Algebra e Combinatoria da Febbraio e poco in su

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EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Dopo la Geometria, ecco altre cose più brutte...
<BR>
<BR><A href=\"http://linuz.sns.it/~samuele/prob_alg_comb.ps\">PS</A>
<BR>
<BR><A href=\"http://linuz.sns.it/~samuele/prob_alg_comb.pdf\">PDF</A>
<BR>
<BR>Preciso fin d\'ora che di questi non starò a guardare le soluzioni ... quindi, o qualche volenteroso si proclama correttore, o fate i bravi bimbi e confrontate tra di voi le soluzioni.

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Marco
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

Ci tengo a precisare che il Marco del problema C.3.3 sono io.
<BR>Ok. Mi proclamo io correttore.
<BR>
<BR>+---------+
<BR><!-- BBCode Start --><I>Aggiornato al 12 febbraio</I><!-- BBCode End --> - Five days to go...
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Soluti e solventi</B><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>A.1.1 Poliwhirl: 7
<BR>A.1.5 Poliwhirl: 7
<BR>
<BR>A.1.7 Boll: 7 (dopo la correzione; vedere i commenti!)
<BR>
<BR>A.2.1 Igor: 7- (punteggio rivisto. Mi sono convinto che hai ragione vedere il commento)
<BR>A.2.1 Poliwhirl: 7 (Completata dim. di Igor su hint di Evariste)
<BR>
<BR>A.2.2 Hammond: 7- (per colpa di un numero di sette cifre; completata)
<BR>A.2.2 Mathomico: 7
<BR>
<BR>A.2.3 Igor: 7 (Completata dim. di Poli)
<BR>A.2.4 Enomis: 7
<BR>
<BR>A.2.6 Sisifo: 7 (qualche errore di stampa, soluzione contosa)
<BR>A.2.6 Enomis: 7 (ancora più contosa)
<BR>
<BR>A.2.7 Phi: 7
<BR>
<BR>A.3.1 Poliwhirl: 7
<BR>A.3.1 Enomis: 7
<BR>
<BR>A.3.2 Enomis: 7
<BR>
<BR>A.3.3 Poliwhirl: 7 (correggendo l\'errore di Cu_Fa)
<BR>A.3.3 Enomis: 7
<BR>
<BR>A.3.4 Boll 7
<BR>A.3.5 Igor: 7
<BR>A.3.7 Boll: 7 (perché l\'hai scritta a ritroso?)
<BR>
<BR>A.3.8* Simo the Wolf: 7 (tirata in ballo la continuità; vedere commenti)
<BR>
<BR>C.1.1 Enomis: 7
<BR>C.1.2 Hammond: 7 (quasi due soluzioni: c\'è l\'hint per una soluzione alternativa molto elegante)
<BR>C.1.3 Hammond: 7
<BR>C.1.5 Hammond: 7
<BR>
<BR>C.2.1 Igor: 7 (c\'è una bella soluzione alternativa... chi la trova?)
<BR>C.2.1 Hammond: 7 (sol. alternativa, ma non è quella che ho in mente io...)
<BR>
<BR>C.2.2 Igor: 7
<BR>C.2.3 Hammond: 7 (molto standard; semplificabile; vedi commento)
<BR>C.2.4 Hammond: 7
<BR>C.2.5 Phi: 7
<BR>C.2.7 Phi: 7
<BR>
<BR>C.3.1 Igor: 7 (brutta storia, l\'influenza pisana... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">)
<BR>C.3.2 Igor: 7 (\"facce\" si scrive senza \"i\" <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">)
<BR>C.3.3 Phi: 7
<BR>
<BR>C.4.1 Sisifo: 7 (scritta bene. Bravo)
<BR>C.4.5 Sisifo: 7- (corretta, ma con uno scivolone divertente)
<BR>C.4.8* Hammond: 7 (scritta bene; unico difetto quel Forza Juve... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">)
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Soluzioni incomplete</B><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>A.1.2 Poliwhirl: 6 (punteggio rivisto)
<BR>A.1.2 Enomis: 6 (occhio ai se e solo se)
<BR>
<BR>A.1.4 Cu_fa: 6 (manca la conclusione)
<BR>A.1.4 Poliwhirl: 5 (manca la ciccia)
<BR>A.1.4 Enomis: 5 (manca la ciccia)
<BR>
<BR>A.1.5 Enomis: 5 (manca la conclusione)
<BR>
<BR>A.1.6 Mathomico: 6 (punteggio rivisto; come perdere punti su un esercizio risolto)
<BR>A.1.6 Enomis: 1 (occhio alla divisibilità dei polinomi!! vedere commento...)
<BR>
<BR>A.1.7 Mathomico: 5 (punteggio rivisto; buona l\'idea dei numeri primi, ma diamine... con due righe in più concludevi...)
<BR>A.1.7 Enomis: 5 (idem)
<BR>
<BR>A.2.3 Poliwhirl: 4 (solo caso dispari; nemmeno una parola sul caso pari)
<BR>A.2.3 Boll: 5 (malinterpretato il testo)
<BR>
<BR>A.2.5 Enomis: 2 (una buona idea, con tanti pasticci. I numeri reali possono essere negativi!!)
<BR>A.2.7 Boll: 5 (idee buone; migliorata ma non fila ancora)
<BR>
<BR>A.3.3 Cu_Fa: 6 (errore di calcolo)
<BR>A.3.4 Igor: 6 (errore di calcolo)
<BR>
<BR>C.1.4 Mathomico: 3 (esatto, ma c\'è solo il caso del cubo)
<BR>
<BR>C.4.4 Enomis: 3 (manca la riconduzione al caso precedente)
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Véci fuori gara</B><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>A.2.6 Sprmnt21: (una dimostrazione da guardare e imparare: signori, giù il cappello davanti a S21)
<BR>A.3.8* MindFlyer: (come si scrive una soluzione)
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Ancora da guardare</B><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>Melkon A.1.2 .3 .4 .6 .3.1 .3
<BR>
<BR>N.B.: non sto sempre a ricontrollare se i vecchi messaggi sono stati corretti. Se, per questo o altri motivi, salto qualche soluzione, segnalatemelo.
<BR>
<BR>+---------+
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: marco il 11-02-2005 14:30 ]
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: marco il 14-02-2005 09:34 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: marco il 14-02-2005 09:50 ]
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Messaggio da Poliwhirl » 01 gen 1970, 01:33

Sezione 1 Problema 1
<BR>1. Se x+1/x=3 , quanto vale x^2+1/x^2 ?
<BR><font color=white>
<BR>Eleviamo ambi i membri al quadrato: (x + 1/x)^2=9 cioè x^2+1/x^2 = 9-2(x)(1/x) da cui x^2+1/x^2=7.
<BR><font color=black>
<BR>Bye,
<BR>#Poliwhirl#
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Messaggio da Poliwhirl » 01 gen 1970, 01:33

Sezione 1, Problema 2
<BR>2.Dire quante soluzioni ha l\'equazione 2<sup>x^2-3x+sqrt(5)</sup>=1.
<BR><font color=white>
<BR>Per essere soddisfatta l\'equazione deve essere x^2-3x+sqrt(5)=0 ; poiché il delta di questa equazione è >0 l\'equazione ammette 2 soluzioni. (almeno credo, forse mi sfugge qualcosa) Il delta dell\'equazione è, infatti 9-4*sqrt(5); portando il 4 sotto radice otteniamo sqrt(80) ; 9=sqrt(81) ; poiché sqrt(81)>sqrt(80) possiamo scrivere che 9>4*sqrt(5), quindi 9-4*sqrt(5)>0.
<BR><font color=black>
<BR>Bye,
<BR>#Poliwhirl#
<BR>EDIT: precisata la dimostrazione, sotto suggerimento di Mathomico. <font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Poliwhirl il 03-02-2005 21:07 ]
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Messaggio da Mathomico » 01 gen 1970, 01:33

penso che l\'unica difficoltà del secondo esercizio (oltre ovviamente a conoscere le proprietà delle potenze) fosse di determinare se 9 sia maggiore o minore di 4*sqrt(5).
<BR>Poi non lo so....

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Messaggio da Poliwhirl » 01 gen 1970, 01:33

Sezione 1, Problema 4
<BR>4.Nel piano cartesiano, dire quanti sono i punti P = (x,y) a coordinate
<BR>intere che soddisfano l\'equazione x^2+y^2-4x+2y+4=0.
<BR><font color=white>
<BR>L\'equazione in questione rappresenta una circonferenza di centro (2,-1) e raggio 1; poiché il raggio è 1 le uniche coordinate intere che soddisfano l\'equazione sono 4 e in particolare (2,0), (1,-1), (2,-2), (3,-1).(almeno credo)
<BR><font color=black>
<BR>Bye,
<BR>#Poliwhirl#
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Messaggio da Mathomico » 01 gen 1970, 01:33

Sezione 1, problema 6
<BR>
<BR><font color=white>
<BR>x^2+x-2 = (x+2)(x-1)
<BR>Dato che il polinomio dato è sempre divisibile per (x-1), devo studiare (x+2).
<BR>Per essere divisibile per (x+2) è sufficiente che un suo fattore ne sia divisibile. Quindi:
<BR>(x^2-a^2) è divisibile per (x+2) e quindi a= +- 2
<BR>oppure
<BR>(x^2-a-1) è divisibile per (x+2) e quindi a=3.
<BR>
<BR>In tutto si hanno quindi 3 valori: -2;2;3.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Mathomico il 07-02-2005 13:38 ]

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Messaggio da Poliwhirl » 01 gen 1970, 01:33

Sezione 1, Problema 5
<BR>5.Per quanti valori del parametro reale a il sistema:
<BR>(1) x^2-y^2=0
<BR>(2) (x-a)(y+a)=0
<BR>ammette una e una sola soluzione?
<BR><font color=white>
<BR>Dalla (1) troviamo x=y o x=-y da cui sostituendo nella seconda otteniamo che il sistema è sempre soddisfatto per tutte le coppie (a,a), (-a,-a), (a,-a). Quindi l\'unico valore per cui il sistema ammette una sola soluzione è a=0 ; infatti in quel caso l\'unica soluzione è (0,0) (in questi problemi di algebra sento sempre che mi sfugge qualcosa).
<BR><font color=black>
<BR>Bye,
<BR>#Poliwhirl#
<BR>
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Messaggio da Mathomico » 01 gen 1970, 01:33

Sezione 1, problema 7
<BR>
<BR><font color=white>
<BR>se il polinomio ha 3 radici distinte, esso si può scrivere come (x-j)(x-k)(x-l),
<BR>con j=/=k=/=l
<BR>per ogni valore di x, esso vale un numero che non può essere primo (tranne nell\'unico caso in cui 2 fattori sono negativi, e in particolare uno di essi vale -1, mentre il terzo vale 1).
<BR>Quindi non possono esserci due valori distinti di x, che permettono di ottenere un numero primo....
<BR>
<BR><font color=black>
<BR>Speriamo che sia giusta....
<BR>

Igor
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Messaggio da Igor » 01 gen 1970, 01:33

Algebra Sezione 2 esercizio 1
<BR>Scriviamo l\'espressione di partenza in questo modo :
<BR>(x-4y)^2+3y^2-6y+14
<BR>Notiamo che, qualunque sia il valore di y, per minimizzare quell\'espressione deve essere necessariamente minimizzato il termine (x-4y)^2, che avviene per x=4y.Ci rimane dunque da trovare :
<BR>min{3y^2-6y+14} che abbiamo in corrispondenza del vertice della parabola
<BR>x = 3y^2-6y+14.
<BR>Dunque y = 1 e x = 4 .Per questi due valori il risultato dell\'espressione di partenza è 11, che è il minimo cercato.
<BR>
<BR>

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Messaggio da Poliwhirl » 01 gen 1970, 01:33

Sezione 3 , problema 1 (Algebra)
<BR>1.Data una funzione tale che f(x+1)=(2f(x)+1)/2 e tale che f(2)=2, quanto vale f(1) ?
<BR><font color=white>
<BR>f(2)=f(1+1)=(2f(1)+1)/2 ; poiché f(2)=2 possiamo scrivere (2f(1)+1)/2=2 da cui f(1)=3/2 .
<BR><font color=black>
<BR>Bye,
<BR>#Poliwhirl#
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

Commenti fino a qui:
<BR>
<BR>@Poli
<BR>
<BR>[1.2]
<BR>All\'inizio avevo messo Ho messo 7 punti, poi ripensandoci, ho corretto e messo 6. C\'è una piccola imprecisione: \"Per essere soddisfatta l\'equazione <!-- BBCode Start --><B>deve essere</B><!-- BBCode End --> bla bla...\".
<BR>
<BR>E\' sicuramente vero (log ad ambo i membri). Tuttavia meglio sarebbe stato dire \"è necessario e sufficiente\". Se dici solo la necessità, allora arrivi a stabilire che le eventuali soluzioni dell\'eqz data sono soluzioni dell\'equazione di secondo grado, quindi al massimo sono due. Ma non hai verificato che le due soluzioni sono effettivamente soluzioni vere e proprie.
<BR>
<BR>[penserete che sono pignolo, ma almeno negli esercizi che hanno mezza riga di soluzione, non commettete queste ingenuità...]
<BR>
<BR>[1.4]
<BR>\"le uniche che soddisfano sono 4...\" E\' sicuramente vero. Ma perché?
<BR>
<BR>@Mathomico
<BR>
<BR>[1.6]
<BR>Ok. Sono stato tirchio col punteggio. L\'esercizio è praticamente risolto, ma le frecce delle implicazioni sono tutte confuse.
<BR>\"è necessario\" \"è divisibile se\"
<BR>
<BR>A stretto rigore, hai dimostrato solo che a = -2, 2, 3 sono soluzioni. Non hai dimostrato il resto.
<BR>
<BR>Se mi metti \"se e solo se\" nei posti giusti, do punteggio pieno.
<BR>
<BR>[1.7]
<BR>Sostanzialmente dici che i tre fattori devono essere -3, -1, 1. Ok. E\' vero. Ma perché questo non può succedere per due diversi valori di x?
<BR>
<BR>@Igor
<BR>
<BR>Mi fa molto piacere che anche utenti relativamente \"giovani\" (nel senso di numero di interventi nel Forum) si buttino a postare soluzioni. Quindi ti incoraggio di cuore a continuare.
<BR>
<BR>Devo fare ammenda. All\'inizio ho frettolosamente dato 2 perché mi sembrava ci fosse un grave errore: la frase incriminata è:
<BR>
<BR>\"per minimizzare quell\'espressione deve essere necessariamente minimizzato il termine...\"
<BR>
<BR>In generale questo è falso ed è un errore grave piuttosto comune: non è detto che massimizzare un\'espressione si faccia massimizzando i singoli addendi.
<BR>
<BR>Esempio: massimizzare ( -x^2 ) + ( 4x - x^2 ) per x sui reali.
<BR>
<BR>La prima parentesi è massima per x = 0. La seconda è massima per x = 2. Invece la somma è massima per x = 1...
<BR>
<BR>
<BR>Nel caso tuo però, ti salvi perché dici \"qualunque sia il valore di y\". Quindi possiamo interpretare la frase come
<BR>
<BR>\"fissato y, sicuramente per x = 4y ottengo il minimo\" [vincolato a quel particolare valore di y]. Il minimo di tutti i minimi possibili è per y = 1, ecc...
<BR>
<BR>Consiglio: attenzione a queste trappole logiche! In questi casi è meglio spendere una parola in più per far capire che si è capito.
<BR>
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
- - - - -
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Ehm... \"di grado minore\", lo leggo solo ora, gh... Vabbe\', saluti lo stesso! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>- salvatore tr.<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 04-02-2005 11:23 ]

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-03 20:08, Igor wrote:
<BR>Algebra Sezione 2 esercizio 1
<BR>Scriviamo l\'espressione di partenza in questo modo :
<BR>(x-4y)^2+3y^2-6y+14
<BR>Notiamo che, qualunque sia il valore di y, per minimizzare quell\'espressione deve essere necessariamente minimizzato il termine (x-4y)^2, che avviene per x=4y.Ci rimane dunque da trovare :
<BR>min{3y^2-6y+14} che abbiamo in corrispondenza del vertice della parabola
<BR>x = 3y^2-6y+14.
<BR>Dunque y = 1 e x = 4 .Per questi due valori il risultato dell\'espressione di partenza è 11, che è il minimo cercato.
<BR>
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Hai avuto una buona idea nel raccogliere un quadrato ... semplificati la vita e raccogline un altro!!
<BR>
<BR>(ho detto che non avrei tenuto gli elenchi, non che non avrei messo becco ... in fondo, qualcosa ho imparato, facendo la raccolta).

Cu_Fa
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Messaggio da Cu_Fa » 01 gen 1970, 01:33

1.4.
<BR>Si tratta dell\'equazione di una circonferenza avente le coordinate del centro e il raggio interi.Gli unici punti P di coordinate intere sono quindi 4*:quelli di massima e minima ordinata e quelli di massima e minima ascissa.
<BR>
<BR>*)Nel caso più semplice,ovvero quello della circonferenza goniometrica,le coordinate cartesiane del punto P sono:
<BR>P(pcosx;psenx)
<BR>Se p è intero allora affinchè le coordinate siano entrambe intere cosx e senx devono essere interi e ciò si verifica agli \"estremi\" della circonferenza.Ovviamente è possibile generalizzare il risultato a una qualsiasi circonferenza di raggio intero,considerando semplicemente una traslazione di componenti intere(avrò ripetuto intero 100 volte ma non trovo sinonimi <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">)

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