Algebra e Combinatoria da Febbraio e poco in su

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sprmnt21
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Messaggio da sprmnt21 » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-10 14:34, marco wrote:
<BR>Anche ieri sera ho fatto i compiti. Ecco i nuovi commenti:
<BR>@Sprmnt21 (pb. 2.6)
<BR>Una bellissima dimostrazione: complimenti. Giusto per fare il pign... -aehm- il rigoroso a tutti i costi, hai diviso allegramente per a_(n+1) - a_(n-1) e hai lisciato il caso cretino a_(n+1) = a_(n-1). E\' ovvio che, anche in tal caso, a_(n+1) risulta intero, ma la tua espressione si riduce a 0 = 0 e non puoi dedurne nulla...
<BR>
<BR>Per farti \"perdonare\", perché non spieghi ai giovini come hai fatto a scovare la tua manipolazione? (un\'idea così non nasce per caso, ci vuole mestiere...)
<BR>
<BR>Per la cronaca, la soluzione alternativa che ho in mente è ancora differente. Qualcun altro ci vuole provare?
<BR>
<BR>Ciao. M.[addsig]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>
<BR>Per quanto riguarda la divisione per a_(n+1) - a_(n-1), ho sottointeso che questo numero fosse diversoi da zero, questo derivando dal fatto che la successione e\' a valori reali crescenti (tutti positivi). Questo mi ha consentito pure di non fare troppi distinguo anche con le elevazioni al quadrato ecc.
<BR>
<BR>Per quanto riguarda l\'euristica, in effetti cercavo quel qualcosa di piu\' \"diretto\" che tu suggerivi. La prima cosa che mi e\' \"venuta\" e\' stata di \"eliminare\" la radice e mettere il tutto in una forma esteticamente gradevole. Ma ovviamente questo da solo non e\' bastato. Ho cercato brevemente una via semplice e veloce per caratterizzare le soluzioni intere di 3a^2 = (k-1)(k+1). Siccome non ho trovato niente di \"semplice\" ho \"ripiegato\" nell\'analisi dei primi termini della successione. Una volta \"vista\" la relazione tra i vari termini non e\' stato difficile provarla.
<BR>
<BR>PS
<BR>a dire il vero non ricordo tutti-tutti i passi psicologici che ho effettuato, se mi torna in mente qualcosaltro di significativo ritorno sul punto.
<BR>

tmart
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Messaggio da tmart » 01 gen 1970, 01:33

(sprmnt21) Non saprei... Io almeno per arrivare alla soluzione di sprmnt21 compio questi passi psicologici <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> :
<BR>abbiamo nell\'ipotesi a<sub>n+1</sub> espresso in funzione di a<sub>n</sub>; ricaviamo allora a<sub>n</sub> in funzione di a<sub>n+1</sub> e immediatamente il cambio di segno della radice quadrata viene psicologicamente traslato ad a<sub>n-1</sub> espresso in funzione di a<sub>n</sub>, per cui abbiamo il risultato di sprmnt21 a<sub>n+1</sub>+a<sub>n-1</sub>=4a<sub>n</sub>
<BR>
<BR>questo è l\'approccio più euristico e ingenuo che adotterei, osservare quello che succede attorno ad a<sub>n</sub>
[tex]\Im^\heartsuit_\TeX[/tex]

tmart
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Messaggio da tmart » 01 gen 1970, 01:33

Perché è importante questa trasformazione...
<BR>perché una volta espressa la ricorrenza come a<sub>n+1</sub>=4a<sub>n</sub>-a<sub>n-1</sub>
<BR>possiamo scrivere
<BR>{a<sub>2</sub>x + a<sub>3</sub>x<sup>2</sup> + a<sub>4</sub>x<sup>3</sup> + ...} = 4{a<sub>1</sub>x + a<sub>2</sub>x<sup>2</sup> + a<sub>3</sub>x<sup>3</sup> + ...} - {a<sub>0</sub>x + a<sub>1</sub>x<sup>2</sup> + a<sub>2</sub>x<sup>3</sup> + ...}
<BR>
<BR>E definendo A=a<sub>0</sub> + a<sub>1</sub>x<sup>1</sup> + a<sub>2</sub>x<sup>2</sup> + ...
<BR>abbiamo A=(a<sub>0</sub> + (a<sub>1</sub> - 4a<sub>0</sub>)x) / (x<sup>2</sup> - 4x +1)
<BR>per cui riespandendo la serie possiamo trovare un\'espressione chiusa per ogni a<sub>n</sub>, ovvero
<BR>a<sub>n</sub>=(a<sub>1</sub>[(2+S(3))<sup>n</sup> - (2-S(3))<sup>n</sup>] - a<sub>0</sub>[(2+S(3))<sup>n-1</sup> - (2-S(3))<sup>n-1</sup>]) / (2S(3))
<BR>
<BR>dove S(x)=sqrt(x)
<BR>c\'è un bel libro di Herbert Wilf disponibile online sulle funzioni generatrici, senza contare tutti i quaderni del caro srinivasa...
[tex]\Im^\heartsuit_\TeX[/tex]

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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

@Boll: (pb. A.2.3)
<BR>Intanto, \"sufficiente\", come \"efficiente\" e \"deficiente\" si scrive con la \"i\". Poi, occhio al testo! Non ti chiede che i tre termini siano consecutivi. La soluzione è sostanzialmente la stessa, solo devi generalizzare un attimino meglio.
<BR>
<BR>@MindFlyer: (pb. A.3.8*)
<BR>Tutto cristallino. Come dimostreresti con tutti i crismi che ...!?!... ah, ma lo hai cambiato nottetempo!! Allora, la versione di ieri non la trovavi perfettamente convincente neppure tu!!
<BR>
<BR>@Sprmt21: (pb. A.2.6)
<BR>Non avevo il minimo dubbio che non avessi presente il caso cretino: è ovvio che era ovvio. Ho commentato così solo per equità con le altre correzioni, dove sto stando volutamente molto tirato di manica: dato che lo sforzo è far capire come si deve (dovrebbe) solvere in gara, mi sembrava giusto anche sottolineare l\'imperfezione di una soluzione esemplare come la tua. Tutto lì. Poi, che si tratti di pedanteria fastidiosa, sono il primo io ad essere d\'accordo...
<BR>[addsig]
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

[excursus analitico]
<BR>
<BR>@Simo:
<BR>Bravo Simo! Chi la dura la vince. Sette punti meritati.
<BR>
<BR>Qui c\'è bisogno di una spazzolata di Analisi (sperando che MindFlyer non ci sgami).
<BR>
<BR>Non è certo per colpa tua, perché queste sono nozioni tipicamente del primo anno di università, ma ci sono un po\' di cose utili da puntualizzare.
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>f(x) è continua perchè biiettiva e crescente [...] ma forse è una cappellata
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Nessuna cappella:
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Lemma 1</B><!-- BBCode End -->
<BR><!-- BBCode Start --><I>Una funzione f: R -- > R monotona e surgettiva, è continua.</I><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>Questo ritengo che tu lo possa enunciare senza dimostrazione. In coda a questa chiacchierata, per tua cultura, mostro il tipo di tecniche che si usa in questi casi. E\' un esercizio non standard, ma che uno studente molto bravo di matematica di 5a liceo, che ha già visto le definizioni dei limiti del tipo \"epsilon e delta\" dovrebbe essere in grado di seguire.
<BR>
<BR>Notare che non vale il viceversa: una funzione monotona e continua non è necessariamente surgettiva. Esempio: f(x) = arctan(x).
<BR>
<BR>Subito dopo usi:
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Lemma 2</B><!-- BBCode End -->
<BR><!-- BBCode Start --><I>Una funzione f: R -- > R continua, non surgettiva, è limitata (o superiormente o inferiormente, non necessariamente entrambe).</I><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>Anche questo direi che si può non dimostrare, e anche questo è un esercizio per studenti molto bravi di 5a, o di Analisi I... Nota che puoi anche fare a meno della monotonia.
<BR>
<BR>La dimostrazione dell\'(*) adesso torna. Comunque potevi sbrigarti prima così:
<BR>
<BR>f(x) crescente e bigettiva ( L.1 == > continua; big. == > non limitata)
<BR>x idem
<BR>
<BR>Somma di roba crescente e continua è crescente e continua. Ora, la somma di roba non limitata non è necessariamente non limitata (boh, prendi f(x) = x g(x) = -x: la somma è zero, quindi limitata).
<BR>
<BR>Però (crescente) + (crescente illimitata) fa (crescente e illimitata).
<BR>
<BR>Esercizio facile, dimostrato in appendice....
<BR>
<BR>Tornando all\'(*), ora sappiamo che x + f(x) è somma di roba crescente, ct. e illimitata, quindi è crescente, ct. e ill., quindi [L.2] è surgettiva.
<BR>
<BR>Altri casi utili: (limitata) + (illimitata) fa (illimitata)
<BR>(lim) + (lim) = (lim).
<BR>
<BR>Ciao. M.
<BR>
<BR>---------------------------------
<BR>
<BR>Benvenuto sugli impervi sentieri dell\'Analisi...
<BR>[+]
<BR>
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Dim. L1:</B><!-- BBCode End --> Non è restrittivo suppore che f() sia crescente [se fosse decrescente, considero -f(), che è continua sse f() è continua].
<BR>
<BR>Sia x un numero reale. Voglio dimostrare che f() è continua in x.
<BR>
<BR>Sia allora epsilon un numerillo positivo.
<BR>
<BR>f() è surg., quindi esistono x\' e x\" t.c. f(x\') = f(x) - epsilon; f(x\") = f(x) + epsilon. Per la crescenza, x\' < x < x\".
<BR>
<BR>Prendo delta un numerillo positivo, che sia più piccolo di x\" - x e x - x\'.
<BR>
<BR>Allora, se y dista meno di delta da x, significa che x\' < y < x\". Applico f() e trovo
<BR>
<BR>f(x) - epsilon = f(x\') < f(y) < f(x\") = f(x) + epsilon.
<BR>
<BR>Questa è proprio la condizione per la continuità in x [la litania difatti recita: <!-- BBCode Start --><I>per ogni epsilon positivo, esiste delta positivo t.c. se y dista meno di delta da x, allora anche f(y) dista meno di epsilon da f(x)</I><!-- BBCode End -->].
<BR>
<BR>In buona sostanza, f() è continua in ogni punto del dominio, ossia è continua su tutto R. []
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Dim. L2:</B><!-- BBCode End --> Sia y un numero che non appartiene all\'immagine di f() [esiste certamente, per la non surgettività].
<BR>
<BR>Sia x un qualunque reale. Suppongo f(x) > y [l\'altro caso è perfettamente simmetrico].
<BR>
<BR>Dico che f() è limitata inferiormente. Per assurdo, se non lo fosse, esisterebbe un x\' con f(x\') < y. Applico il Teorema di Esistenza degli Zeri all\'intervallo [x, x\']. Dato che f() sta sotto y ad un estremo, sta sopra all\'altro estremo ed è continua, per T.E.Z., da qualche parte vale y. Quindi y appartiene all\'immagine di f(). Assurdo. []
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Dim. EF:</B><!-- BBCode End --> sia f() crescente e g() crescente illimitata. f+g è crescente (somma di crescenti). Faccio vedere che è illimitata superiormente.
<BR>
<BR>Sia M un qualunque reale. Cerco un x t.c. f(x) + g(x) > M. Sia y un qualunque reale. g() è illimitata, quindi esiterà un z t.c. g(z) > M - f(y).
<BR>
<BR>Se z >= y, allora f(z) >= f(y); quindi f(z) + g(z) > f(z) + M - f(y) >= M e sono a posto.
<BR>Se invece z < y, allora g(y) > g(z); quindi f(y) + g(y) > f(y) + g(z) > f(y) + M - f(y) = M e sono a posto.
<BR>
<BR>Ho provato che f+g è illimitata superiormente; ripetendo il ragionamento cambiando i versi delle disgz, dimostro l\'illimitatezza inferiore. []
<BR>[/+]
<BR>[addsig]
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EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Scusate se mi intrometto ... soprattutto, marco, non pensare che ti rubi il posto qui solo perchè sul thread di geometria non c\'è più nessuno ... questo di certo non è il mio campo...volevo solo dire una cosa a phi
<BR>
<BR>@phi : a parte i numeri, mi pare che il tuo ragionamento sia giusto, solo vorrei suggerire una strada alternativa per il primo punto...la metto in bianco così chi non vuole non legge.
<BR>
<BR><font color=white>
<BR>Pensiamo di aver suddiviso le 4 palline uguali nelle 5 scatole numerate; adesso aggiungiamo una palla ad ogni scatola (sempre palline uguali a prima). In questo modo otteniamo un problema equivalente : dividere 9 palline uguali in 5 scatole distinte di modo che in ogni scatola ci sia almeno una pallina. Ora riformuliamo il problema : abbiamo 9 pallini neri sul foglio e dobbiamo tirare 4 sbarre tra un pallino e l\'altro, in modo da dividere i pallini in 5 gruppi non vuoti (sono ancora gruppi distinti, in quanto possiamo ordinarli ad esempio da dx a sx). Quindi dobbiamo scegliere in quali spazi tra pallini tirare le sbarre; ogni scelta produce una diversa divisione, quindi il numero di modi di partizionare i 9 pallini è C(8;4)=8!/(4!*4!)=70.
<BR></font>
<BR>
<BR>La spiegazione è molto lunga, ma l\'idea, se mai viene, è immediata e il conto è irrisorio.
<BR>
<BR>Ho tenuto a riportare questa risposta in quanto mi sembra un buon esempio di quei contorti modi di ragionare tipici della combinatoria e di quelle tecniche astute e odiosamente utili per aggirare ampie moli di calcoli (idee che a me in gara non sono mai venute, sigh). Ovviamente in questo caso il problema non è così complicato da richiederle inderogabilmente, ma penso sia cmq istruttivo vedere queste cose in una questione semplice.
<BR>
<BR>Oh mostri sacri della combinatoria, se sbaglio, perdonatemi.

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Mathomico
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Messaggio da Mathomico » 01 gen 1970, 01:33

Combinatoria sezione 1 n°4:
<BR>
<BR>Non so fino a che punto sia corretto il mio ragionamento... però ve lo scrivo:
<BR>
<BR><font color=white>
<BR>I modo.Il cubo ha 6 facce... se coloriamo ogni vertice di un colore diverso avremo che per ogni faccia ci sono quattro disposizioni possibili (mettendo cioè un determinato vertice fra i 4 nell\'angolo in alto a destra, per esempio)...
<BR>quindi in tutto avremo 6*4 disposizioni diverse del cubo. = 24.
<BR>
<BR>II modo.
<BR>decidiamo di scegliere una visuale particolare (esempio, dall\'alto).
<BR>Ovviamente possiamo scegliere il primo vertice fra tutti i possibili ( 8 in tutto )...
<BR>il secondo vertice si potrà scegliere tra i 3 ai quali il primo vertice è collegato... il terzo ed il quarto vertice saranno obbligati... (dimenticavo che i vertici li prendiamo seguendo un ordine ben preciso: ad esempio Alto-Sx, Alto-Dx, Basso-Dx; Basso-Sx...anche in questo caso saranno 3*8 = 24.
<BR>
<BR></font> dal fatto che nessuno l\'abbia ancora risolto devo presumere che era molto più difficile di quello che sembra... e quindi ho sbagliato..... chiedo scusa in anticipo al correttore....

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enomis_costa88
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Messaggio da enomis_costa88 » 01 gen 1970, 01:33

@Marco ho qui la soluzione induttiva della 4.4 effettivamente è un pò più complessa di quella che avevo presentato..cmq se ci sono ancora errori logici puoi darmi fino a -(7!)(più giù il mio ego ne risentirebbe).
<BR>@CU FA per il 2.6 ho verificato qualche caso in più del necessario perchè credo possa sempre fare buona impressione sui correttori.. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> ad essere sincero l\'ho fatto perchè all\'inizio pensavo che l\'induzione si potesse usare ponendo la tesi vera solo per An(la mia ipotesi induttiva era invece che la tesi è vera da A1 fino ad An..) ma era solo un brutto abbaglio..
<BR><font color=white>
<BR>4.4 se n=1 chiamiamo A,B,C i tre sacchetti. C è il sacchetto escluso. Sappiamo che A=B in quanto sono i due”gruppi” e quindi uguali per ipotesi. Se C è diverso da A allora esso non si può sostituire ad A in quanto muterebbe la somma delle palline di un gruppo rispetto ad un altro che invece sono=per ipotesi. Quindi A=B=C.
<BR>Supponiamo che la tesi sia vera per n e dimostriamola per n+1.
<BR>Ci sono due sacchetti A e Bdi qui non sappiamo nulla che possono essere nello stesso gruppo, in due gruppi diversi o uno può essere quello escluso. Ci sono inoltre 2n+1 sacchetti= per l’ipotesi induttiva. Questi sacchetti li chiameremo C.
<BR>Primo caso: A e B in due gruppi diversi: A = B perché nC+A=nC+B(per ipotesi i due gruppi sono=).In caso di sostituzione del C escluso con A(oB)tutti gli elementi dei due gruppi sarebbero=tranne B di cui non sappiamo nulla e si avrebbe nC+B=nC+C da cui C=B=A.
<BR>Secondo caso: A e B nello stesso gruppo: si ha che A+B=2C perché A+B+(n-1)C=2C+(n-1)C (sempre per l’ipotesi dell’uguaglianza dei due gruppi).
<BR>In caso di sostituzione del C escluso con A(oB)tutti gli elementi dei due gruppi sarebbero=tranne B di cui non sappiamo nulla e si avrebbe nC+B=nC+C. quindi C=B e A+C=2C da cui A=B=C.
<BR>Terzo caso:A (o B) è l’elemento escluso.B=C perché nC+B=nC+C. sostituendo A con qualunque termine si hanno i due gruppi uguali solo se A=C=B.
<BR>Combinatoria:1.1
<BR>Possiamo dividere i vertici del parallelepipedo (A e B esclusi) in due famiglie C e D: C sono i vertici che hanno uno spigolo in comune con A e D quelli che ce l’hanno con B. Dal vertice A ci sono tre possibili strade che mandano entrambe nella famiglia C. Da questa famiglia si hanno solo 2 scelte: non si può tornare ad A. Dopo questa mossa la scelta diviene obbligata in quanto non si può tornare indietro e in entrambe le famiglie si ha la possibilità di andare ad A o a B. Si può andare a B solo quando si ha passato tutti i vertici ma a A non si può tornare quindi le possibilità diventano 3(spigoli con un vertice in comune)-1(AoB)-1(vertice precedente)=1 oppure 3-2(vertici precedenti)=1(B) risultato3*2*1…*1=6. Si possono verificare”graficamente” tutti questi percorsi con un semplice disegno…alla fine sono solo6..
<BR><font color=black>
<BR>Credo d\'avere scritto qualche qui al posto di cui..mi dispiace(ma questo non è un sito di italiano...)<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: enomis_costa88 il 11-02-2005 17:33 ]
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Messaggio da phi » 01 gen 1970, 01:33

@EvaristeG: grazie per il metodo alternativo, è sicuramente molto più \"carino\" del mio e probabilmente più funzionale. Però... accidenti, non credo proprio che ci avrei mai pensato!
<BR>
<BR>Tento anche un nuovo esercizio, visto che ci sono.
<BR>Questo vorrebbe essere il C.2.7.
<BR><font color=white>
<BR>Diciamo di cominciare con i cuori; avremo una sequenza CPCPCPCP. Stabiliamo prima la posizione dell\'asso di cuori. Distinguiamo due possibilità:
<BR>- esso si trova in prima posizione, e allora “tiene occupato” un solo posto, cioè l\'asso di picche può trovarsi in 3 posti su 4; allora le possibili disposizioni sono:1(asso di cuori)*3(asso di picche)*3(2 di cuori)*2(3 di cuori)*1(4 di cuori)*3(2 di picche)*2(3 di picche)*1(4 di picche)=108
<BR>- esso si trova in un\'altra posizione, e quindi “tiene occupati” 2 posti, dove l\'asso di picche non può trovarsi: abbiamo dunque 3*2*3*2*1*3*2*1=216 possibilità.
<BR>Il totale delle disposizioni è quindi 108+216, il tutto per 2, perché si potrebbe trasformare ogni carta di cuori in picche e di picche in cuori (fare una sequenza PCPCPCPC).
<BR>Quindi 648. Credo.
<BR></font>
<BR>

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Messaggio da phi » 01 gen 1970, 01:33

Ehi, vedo che oggi non ha ancora scritto nessuno...! E va be\', io invece ci sto prendendo gusto, per cui azzardo un\'altra soluzione. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> Viene fuori un numero decisamente orribile, però... Boh, io ho controllato un po\' di volte, e continua a venir fuori quello...
<BR>C.3.3
<BR><font color=white>
<BR>Dunque, le possibilità sono due: o il test ha mentito e Marco è sano, o il test ha detto la verità e Marco è malato. La prima possibilità ha, sul totale, una probabilità P1= (19999/20000)*(5/100) = 99995/2000000. La seconda possibilità ha invece P2 = (1/20000)*(95/100) = 95/2000000. Noi vorremmo conoscere la probabilità della seconda ipotesi rispetto ai casi in cui il test ha diagnosticato la malattia, e quindi P2/(P1+P2). Svolgendo i calcoli, dovrebbe essere 19/20018.
<BR>Che, a voler ben guardare, è una probabilità miserrima, una roba tipo lo 0,09%. Possibile che non abbiano un test un po\' più affidabile? O sono io che ho sbagliato? Se non altro, buon per Marco, che al 99,01% è sano! Suppongo che se il test dice che sei malato te lo facciano ripetere un fracco di volte, almeno...
<BR></font>
<BR>Alla prossima...

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Messaggio da phi » 01 gen 1970, 01:33

OK, questa è l\'ultima... Premetto che non ho praticamente mai fatto dimostrazioni di algebra, e il fatto che questa mi sia venuta così in fretta è mooolto sospetto...
<BR>A.2.7
<BR><font color=white>
<BR>E\' dato il polinomio a coefficienti interi P(x) = a<sub>n</sub>x<sup>n</sup> + a<sub>n-1</sub>x<sup>n-1</sup>+...+a<sub>0</sub>.
<BR>Se P(0) è dispari, visto che P(0)=a<sub>0</sub>, a<sub>0</sub> è dispari.
<BR>P(1) è la somma algebrica dei coefficienti, ed è dispari. Ne deriva che a<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>+...+a<sub>n</sub> (somma dei coefficienti meno a<sub>0</sub>) è pari.
<BR>Ponendo P(x)=0 per trovare le radici, possiamo scrivere:
<BR>a<sub>n</sub>x<sup>n</sup>+a<sub>n-1</sub>x<sup>n-1</sup>+...+a<sub>1</sub>x = -a<sub>0</sub>
<BR>Quindi a<sub>n</sub>x<sup>n</sup>+...+a<sub>1</sub>x dev\'essere dispari come a<sub>0</sub>.
<BR>Se x è intero, distinguiamo due casi:
<BR>- x è pari; allora a<sub>n</sub>x<sup>n</sup>+...+a<sub>1</sub>x è necessariamene pari. E non può essere.
<BR>- x è dispari; allora non modifica la parità dei coefficienti (visto che d*d=d, d*p=p). a<sub>n</sub>x<sup>n</sup>+...+a<sub>1</sub>x ha la stessa parità di a<sub>n</sub>+...+a<sub>1</sub>, ovvero è pari.
<BR>Poiché x non può essere né pari né dispari (e neanche 0, visto che a<sub>0</sub>=/0 in quanto dispari), P(x) non ha radici intere.
<BR></font>
<BR>Che incubo, gli apici e i pedici! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: phi il 12-02-2005 15:15 ]

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Melkon
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Messaggio da Melkon » 01 gen 1970, 01:33

premetto che non ho guardato soluzioni a parte la 1.1 in cui mi è inesorabilmente cascato l\'occhio... mi perdonerete i doppioni e il post terribilmente lungo, quindi... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>
<BR>ALGEBRA sezione 1
<BR><font color=white>
<BR>2.
<BR>perché un qualsiasi numero k<sup>n</sup>con k positivo diverso da 1 sia uguale a 1 si deve avere n=0. Quindi dev\'essere x<sup>2</sup>-3x+sqrt5=0 che ha delta positivo. quindi l\'equazione di partenza ha 2 soluzioni
<BR>
<BR>3.
<BR>distinguamo tre casi: se delta negativo l\'equazione non ha radici, quindi la somma dei reciproci è evidentemente nulla (o forse non c\'è?!). Se delta=0 ci sono due soluzioni uguali e coincidenti =-b/2a quindi la somma dei reciproci vale -4a/b. Se delta positivo le due radici valgono (-b+-sqrtb<sup>2</sup>-4ac)/2a. Sommando i reciproci se non ho sbagliato i conti viene -b/c. più in là non ne ho idea...
<BR>
<BR>4.
<BR>x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>-4x+2y+4 è l\'equazione di una circonferenza di centro c(2,-1) e raggio r=1. Dato appunto che il raggio è 1 e il centro è su coordinate a coefficienti interi, gli unici punti della circ a coordinate intere sono sulle rette parallele agli assi e sono quattro.
<BR>
<BR>6.
<BR>x<sup>2</sup>+x-2=(x+2)(x-1)
<BR>devo vedere quindi per quali a
<BR>A) x<sup>2</sup>-a<sup>2</sup> è diviso da x+2. Sono evidentemente a=+-2
<BR>B) x<sup>2</sup>-a-1 è diviso da x+2. Se è così allora si ha che una delle radici di questa dev\'essere -2. si ha quindi -2x<sub>0</sub>=a e -2+x<sub>0</sub>=-1 da cui si ricava a=-2
<BR>quindi la risposta è a=+-2
<BR></font>
<BR>sezione 3
<BR><font color=white>
<BR>1.
<BR>f(1+1)=(2f(1)+1)/2=2 da cui si ricava f(1)=3/2
<BR>
<BR>3. (indico \"minore o uguale\" con \"min=\" e \"maggiore o uguale\" con \"magg=\")
<BR>se a negativo
<BR>x/a magg= sqrt(x-1)
<BR>cioè
<BR>x-1 magg=0 e x/a magg=0 ma dato che a negativo il sistema è impossibile
<BR>
<BR>se a nullo x min=o ha infinite soluzioni
<BR>
<BR>se a positivo ho x/a min=sqrt(x-1)
<BR>risolvo i due sistemi
<BR>
<BR>x-1 magg=0
<BR>x/a min=0
<BR>impossibile
<BR>o
<BR>x-1 magg=0
<BR>x/a magg=0
<BR>x<sup>2</sup>/a<sup>2</sup>min=x-1 cioè x<sup>2</sup>-a<sup>2</sup>x+a<sup>2</sup>min=0
<BR>quest\'ultima disequazione dobbiamo avere delta=0 cioè a=0 o a=+-2
<BR>a=0 però lo scartiamo per quanto detto sopra, cosiccome a=-2. Quindi l\'unico valore accettabile è a=2
<BR></font>
<BR>per combinatoria... un\'altra volta!
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Marco
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

Commenti del w.e.:
<BR>
<BR>@Boll (A.2.7)
<BR>C\'è ancora qualcosa che non torna: il discorso del prodotto delle radici continua a non convincermi: in quel prodotto potresti avere (a numeratore) un po\' di interi e tanti bei numeri razionali (o peggio, come detto) con dei due a demìnominatore che ti uccidono i fattori due delle radici intere pari.
<BR>
<BR>Mi pare che il discorso è un po\' tirato per i capelli. C\'è un bel lemmino molto utile, che ti dice come devono essere fatte le radici razionali di un polinomio a coefficienti interi. Te lo ricordi?
<BR>
<BR>Da lì in poi torna tutto.
<BR>
<BR>N.B.: esiste anche un\'altra soluzione, che non utilizza Vieta, diversa da quella di Phi
<BR>
<BR>@Evariste:
<BR>Ma stai scherzando, vero? Sono <!-- BBCode Start --><I>io</I><!-- BBCode End -->, semmai, che mi sono appropriato indebitamente del thread... Non te l’ha ancora detto (quasi) nessuno, ma la tua raccolta è ottima. Propongo una standing ovation per Evariste.
<BR>
<BR>@Mathomico: (C.1.4)
<BR>Corretto sia il primo che il secondo modo. Così pochi punti perché hai fatto il pigro e non hai considerato gli altri solidi regolari. A proposito, tutti sanno quali sono i solidi regolari <!-- BBCode Start --><B>vero??</B><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>@Enomis e @Tutti: (C.4.4)
<BR>C’è qualche buco nell’impianto logico dell’induzione. Siccome si tratta di un argomento importante, lo schematizzo per bene, a beneficio di tutti. Ci sono diverse varianti possibili, ma vi riporto quella principale.
<BR>
<BR>Supponiamo di voler dimostrare una certa Tesi Generale, valida per tutti i numeri naturali, partendo da un’Ipotesi Generale.
<BR>Con Ipotesi(n) e Tesi(n) indico l’Ipotesi e la Tesi Generali nel caso particolare in cui un parametro (la variabile su cui si induce) ha un valore particolare.
<BR>
<BR>L’induzione si fa così:
<BR>
<BR>1. Dimostro Tesi(0) [base dell’induzione].
<BR>
<BR>2. Suppongo Ipotesi(n) e dimostro Ipotesi(n-1) [riconduzione al caso precedente; qui le barzellette sui matematici si sprecano!]
<BR>
<BR>3. Se vale Ipotesi(n-1) allora vale Tesi(n-1) [ipotesi induttiva; notate che qui non c’è niente da dimostrare!]
<BR>
<BR>4. Suppongo Tesi(n-1) e dimostro Tesi(n) [passo induttivo]
<BR>
<BR>Normalmente la difficoltà vera è il passo 4, il passo 2 è di solito abbastanza banalotto e stupido, e quindi non serve farlo. Non è però qui il caso!! Infatti, supponi che, dati 2(n+1)+1 = 2n+3 sacchi che godono della proprietà che, togliendone uno, puoi spartire i rimanenti in modo che bla bla…; chi ti assicura che la medesima proprietà sia vera per i 2n+1 sacchi ottenuti lasciando da parte i sacchi A e B?
<BR>Nel tuo caso, hai svolto correttamente il passo 1., e il passo induttivo 4. Tuttavia la riconduzione al caso precedente è data per scontata e saltata a piè pari. Ma in questo problema, una delle difficoltà è proprio la riconduzione.
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Messaggio da enomis_costa88 » 01 gen 1970, 01:33

@Marco riferita alla 4.4
<BR>non basterebbe mettere in ipotesi induttiva che la tesi è vera da 1 fino a n(suppongo proprio di no)???Non capisco come si possa fare a collegarsi al caso precedente in questo problema(anzi a dire il vero non sapevo nemmeno di questo passaggio, ho sempre pensato che l\'induzione ne avesse solo2...).<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: enomis_costa88 il 14-02-2005 20:54 ]
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Messaggio da enomis_costa88 » 01 gen 1970, 01:33

Ho altre soluzioni di combinatoria tra cui la 4.2 che non mi convince per niente e la 3.4 che è lunghissima e della quale non ho purtroppo potuto scrivere tutti i calcoli...mi dispiace per le imprecisioni ma il tempo stringe e è importante capirle per non commetterle in gara..
<BR><font color=white>
<BR>4.2: Non è possibile perché le tessere del domino occuperebbero caselle adiacenti e quindi di colore diverso. Ciò presupporrebbe che il numero di caselle bianche sia uguale al numero di caselle nere falso per ipotesi perché le caselle tolte sono sicuramente dello stesso colore(a1=h8 e a8=h1…). Questa soluzione m’è sembrata fin troppo semplice per essere vera e probabilmente avrò fatto come al solito errori scemi..(ma sono qui per imparare..)
<BR>3.4: L’unica possibilità perché 0 abbia 1/12 di probabilità è che sia presente 3 volte su un dado A e 1 su un altro B. 1 può essere presente 3 volte sul dado A oppure 1 volta sul dado B:
<BR>Se uno è presente 3 volte sul dado A, 2 deve essere presente 1 volta sul dado B. 3 non deve essere presente.4 una volta suB.5 non presente. 6 una volta su B.7 non presente. 8 una volta su B. 9 non presente.10 una volta su B.11 non presente. Si ha quindi una soluzione.
<BR>Se uno è presente 1 volta su B allora due può essere presente 3 volte su A o 1 suB. Se è presente 3volte su A:3 non è presente. 4 una volta suB. 5 una volta su B. 6 non presente. 7 non presente. 8 una volta su B.9 una volta su B. 10 non presente.11 non presente. Seconda soluzione.
<BR>Se 2 è presente una volta suB: 3 può essere presente 3 volte su A oppure 1 volta su B. Se 3è presente 3 volte suA si può avere una terza soluzione con 6,7,8presenti una volta sul dado B.
<BR>Se 3 è presente1 volta su B e 4 tre su A l’unica possibilità sarebbe 8,9,10 presenti una volta su B ma si avrebbero 7 numeri presenti su B che è un dado da 6 quindi la soluzione non è accettabile. Con 4 presente una volta su B e 5 tre volte su A si arriverebbe allo stesso assurdo con l’unica combinazione 10,11. Una quarta soluzione si ha con 5 presente 1 volta su B e 6 tre volte su A(entrambi i dadi hanno tutti posti occupati ma bastano per dare a tutti i numeri 1/12 di possibilità). Oltre non possono più esserci altre possibilità in quanto il dado B è già occupato e quindi il sei può essere presente solo su A.
<BR>Sono cosciente che questa soluzione può sembrare empirica ma ho calcolato ogni possibilità solo che (vista la lunghezza delle soluzione..) avrei impiegato 4ore a scrivere ogni calcolo e ogni giustificazione…Quando asserisco che un numero non è presente è perché ha già 1/12 di possibilità. Quando asserisco che un numero può avere 1/12 di possibilità essendo presente 3 volte su A oppure 1 volta su B è perché ha un dodicesimo di possibilità congiunto con 0 nell’altro dado(che è presente 1 volta su B e tre su A). Un numero può inoltre avere 1/12 quando la somma dei risultati di B e A(es 11=5+6) è uguale al numero e il prodotto delle loro possibilità è 1/12.
<BR>1.5: Coppie totali:8.7/2=28 Ogni persona è presente in 7 coppie. Ogni coppia può gareggiare contro altre 28-13(si conta solo una volta la coppia analizzata nella sottrazione e quindi non 28-14..)=15coppie. Gli incontri possibili sono 28*15=420.
<BR>Altra soluzione: (8 4) =8!/(4!)^2=70: possibili quartetti. I quartetti possono formate 6 coppie. 6*70=420.
<BR>1.3: 3^4*2=81*2=162. 1 ha 3 possibili posizioni(1+2=3..può occupare solo una delle prime tre posizioni). 2 ha 4 possibili posizioni-quella già occupata da uno. 3 ha 5 posizioni-quelle di 1e2.4:sei-3 posizioni. 5:6-4 posizioni.6: una sola posizione possibile.
<BR>
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: enomis_costa88 il 14-02-2005 20:48 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: enomis_costa88 il 14-02-2005 21:10 ]
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