Algebra e Combinatoria da Febbraio e poco in su

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Igor
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Messaggio da Igor » 01 gen 1970, 01:33

x poliwhirl:
<BR>
<BR>Credo che la tua dimostrazione del probl. 3 sez. 2 sia incompleta:
<BR>Infatti hai dimostrato che per n dispari abbiamo una soluzione al problema, ma non hai dimostrato che per n pari non si può trovare una successione che verifichi le condizioni poste.

Hammond
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Messaggio da Hammond » 01 gen 1970, 01:33

Combinatoria.
<BR>1.2] Si dica quanti sono i sottoinsiemi di {1,2,3,4,5,6,7} tali che la somma dei propri elementi sia un numero dispari.
<BR><font color=white>I sottoinsiemi cercati sono tutti e soli quelli con un numero dispari di elementi dispari, infatti è noto e ovvio che altrimenti accoppiando due dispari si ottiene un pari.
<BR>Nel nostro caso, ci sono 4 modi di includere un solo dispari nel sottoinsieme, e 4 modi di includerne tre.
<BR>Per ognuno di questi modi, si possono aggiungere numeri pari a piacere, che non influiscono sulla parità del sottoinsieme; contando le varie combinazioni di 0,1,2,3 numeri pari da inserire, si vede che ci sono 8 modi possibili.
<BR>Il totale dei sottoinsiemi cercati è quindi 4*8 + 4*8 = 64.
<BR>p.s: tutte i \'numeri di modi possibili\' si calcolano con i binomiali;
<BR>p.p.s: forse ho trovato una cosa interessante, ovvero che i sottoinsiemi di un insieme {1,2,...,n} sono sempre metà \'somma-pari\' e metà \'somma-dispari\', ovvero 2<sup>n-1</sup> di ciascun tipo (dimostrato con una specie di induzione) solo che non so a cosa possa servire...</font>
<BR>
<BR>1.5] In un torneo di tennis 8 persone decidono di giocare gli incontri di doppio in tutti i modi possibili. Quanti incontri ci sono nell\'intero torneo?
<BR><font color=white>In ogni incontro sono in campo 4 giocatori; ci sono 70 modi di scegliere 4 persone in un insieme di 8 (binomiali). Per ogni quartetto (es. A-B-C-D) si giocano tre incontri (AB vs CD , AC vs BD , AD vs BC). In totale quindi il numero di incontri è 70*3 = 210.</font>
<BR>
<BR>4.8] (Scacchiera 10 x 10 e tetramini).
<BR><font color = white>Dimostrare che non si può tassellare la scacchiera con 25 tetramini a \'T\':
<BR>coloriamo la scacchiera di bianco e nero, a scacchiera (!); per la sua forma il tetramino a T copre sempre tre caselle di un colore e una dell\'altro: i pezzi a T quindi possono eventualmente coprire lo stesso numero di caselle bianche e nere solo dopo un numero pari di mosse, ma per la scacchiera 10x10 (che chiaramente ha lo stesso numero di bianche e nere) ne servirebbero 25, dunque è impossibile.
<BR>
<BR>Dimostrare che non si può tassellare la scacchiera con 25 tetramini dritti:
<BR>coloriamo la scacchiera di quattro colori a strisce diagonali, in modo tale che il pezzo dritto copra necessariamente una casella per colore; a ogni mossa risultano coperte lo stesso numero di caselle per ogni colore, ma nell\'intera scacchiera ci sono 24 caselle di un colore, 26 di un altro e 25 dei due rimanenti, perciò la tassellazione con i tetramini dritti è impossibile.
<BR>
<BR>Si può ricoprire la scacchiera con tetramini a L ? NO
<BR>Dim. Coloriamo la scacchiera a strisce bianche e nere [OT] forza juve [/OT]: la scacchiera ha caselle bianche e nere in ugual numero, e ogni pezzo a L copre tre caselle di un colore e una dell\'altro, quindi può ricoprire lo stesso numero di caselle bianche e nere solo dopo un numero pari di mosse; per ricoprire la scacchiera servirebbero 25 pezzi, per cui è impossibile.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Hammond il 06-02-2005 22:13 ]

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Marco
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

@Enomis:
<BR>
<BR>Confermo quello che ha detto Igor. Una funzione costante è una funzione che ha per immagine un solo elemento. Ossia manda tutti gli elementi nel dominio in un unico valore. Es.: F:R-->R, F(x) = 37.
<BR>
<BR>La soluzione A.1.6 è sbagliata. Infatti per avere la divisibilità dei polinomi, occorre che un polinomio sia multiplo dell\'altro, a prescindere dal valore dell\'incognita. Invece, se svolgi i tuoi calcolacci, trovi che le tue soluzioni per a dipendono da x. Ossia, la divisibilità vale solo in un punto, ma non globalmente.
<BR>
<BR>Suggerimento: quando devi scrivere la radice quadrata in modo testo, usa la funzione sqrt(-)...
<BR>
<BR>@Tutti: Ho aggiornato la lista dei solutori a pag.1 Spero di poter guardare quanto prima le soll. in attesa di giudizio...
<BR>
<BR>Ciao. M.[addsig]
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

@Simo the Wolf:
<BR>
<BR>La tua dim. dell\'A.3.8 contiene un discreto assortimento di errori:
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>...è monotona crescente e quindi prenderà tutti i valori in R
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Falso! Monotona crescente NON è surgettiva. Controesempio: f(x) = exp(x).
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>f(f(x+f(y))+(-y))=f(f(x)))
<BR>x+f(y)+f(-y)=x
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>La mancanza di una spiegazione comporta che potrei avere equivocato il passaggio, ma mi sembra di capire che passi dalla prima alla seconda usando f( f(x+f(y)) + -y ) =?= ff(x+f(y) + f(-y), ossia, scrivendolo meglio, f( A + B ) = f(A) + f(B). Questa proprietà si chiama linearità, e non è affatto detto che sia vera per la tua f(-).
<BR>
<BR>Ah, no. Ho capito. Il passaggio è corretto; questo è un modo molto brutto di scrivere una soluzione: il correttore ha l\'impressione che ci sia un errore anche dove è giusto. Una parola in più come ad esempio: \"utilizzo la formula (1) con x = Tizio e y = Caio\" avrebbe fugato i dubbi.
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>f(x) è monotona decrescente e quindi anche x-f(x) è monotona decrescente
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>A questo punto c\'è poco da salvare, ma ti sottolineo anche questo: se f(.) è decrescente, allora -f(.) è crescente e somma di roba crescente è crescente. Quindi x-f(x) è monotona crescente, semmai.
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Quindi le uniche soluzioni sono f(x)=x e f(x)=-x
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Eccolo! Questo ti costa un punto netto. Hai dimostrato che le eventuali soluzioni possono essere solo +/-x. Dove hai dimostrato che sono effettivamente soluzioni?
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>quindi f(f(x))=xn+k per ogni k
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Attenzione ai quantificatori logici: semmai, esiste k t.c. per ogni x. Detto in altri termini, f f(x) - x^n è costante.
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>scegliamo f(y) e poi x tale che x+f(y)>1.
<BR>[...](x+f(y))n+k>xn+f(y)n+k
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Non ho capito il passaggio. Suppongo che sia utilizzato il Teo del Binomio. Anche qui, una parola in più non avrebbe guastato...
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Spero di non essermi dilungato troppo..
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>No, direi proprio di no..
<BR>
<BR>In sintesi: nel caso n=1 manca di dimostrare la surgettività, ma sono date due soluzioni (sono le uniche??). Peccato che non hai verificato che siano proprio soluzioni. Il caso difficile invece è risolto. Consiglio generale: non nego che tu ce l\'abbia avuto chiaro nella testa, ma cerca di dimostrare meglio: non c\'è niente di peggio di presentarsi alle gare con una soluzione comprensibile a sprazzi, infarcita di imprecisioni qui e là...
<BR>
<BR>Ciao. M.
<BR>
<BR>\"It\'s up to you how far you go /
<BR>If you don\'t try you\'ll never know /
<BR>And so my lad as I\'ve explained /
<BR>Nothing ventured, nothing gained.\"<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: marco il 07-02-2005 11:42 ]
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

Ok marco, grazie per aver scovato i miei errori, ora dovrebbe andare meglio... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

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Sisifo
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Messaggio da Sisifo » 01 gen 1970, 01:33

Algebra 2.6<font color=\"white\">
<BR>Voglio dimostrare per induzione su n che 3a<sup>2</sup><sub>n</sub>+1 è un quadrato di un intero e che a<sub>n</sub> è un intero. Per n=1, la tesi è vera. Se la tesi è vera per n=k, allora:
<BR>3a<sup>2</sup><sub>k+1</sub>+1=
<BR>3(2a<sub>n</sub>+√(3a<sup>2</sup><sub>k</sub>+1))<sup>2</sup>+1=
<BR>3(4a<sup>2</sup><sub>k</sub>+3a<sup>2</sup><sub>k</sub>+1+4a<sub>k</sub>√(a<sup>2</sup><sub>k</sub>)=
<BR>21a<sup>2</sup><sub>k</sub>+4+12a<sub>k</sub>√(3a<sup>2</sup><sub>k</sub>+1)=
<BR>(3a<sub>k</sub>+2√(3a<sup>2</sup><sub>k</sub>+1))<sup>2</sup>
<BR>Per l\'ipotesi induttiva, la base è un intero e la prima proposizione è dimostrata. Per quanto riguarda la seconda proposizione se a<sub>k</sub> è un intero a<sub>k+1</sub> è una somma di interi per l\'ipotesi induttiva. Quindi si ha la tesi.</font>
<BR>Scusate i rimaneggiamenti, ma ci ho perso gli occhi a scriverla... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
<BR>Tra parentesi grazie Marco per il complimento<IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">...
<BR>
<BR>\"Non è certo che tutto sia incerto\"(B. Pascal) <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Sisifo il 07-02-2005 14:33 ]
"Non è certo che tutto sia incerto"(B. Pascal)
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Marco
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

Commenti assortiti.
<BR>
<BR>@Igor e @Tutti:
<BR>Esercizio degli anagrammi C.2.3. Si può fare con entrambe le interpretazioni \"La C sia seguita dalla A\":
<BR>
<BR>Es. C.2.3.a
<BR>- nel senso di \"la lettera immediatamente successiva alla C è la A\"
<BR>
<BR>Es. C.2.3.b
<BR>- nel senso di \"la A segue la C\" (potrebbero esserci altre lettere in mezzo)
<BR>
<BR>
<BR>@Sisifo (pb. dei trimini C.4.5)
<BR>La dimostrazione non fa una grinza, ma commetti un clamorosissimo autogol quando dici: \"Per q=0 la tesi è palesemente falsa\".
<BR>
<BR>La tesi è assolutamentissimamente VERA: hai una scacchiera 1x1, a cui devi togliere una casella a caso, e che devi ricoprire con le L. Se togli l\'unica casella, ottieni un insieme vuoto da tassellare, che è tassellabile con zero trimini. A riprova, la tua costruzione del passo induttivo funziona anche con q = 1.
<BR>
<BR>@Poli (pb. A.2.3)
<BR>L\'obiezione di Igor è assolutamente fondata. Hai coperto il caso n = dispari, ma non hai speso una parola per il caso n = pari...
<BR>
<BR>@Hammond (pb. C.1.2)
<BR>\"solo che non so a cosa possa servire...\". Può servire a trovare un\'interessante soluzione alternativa, senza binomiali.
<BR>
<BR>Ciao. M.[addsig]
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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Ho provato a riscrivere il problema 1.7, speriamo in bene...
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)

Igor
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Messaggio da Igor » 01 gen 1970, 01:33

Algebra Sezione 2 Esercizio 3.
<BR>Completo la soluzione di poliwhirl:
<BR>La media aritmetica della progressione è (a.1+a.n)/2.
<BR>Prendiamo ora tre termini qualsiasi della successione e calcoliamo la loro media aritmetica.
<BR>M=(a.1+m*R+a.1+n*R+a.1+s*R)/3
<BR>dove R è la costante della successione e m,n,s sono interi positivi.
<BR>Possiamo riscrivere la formula appena trovata in questo modo:
<BR>M = a.1+K*R/3 dove K = m+n+s.
<BR>Uguagliamo ora questa espressione alla media della successione:
<BR>a.1+K*R/3=(a.1+a.n)/2
<BR>a.1+K*R/3=(a.1+a.1+(n-1)R)/2
<BR>a.1+K*R/3=a.1+(n-1)*R/2
<BR>2K=3(n-1).
<BR>Ora, poichè il primo membro è sempre pari, anche il secondo deve esserlo e
<BR>quindi n-1 deve essere pari, cioè n è dispari.
<BR>D\'altro canto, è stato già dimostrato che ogni successione con un numero dispari di termini verifica le ipotesi del problema.
<BR>

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enomis_costa88
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Messaggio da enomis_costa88 » 01 gen 1970, 01:33

altre soluzioni da sottoporre al rigido(e impeccabile..) controllo di Marco..e ora che ho visto la mole di imprecisioni fatte inizierò subito a correggere i vecchi..
<BR>
<BR><font color=white>
<BR>sezione numero3 2)se b>=a allora x>y>z
<BR>ponendo y=z si ha a=3/2b
<BR>x=z: a=5/3b
<BR>x=y: a=2b.
<BR>Da ciò si ricava che per a<3/2b x>y>z. per 5/3b>a>3/2b x>z>y.2b>a>5/3b implica che z>x>y e in ultimo caso se a>2b z>y>x(non ho fatto accenno alle uguaglianze in quanto sono esposte sopra).
<BR>3) entrambi i membri sono sicuramente positivi(x>=1…quindi anche a positiva) elevando si ha x^2-ax+a=<0. il termine di secondo grado ha segno discorde con il verso quindi l’intervallo soluzione sarà interno. Perché la soluzione sia solo una i due zeri del polinomio devono essere coincidenti:
<BR>x^2-(2x1)x+x1^2=<0 da cui 2x1=x1^2. l’unico valore per cui ciò è possibile è a=2.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: enomis_costa88 il 09-02-2005 20:42 ]
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Igor
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Messaggio da Igor » 01 gen 1970, 01:33

Combinatoria Sezione 3 Esercizio 1:
<BR>
<BR>Se si prende il vaccino e si vive in campagna, la probabilità di prendere l\'influenza è data da :
<BR>P = (1-P.V)*(1-P.C) dove P.V è la probabilità di evitare l\'influenza se si prende il vaccino e P.C è la probabilità evitare l\'influenza se si vive in campagna.Abbiamo dunque:
<BR>P =(1-95/100)*(1-25/100)=0.0375
<BR>La probabilità di evitare l\'influenza è dunque (1 - P)=0.9625, cioè una probabilità del 96.25%.
<BR>
<BR>Sezione 3 Esercizio 2
<BR>Se lanciando il primo dado esce il colore presente solo su una faccia,il che avviene con probabilità 1/6,anche lanciando il secondo dado dobbiamo avere lo stesso risultato, la probabilità che da entrambi i lanci si ottenga questo colore è dunque 1/6*1/6.
<BR>Allo stesso modo,la probabilità che su entrambi i lanci esca il colore presente su due faccie è 1/3*1/3, mentre quella che esca il colore presente su tre faccie è 1/2*1/2.
<BR>La probabilità totale è dunque:
<BR>1/36+1/9+1/4=7/18

Hammond
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Messaggio da Hammond » 01 gen 1970, 01:33

Ancora un po\' di combinatoria.
<BR>
<BR>1.3) In quanti modi differenti si possono disporre i numeri da 1 a 6 in una sequenza ordinata a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>, ... ,a<sub>6</sub> in modo che si abbia a<sub>i</sub> =< i+2 per i = 1,2,...,6?
<BR><font color=white> a<sub>1</sub> può valere 1,2 o 3; a<sub>2</sub> può valere 1,2,3 o 4, ma uno di questi è sicuramente già stato inserito come primo termine della sequenza, per cui rimangono tre possibili scelte; stesso discorso per a<sub>3</sub> (5 possibilità di cui 2 già usate) e per a<sub>4</sub> (6 e 3). Per a<sub>5</sub> rimane da scegliere tra due numeri, e chiaramente a<sub>6</sub> è obbligato. Il numero di combinazioni possibili dunque è dato da 3*3*3*3*2 = 162.</font>
<BR>
<BR>2.1) Calcolare la somma dei numeri minori di 1000 e relativamente primi con esso.
<BR><font color=white>(Soluzione alternativa, che tuttavia non mi pare né più semplice né più elegante di quella di Igor).
<BR>Poiché 1000 = 2<sup>3</sup>*5<sup>3</sup>, i numeri primi con esso sono quelli non divisibili né per 2 né per 5. In ogni decina, tali numeri sono quelli che finiscono con le cifre 1,3,7,9. Scriviamo la loro somma totale in questo modo:
<BR>1 + 11 + 21 + … + (10n+1)
<BR>3 + 13 + 23 + … + (10n+3)
<BR>7 + 17 + 27 + … + (10n+7)
<BR>9 + 19 + 29 + … + (10n+9)
<BR>---------------
<BR>20+60+100 + … + (40n+20)
<BR>
<BR>dove n arriva fino a 99.
<BR>La somma totale è data da 40(n*(n+1))/2 + 20(n+1) ==> 20*99*100 + 20*100 ;
<BR>Oppure si può usare la formula per i primi 100 termini della serie aritmetica di ragione 40 e a<sub>1</sub>=20, ossia 100*(20+40*100-20)/2;
<BR>In ogni caso il risultato è 200000.</font>
<BR>
<BR>2.3) Quanti sono i possibili anagrammi della parola LICEALI tali che la C sia seguita dalla A?
<BR>Versione 1: A immediatamente successiva a C.
<BR><font color=white>Ci sono 6 modi diversi di posizionare il gruppo CA nell’anagramma; per ognuno di essi restano da posizionare le lettere rimanenti, il che equivale a fare gli anagrammi della parola LIELI: questi sono 5! / (2!*2!) = 30. In totale gli anagrammi cercati sono 180. </font>
<BR>Versione 2: A genericamente successivo a C.
<BR><font color=white>Se C occupa la prima posizione abbiamo 6 possibili posizioni per A, con C al secondo posto ce ne sono 5, … , se C è la sesta lettera c’è una sola possibilità per A: in totale risultano 21 modi di disporre in maniera accettabile C e A nell’anagramma. Anche qui, per ognuno di essi ci sono 30 diversi anagrammi della parola LIELI, quindi in totale gli anagrammi cercati sono 630.
<BR>
<BR>N.B: Ho usato la formula per gli anagrammi con lettere ripetute senza dimostrarla, se ciò fosse necessario vedere la sol. al 2.4).</font>
<BR>
<BR>2.4) Quanti sono i numeri di 10 cifre in cui la cifra 1 compare esattamente una volta, la cifra 2 esattamente due volte, la cifra 3 esattamente tre volte e la cifra 4 esattamente quattro volte?
<BR><font color=white>Ci sono 10! permutazioni delle cifre, ma bisogna contare una sola volta le ripetizioni: per uno stesso numero infatti ci sono 4! modi di disporre i suoi quattro 4, combinati a 3! modi di disporre i tre 3 e a 2! modi di disporre i due 2. Pertanto, i numeri cercati sono 10! / (4!*3!*2!) = 12600. <DIV style=font-size:1pt><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Hammond il 07-02-2005 22:07 ]

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-08 12:42, Boll wrote:
<BR>e non avei la previdenza di scaricarlo... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">
<BR>
<BR>EDIT: Corretto orrore grammaticale
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 08-02-2005 12:43 ]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Uhm ... avei ??

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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

Commenti delle correzioni di iersera.
<BR>
<BR>@Mathomico, Boll, Enomis (pb. A.1.7)
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>una <!-- BBCode Start --><B>permutazione</B><!-- BBCode End --> qualsiasi dell\'insieme dato</BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Ecco, la parola magica che vale due punti!
<BR>
<BR>Vi voglio spiegare bene le motivazioni per cui finora avevo dato 5 e solo all\'ultima di Boll ho potuto dare 7.
<BR>
<BR>Tutte e tre le dimostrazioni (M., E. e B.1.0) arrivavano a dire \"i tre fattori sono -3, -1, 1\". Ok. Questo valeva i cinque punti. Che cosa mancava? Mancava di provare che i tre fattori non si potessero scambiare di posto. Sono il primo a dire che è una cavolata (basta, ad esempio, mettere in ordine crescente i tre fattori; cambiando m con n l\'ordine non cambia, ecc...). Ma se rileggete bene le vostre dimos, non c\'è uno solo di voi tre che abbia minimamente accennato al fatto che i tre fattori potessero essere scambiati di posto.
<BR>
<BR>Boll.1.1 ha preso i sette punti, ma <!-- BBCode Start --><I>non</I><!-- BBCode End --> per il cappellotto teorico iniziale. Esso, per quanto apprezzabile e corretto, è dato per scontato e non serve dimostrarlo, quindi non dà punti aggiuntivi (al massimo potrà valere un \"+\"; un \"1\" per premiare lo sforzo, se fosse l\'unica cosa scritta...). I due punti, come detto, arrivano dall\'aver considerato il caso dei fattori scambiati di posto e averlo esplicitamente escluso.
<BR>
<BR>@Simo t. W. (pb. A.3.8*)
<BR>La leggibilità è decisamente molto, molto, migliorata.
<BR>
<BR>Attenzione al punto delicato (l\'asterisco). A parte che i maggiori/minori ti hanno mangiato un po\' di simboli [consiglio: inserisci sempre uno spazio attorno a < e >, altrimenti il parser malinterpreta], c\'è ancora qualcosina che non va.
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>essendo crescente dovrebbe esserci un numero reale r tale che r < f(x)+x per ogni x in R e/o un reale s t.c. s > f(x)+x per ogni x in R.</BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Credo che stai utilizzando il seguente
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Lemma??</B><!-- BBCode End --> Una funzione R -- > R monotona, non surgettiva è necessariamente limitata.
<BR>
<BR>Falso! Controesempio: f(x) = x + sign(x). E crescente, non limitata, ma non prende mai il valore 1/2.
<BR>
<BR>Il lemma dell\'(*) è un lemma vero, ma la dimostrazione è fallace. Quindi direi, 3 punti per il caso <!-- BBCode Start --><I>n > 1</I><!-- BBCode End -->, 1 punto per la verifica delle soluzioni, 1 punto per aver concluso (modulo il lemma). Cinque punti.
<BR>
<BR>@Igor (pb. A.2.3)
<BR>Bene. Unica sbavatura: \"sono interi positivi\". In verità, positivi o nulli. Ricordo a tutti che 0 non è positivo, ma neanche negativo. Se volete dire a parole \" >= 0\" dite \"non negativi\". Faccio inoltre notare che ad un certo punto dividi per R. Lo puoi fare, dato che vale l\'ipotesi che la successione è crescente (il che è, se e solo se R > 0). Per la cronaca, mi pare che questo fosse uno dei dimostrativi della Gara di Primo Livello quando ho partecipato io.
<BR>
<BR>@Enomis
<BR>Grazie per l\'impeccabile (cerco di fare del mio meglio...); per il rigido, la cosa è voluta: in fin dei conti questo è un allenamento ed è meglio imparare ad evitare gli errori standard qui, che non in gara. Poi, magari, in gara i correttori sono più di manica larga (cosa che vi auguro: mi do fastidio da solo, a fare così il fiscale), ma è senz\'altro una buona idea non offire loro pretesti per levare dei punti. E te lo dice uno che è stato specialista a gettare al vento punti già vinti.
<BR>
<BR>@E.G.
<BR>Ebbene sì, egli avette...
<BR><IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>Ciao. M.[addsig]
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
- - - - -
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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Sempre sui polinomi, proviamo il 2.7
<BR>
<BR><font color=white>
<BR>Come noto P(0) è il termine noto del nostro polinomio, ed è dispari. P(1) è la somma algebrica dei coefficenti, ed è dispari. Se ne ricava che la somma dei coefficenti, tolto il termine noto, è pari. Ora, per Viete, avremo che +-prod(r<sub>i</sub>)/a<sub>1</sub> è un dispari diviso un intero, dove {r} sono le radici del polinomio e {a} i coefficenti, contati da sinistra a destra. Quindi se r è intero è per forza dispari, perchè se fosse pari significherebbe che c\'è almeno un fattore 2 nell\'espressione precedente a numeratore, ma ciò è falso per ipotesi. Ora se r è una radice dispari dovrà valere a<sub>1</sub>+...+a<sub>n</sub>==0 mod 2, sfruttando proprietà delle congruenze e il fatto che se r è radice P(r)=0, ma ciò è assurdo perchè nelle ipotesi è riportato che la somma algebrica dei coefficenti è dispari.
<BR>
<BR>EDIT: Corrette un pò di cosucce, cmq non era poi così malaccio, bah, pignoleria... cmq giustificata <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 10-02-2005 19:12 ]
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)

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