Algebra e Combinatoria da Febbraio e poco in su

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Sisifo
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Messaggio da Sisifo » 01 gen 1970, 01:33

Combinatoria 4.1<font color=\"white\">
<BR>Coloriamo alternativamente di bianco e di nero i settori. La differenza tra la somma dei valori nei settori bianchi e la somma dei valori nei settori neri è un\'invariante, infatti due settori consecutivi appartengono a colori diversi, quindi aggiungere uno ad entrambi non cambia la differenza. Nella configurazione iniziale tale valore è 2, in una qualsiasi configurazione in cui tutti i numeri sono uguali la differenza è 0. Da ciò si può dedurre che non si potrà mai arrivare ad una tale configurazione.</font>[addsig]
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enomis_costa88
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Messaggio da enomis_costa88 » 01 gen 1970, 01:33

Ho provato a risolverle ma non so quante siano giuste..fino a questa mattina avevo una febbre assurda ed è molto probabile che abbia fatto errori stupidi di calcolo.
<BR>
<BR><font color=white>
<BR>2) 2^0=1 quindi x^2-3x+√5=0; il delta(9-4√5)è positivo quindi ha due soluzioni.
<BR>4) l’equazione rappresenta una circonferenza. Il centro è (2,-1) e il raggio è 1. gli unici valori interi di x possono essere quindi 2;2-1;2+1 dai quali si ricavano i valori di y sostituendo nell’equazione x^2+y^2-4x+2y+4=0: -(1,1);(2,0 ) ; (2,-2);(3,-1)
<BR>5) x^2=y^2 x=+-y se x=y allora (x-a)(x+a)=0 e x=+-a; se x=-y allora –(x-a)^2=0 da cui x=a; per x=a ammette due soluzioni(a,-a)(a,a) per x=-a solo una (-a,-a).
<BR>6) x^2+x-2 si scompone come(x-1)(x+2)quindi resta da vedere quando (x^2-a^2)(x^2-a-1) è divisibile per (x+2). x^2-a^2 = k(x+2) da cui a=+-√(x^2-kx-2k); x^2-a-1=k(x+2) quindi a=x^2-1-kx-2k. Quindi risultano 3 valori di a in funzione di k(infiniti valori…almeno penso)
<BR>7) (x-x1)(x-x2)(x-x3)=3 fattorizzando 3 in tre fattori interi 3=1(-1)(-3); questa è la sua unica fattorizzazione intera senza ripetere fattori uguali.(x-x1);(x-x2);(x-x3) sono interi perché la sottrazione è interna all’insieme dei numeri interi. Per la fattorizzazione unica(x-x1)=1;(x-x2)=-1;(x-x3)=-3. Non essendoci altre fattorizzazioni di 3 in tre fattori interi n dovrebbe essere = m falso per ipotesi.
<BR>
<BR>Sezione2
<BR>4) basta porre x=1 per vedere i valori dei coefficienti. Risulta 2^2001-8^667+5=0 quindi 5.
<BR>5) poniamo (a-b)^2<(b-c)^2<(a-c)^2. questo ordine può essere causato da c>b>a o dall’ordine opposto a>b>c. Nel primo caso la disequazione a^2+b^2=< 4ab+c^2 (calcoli svolti…)è sempre vera perché c^2>b^2 e 4ab>a^2. Nel secondo caso c=x; b=x+y e a =x+y+z con y>z perché (a-b)^2<(b-c)^2.
<BR>Sviluppando i calcolacci risulta 2x^2+2y^2+z^2=<4y^2+2xy+5x^2+4xy+2zx.però sappiamo che 5x^2>2X^2 e che 4y^2>2Y^2+z^2.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: enomis_costa88 il 06-02-2005 17:31 ]
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Messaggio da Poliwhirl » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-05 21:13, enomis_costa88 wrote:
<BR>3)x^2+b/a x+c/a=0. <!-- BBCode Start --><B>–(x1+x2)</B><!-- BBCode End -->=b/a
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>??? Ma la somma dei reciproci non è 1/x<sub>1</sub>+1/x<sub>2</sub>??
<BR>Io ho provato a risolvere il problema ma non riesco a esprimere la somma di in termini di a e b ; il massimo a cui riesco a giungere è esprimerla in termini di b e c ; infatti 1/x<sub>1</sub>+1/x<sub>2</sub>=(x<sub>1</sub>+x<sub>2</sub>)/x<sub>1</sub>*x<sub>2</sub>=(-b/a)/(c/a)=-b/c . Se qualcuno ha altre idee...
<BR>
<BR>Bye,
<BR>#Poliwhirl#
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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Umpf ... si potrà sbagliare a scrivere un testo, no?
<BR>
<BR>\"in termini di a,b,c\" e non \"in termini di a,b\"
<BR>
<BR>Il problema originale conteneva il polinomio monico x^2 + ax + b e quindi lì c\'era \"in termini di a,b\" ... io ho apportato la piccola modifica di considerare un polin anche non monico ma non ho cambiato il resto...
<BR>Sorry

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Messaggio da enomis_costa88 » 01 gen 1970, 01:33

@Poliwhirl
<BR>ovviamente hai ragione tu...cancello subito questa dall\'elenco delle mie presunte soluzioni..
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Messaggio da enomis_costa88 » 01 gen 1970, 01:33

Mi piacerebbe sapere cos\'è una funzione costante (vedi esercizio 4 sezione3)
<BR><font color=white>
<BR>Soluzione 3.1:
<BR>f(2)=(2f(1)+1)/2=2 da cui f(1)=3/2<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: enomis_costa88 il 06-02-2005 16:25 ]
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Messaggio da Sisifo » 01 gen 1970, 01:33

Dovrei fare esercizi di fisica oggi (gara di secondo livello giovedì questo...), ma facciamo finta di niente.
<BR><font color=\"white\">Combinatoria 4.5
<BR>Andiamo per induzione su q. Per q=0 la tesi è palesemente falsa (spero il testo intendesse dire <I>q intero positivo</I>...). Per q=1 la tesi è palesemente vera.
<BR>Supponiamo che sia vera per q=n, allora dividiamo la scacchiera di lato 2<sup>n+1</sup> in quattro quadrati uguali. Tasselliamo il quadrante con la casella eliminata con le tessere (ciò è possibile per la premessa induttiva). Negli altri quadranti ignoramo le caselle adiacenti all\'angolo in comune dei quadranti, e tasselliamoli con le tessere (sempre per la premessa induttiva). Al centro sarà rimasto esattamente un buco della forma della tessera e lo riempiamo. Per induzione si ha la tesi.</font>[addsig]
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Messaggio da Poliwhirl » 01 gen 1970, 01:33

@enomis_costa: la tua soluzione all\'es. 1.5 è incompleta, controlla la mia; la tua soluzione all\'1.6 credo sia in parte sbagliata,comunque ti consiglio di dare un occhio alla soluzione di Mathomico, che ha anche trovato i valori del parametro; puoi darmi chiarimenti sulla tua soluzione all\'es. 2.4? (se puoi scriverla un pò più per esteso, e indicare tutti i passaggi logici, per favore, perché io ho un pò di difficoltà a seguire le soluzioni <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> ; grazie)
<BR>
<BR>Bye,
<BR>#Poliwhirl#<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Poliwhirl il 06-02-2005 16:53 ]
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Messaggio da enomis_costa88 » 01 gen 1970, 01:33

Perchè 1 è l\'elemento neutro(spero si dica così) della moltiplicazione e quindi se la variabile=1 i valori dei coefficenti di un polinomio non vengono \"cambiati\" dalla variabile ma ciò che rimane è la somma algebrica di essi...mi spiace d\'essere così poco chiaro ma credo che solo con l\'abitudine e sentendo i commenti alle proprie soluzioni e capendo i propri difetti si possa migliorare..
<BR>
<BR>Cmq mi piacerebbe sapere dove ho sbagliato nell\'uno.sei... credo che l\'errore sia concettuale perchè ho verificato i calcoli e mi sembra che tutto torni.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: enomis_costa88 il 06-02-2005 17:53 ]
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Messaggio da Poliwhirl » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-06 17:28, enomis_costa88 wrote:
<BR>ponendo x=1 si possono vedere i valori dei coefficenti
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Perché?
<BR>
<BR>Bye,
<BR>#Poliwhirl#
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Messaggio da Poliwhirl » 01 gen 1970, 01:33

Ok! Ora ho capito la tua soluzione al 2.4 ; per quanto riguarda l\'1.6, non saprei; ad ogni modo la soluzione tua e quella di Mathomico sono diverse; la soluzione di Mathomico porta ad a=+-2 e a=3 , mentre la tua porta ad infiniti valori possibili di a.
<BR>
<BR>Bye,
<BR>#Poliwhirl#
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Messaggio da Poliwhirl » 01 gen 1970, 01:33

Sezione 2, problema 3
<BR>3.Sia {a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>,...,a<sub>n</sub>} una progressione aritmetica crescente di n termini (cioè la differenza tra due termini consecutivi è una costante positiva). Si domanda per quali valori di n possiamo trovare 3 termini della progressione la cui media aritmetica è uguale alla media aritmetica della progressione.
<BR><font color=white>
<BR>Per ogni n dispari. In quel caso esiste un termine \"centrale\" a<sub>c</sub> (con c=(n+1)/2) della progressione che equidista dagli estremi a<sub>1</sub> e a<sub>n</sub> della progressione stessa; posta d la ragione e k il numero di termini che precedono (o seguono) a<sub>c</sub>, abbiamo:
<BR>a<sub>c</sub>=a<sub>1</sub>+dk
<BR>a<sub>c</sub>=a<sub>n</sub>-dk
<BR>Sommiamo membro a membro:
<BR>2a<sub>c</sub>=a<sub>1</sub>+a<sub>n</sub> da cui:
<BR>a<sub>c</sub>=(a<sub>1</sub>+a<sub>n</sub>)/2
<BR>La somma di tutti i termini della progressione è della progressione è:
<BR>S<sub>n</sub>=(a<sub>1</sub>+a<sub>n</sub>)*n/2
<BR>da cui la media aritmetica della progressione risulta:
<BR>M<sub>progressione</sub>=[(a<sub>1</sub>+a<sub>n</sub>)*n/2]/n=(a<sub>1</sub>+a<sub>n</sub>)/2
<BR>Ora dimostriamo che la media aritmetica di a<sub>1</sub>, a<sub>n</sub> e a<sub>c</sub> è uguale alla media aritmetica della progressione:
<BR>M<sub>3termini</sub>=(a<sub>1</sub>+a<sub>n</sub>+a<sub>c</sub>)/3
<BR>Sostituendo il valore di a<sub>c</sub> in funzione di a<sub>1</sub> e a<sub>n</sub> (trovato prima):
<BR>{a<sub>1</sub>+a<sub>n</sub>+[(a<sub>1</sub>+a<sub>n</sub>)/2]}/3=(3a<sub>1</sub>+3a<sub>n</sub>)/6=(a<sub>1</sub>+a<sub>n</sub>)/2 che è la media aritmetica della progressione.
<BR><font color=black>
<BR>Bye,
<BR>#Poliwhirl# <font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Poliwhirl il 06-02-2005 19:04 ]
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Messaggio da Cu_Fa » 01 gen 1970, 01:33

Non riesco ad aprire il file degli esercizi nè in pdf nè in ps...

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Messaggio da enomis_costa88 » 01 gen 1970, 01:33

cmq alla fine nessuno mi ha esplicato cosa sia una funzione costante<IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> ..mi accontenterei anche di un collegamento ad altre discussioni vecchie o ad un sito..
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Messaggio da Igor » 01 gen 1970, 01:33

Una funzione costante è (almeno penso) un funzione del tipo f(x)=k con k appartenente a R.
<BR>
<BR>

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