Esercizi su Casey

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karl
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Messaggioda karl » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://xoomer.virgilio.it/carlolorito/fur01.bmp"><!-- BBCode End --> <BR>Come esercizio su Casey propongo i seguent1. <BR>1° <BR>Siano: ABC un triangolo inscritto nella crf. c (vedi fig4),D un punto <BR>di AB ,c1 e c2 le crf. tangenti ad (AB in M,CD e c) e ad (AB in N,CD e c) <BR>rispettivamente. <BR>Detti r1,r2,r i raggi di c1,c2 e della crf. inscritta in ABC e posto <BR>ADC=alfa,dimostrare la relazione: <BR>r1*cos^2(alfa/2)+r2*sin^2(alfa/2)=r. <BR>Soluzione. <BR><font color=white> <BR>Applichiamo Casey alla quaterna (A,B,C,c1) e si ha: <BR>AB*(CD-MD)+BC*(AD-MD)=AC*(BD+MD) da cui <BR>(1) MD=(AB*CD+BC*AD-AC*BD)/(AB+BC+AC) <BR>Applichiamo Casey alla quaterna (A,B,c2,C) e si ha: <BR>AB*(CD-DN)+AC*(BD-DN)=BC*(AD+DN) da cui <BR>(2) DN=(AB*CD+AC*BD-BC*AD)/(AB+BC+AC) <BR>Sommando (1) e (2): <BR>MD+DN=(2*AB*CD)/(AB+BC+AC) <BR>Ora : <BR>MD=r1*cotg(alfa/2);DN=r2*tang(alfa/2) e sostituendo: <BR>r1*cotg(alfa/2)+r2*tang(alfa/2)=(2*AB*CD)/(AB+BC+AC) ovvero: <BR>r1*cos^2(alfa/2)+r2*sin^2(alfa/2)=(AB*CD*sin(alfa))/(AB+BC+AC) <BR>D\'altra parte risulta : <BR>Area(ABC)=Area(ACD)+Area(BCD)=1/2*AD*CD*sin(alfa)+1/2*DB*CD*sin(alfa)= <BR>=1/2*AB*CD*sin(alfa) e quindi AB*CD*sin(alfa)=2*Area(ABC) . <BR>Ne segue : <BR>r1*cos^2(alfa/2)+r2*sin^2(alfa/2)=2*Area(ABC)/(2*perimetro(ABC))=r <BR>C.V.D. <BR></font> <BR> <BR>2° <BR>Le circonf. c1 e c2 sono tangenti esternamente nel punto I <BR>ed entrambe sono tangenti internamente ad una terza crf. c. <BR>Una tangente comune a c1 e c2 taglia la c in B e C, mentre <BR>la tangente comune in I taglia la c in A,dalla stessa parte <BR>di I rispetto a BC. <BR><!-- BBCode Start --><B>Dimostrare che I e\' l\'incentro di ABC</B><!-- BBCode End --> <BR> <BR> <BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 01-02-2005 18:37 ]

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