le uniche soluzioni sono f(x)=x e f(x)=-x. Si può facilmente verificare che queste funzioni verificano le ipotesi di crescenza e decrescenza e verificano l\'eq. iniziale.
<BR>
<BR>Per la seconda parte si osserva che, sostituendo x-->f(x) abbiamo:
<BR>
<BR>f(f(x)+f(y))=f(f(x))+y<sup>n</sup>=f(f(y))+x<sup>n</sup>
<BR>quindi
<BR>f(f(x))=x<sup>n</sup>+k per ogni x (1)
<BR>Quindi f(x) ha sicuramente nel codominio l\'intervallo [k, +inf). Ma abbiamo che:
<BR>
<BR>f(f(x+f(y)))=f(f(x)+y<sup>n</sup>)=x<sup>n</sup>+f(y<sup>n</sup>)
<BR>Ponendo x=0 otteniamo f(f(f(y)))=f(y<sup>n</sup>)
<BR>ma f(f(f(y)))=f(y)<sup>n</sup>+k per la (1) quindi f(y<sup>n</sup>)=f(y)<sup>n</sup>+k.
<BR>
<BR>Ora sappiamo che f(f(x+f(y)))=(x+f(y))<sup>n</sup>+k.
<BR>scegliamo f(y)>0 (lo possiamo fare visto che il codominio di f() comprende l\'intervallo [k,+inf) e poi x>0.
<BR>In questo modo risulterà (ricordando che n>1)
<BR>f(f(x+f(y)))=(x+f(y))<sup>n</sup>+k>x<sup>n</sup>+f(y)<sup>n</sup>+k=x<sup>n</sup>+f(y<sup>n</sup>)=f(f(x+f(y)))
<BR>in evidente contraddizione.
<BR>Qui ho sfruttato il fatto che per a,b>0 e n>1
<BR>(a+b)<sup>n</sup>>a<sup>n</sup>+b<sup>n</sup>
<BR>il che si può agevolmente dimostrare per induzione.
<BR>
<BR>(*) se f(x)+x non fosse suriettiva, essendo crescente e continua (f(x) è continua perchè biiettiva e crescente e x è continua, ma forse è una cappellata...) dovrebbe esserci un numero reale r tale che r < f(x)+x per ogni x€R e/o un reale s t.c. s > f(x)+x per ogni x in R. Per il primo caso diciamo per assurdo che sia vero e prendiamo x<sub>0</sub> t.c. f(x<sub>0</sub>)=r (lo possiamo fare xkè f() è biiettiva) sicuramente x<sub>0</sub> è positivo altrimenti f(x<sub>0</sub>)+x<sub>0</sub><=r contro la tesi. Ora prendiamo un x=0 e , poichè 0<x<sub>0</sub> troviamo f(0)+0<=f(x<sub>0</sub>)<=r (a causa della crescenza di f()) e questo ci porta ad un assurdo. Similmente si fa nel secondo caso dove f(y<sub>0</sub>)=s allora sarà f(0)+0>=s, cioè l\'assurdo cercato.
<BR></font>
<BR>
<BR>Spero di non essermi dilungato troppo..
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>
<BR>EDIT:la sol dovrebbe essere corretta ora.... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 09-02-2005 20:59 ]

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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Baah, provo a riscrivere tutto e vedum...
<BR><font color=white>
<BR>1.7:
<BR>In coerenza con il teorema fondamentale dell\'algebra si afferma che un polinomio di n-esimo grado ha esattamente n radici, fra reali e complesse. Nel nostro caso le tre radici sono anche distinte e quindi possiamo chiamarle t,u e v. Ora avremo, per il teorema di Ruffini che P(x)=(x-t)(x-u)(x-v), dove i tre numeri sono distinti poichè t, u e v erano distinti. Ora deve valere P(n)=P(m)=3 quindi
<BR>3=(m-u)(m-v)(m-t)
<BR>3=(n-u)(n-v)(n-t)
<BR>3 ha quattro divisori sugli interi, essendo primo, tali divisori sono (-1,1,-3,3), ora, poichè 3 e -3 non possono coesistere nello stesso prodotto, l\'unica terna ammissibile è (-1,1,-3). Ora avremo che
<BR>m-u=-3
<BR>m-v=-1
<BR>m-t=1
<BR>dove la m e le tre lettere si sono prese indifferentemente per simmetria. Dovrebbe essere
<BR>(n-u, n-v, n-t)=f(-3,-1,1)
<BR>dove f(x) è una permutazione qulsiasi dell\'insieme dato.
<BR>Ora, non può essere n-k=m-k, con k:={u,v,t} perchè sennò n=m, e non può essere una qualsiasi altra permutazione poichè se così fosse sottraendo membro a mebro avremo che, ad esempio, t-u ha due valori diversi poichè i valori di sottrazione (3+3,-3+1,-1-3,3+1,-3-3,1-3) sono tutti distinti.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 08-02-2005 17:04 ]
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Suvvia, facciamo la disuguaglianza...
<BR>La riscrivo bene da bravo bambino viste le correzioni fatte agli altri <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR><font color=white>
<BR>
<BR>3.7
<BR>Dividiamo tutto per 2 ed estraiamo la radice quadrata, la tesi diviene, posti X=x+1/x e Y=y+1/y
<BR>sqrt((X<SUP>2</SUP>+Y<SUP>2</SUP>)/2)>=5/2,
<BR>Dimostriamo la catena di disuguaglianze
<BR>sqrt((X<SUP>2</SUP>+Y<SUP>2</SUP>)/2)>=X+Y/2>=5/2
<BR>il cui confronto fra il membro più a destra e quello più a sinistra ci darà la tesi
<BR>
<BR>1<sup>a</sup> parte
<BR>sqrt((X<SUP>2</SUP>+Y<SUP>2</SUP>)/2)>=X+Y/2
<BR>è la disuguaglianza fra Media Quadratica e Media Aritmetica della coppia (X,Y)
<BR>
<BR>2<sup>a</sup> parte
<BR>X+Y/2>=5/2
<BR>X+Y>=5
<BR>1/x+x+1/y+y>=5
<BR>sfruttando le ipotesi
<BR>1/x+1/y>=4
<BR>(1/x+1/y)/2>=2
<BR>((1/x+1/y)/2)<SUP>-1</SUP> <=1/2
<BR>sfruttando le ipotesi
<BR>((1/x+1/y)/2)<SUP>-1</SUP> <=(x+y)/2
<BR>che è, il confronto frala Media Aritmetica e la Media Armonica, quindi abbiamo la tesi, anche se non era rischiesto osserviamo che, avendo usato solo confronti fra medie, vale l\'uguaglianza se e solo se x=y e sostituendo nella disuguaglianza iniziale si vede che effettivamente in tal caso si ha una uguaglianza.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 07-02-2005 15:54 ]
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Messaggio da Poliwhirl » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-04 21:33, Boll wrote:
<BR>
<BR>3.7
<BR>Dividiamo tutto per 2 ed estraiamo la radice quadrata, la tesi diviene, posti X=x+1/x e Y=y+1/y
<BR>sqrt((X<SUP>2</SUP>+Y<SUP>2</SUP>)/2)>=5/2, <!-- BBCode Start --><B>rafforziamo la tesi con QM-AM</B><!-- BBCode End -->
<BR>X+Y/2>=5/2
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Scusate la mia ignoranza, ma che significa la frase che ho evidenziato in grassetto?
<BR>
<BR>Bye,
<BR>#Poliwhirl#
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Messaggio da Igor » 01 gen 1970, 01:33

Combinatoria Sezione 2
<BR>
<BR>Numero 1:
<BR>1000 = 2^3*5^3, quindi i numeri primi con 1000 sono quelli che non sono multipli nè di 2 nè di 5.
<BR>Alla somma gli interi da 1 e 1000, dobbiamo dunque sottrarre la somma dei divisori di 2, la somma dei divisori di 5 e aggiungere la somma dei divisori di 10 che sono stati contati due volte. Abbiamo dunque:
<BR>S = sum(1000)-2sum(500)-5sum(200)+10sum(100)=200000
<BR>
<BR>Numero 2:
<BR>Abbiamo (33-4)=29 studenti che praticano almeno uno sport.
<BR>Gli studenti che praticano entrambi gli sport sono (18+17)-29=6
<BR>
<BR>Una domanda per il 3 di questa sezione : La A deve venire subito dopo la C o
<BR>basta che sia alla sua destra?

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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-04 22:56, Poliwhirl wrote:
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-04 21:33, Boll wrote:
<BR>
<BR>3.7
<BR>Dividiamo tutto per 2 ed estraiamo la radice quadrata, la tesi diviene, posti X=x+1/x e Y=y+1/y
<BR>sqrt((X<SUP>2</SUP>+Y<SUP>2</SUP>)/2)>=5/2, <!-- BBCode Start --><B>rafforziamo la tesi con QM-AM</B><!-- BBCode End -->
<BR>X+Y/2>=5/2
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Scusate la mia ignoranza, ma che significa la frase che ho evidenziato in grassetto?
<BR>
<BR>Bye,
<BR>#Poliwhirl#
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>In pratica \"inserisco\" fra i due membri un membro comodo, per poi dimostrare solo l\'altra parte. In questo caso
<BR>sqrt((X<SUP>2</SUP>+Y<SUP>2</SUP>)/2)) >= (X+Y)/2 >= 5/2
<BR>la disug di sinistra è la disug fra la Media Quadratica (QM) e quella Aritmetica (AM), quella di destra devo provarla, e lo faccio successivamente, forse il termine \"rafforzare\" in questo caso non era adattissimo, mi scuso... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 05-02-2005 13:58 ]
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Messaggio da Poliwhirl » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-04 14:30, EvaristeG wrote:
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-03 20:08, Igor wrote:
<BR>Algebra Sezione 2 esercizio 1
<BR>Scriviamo l\'espressione di partenza in questo modo :
<BR>(x-4y)^2+3y^2-6y+14
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Hai avuto una buona idea nel raccogliere un quadrato ... semplificati la vita e raccogline un altro!!
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Provo a completare alternativamente questo esercizio (scrivo la soluzione in bianco nel caso Igor volesse cimentarsi lui): <font color=white>
<BR>(x-4y)^2+3y^2-6y+14 = (x-4y)^2+(y*sqrt(3)-sqrt(3))^2+11 da cui deve essere y*sqrt(3)-sqrt(3)=0 ==> y=1 e quindi poiché deve essere anche x=4y ==> x=4 ; il minimo valore che assume l\'espressione è così 11.
<BR><font color=black>
<BR>Bye,
<BR>#Poliwhirl#
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