Esercizi su Casey

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karl
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Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://xoomer.virgilio.it/carlolorito/fur01.bmp"><!-- BBCode End -->
<BR>Come esercizio su Casey propongo i seguent1.
<BR>1°
<BR>Siano: ABC un triangolo inscritto nella crf. c (vedi fig4),D un punto
<BR>di AB ,c1 e c2 le crf. tangenti ad (AB in M,CD e c) e ad (AB in N,CD e c)
<BR>rispettivamente.
<BR>Detti r1,r2,r i raggi di c1,c2 e della crf. inscritta in ABC e posto
<BR>ADC=alfa,dimostrare la relazione:
<BR>r1*cos^2(alfa/2)+r2*sin^2(alfa/2)=r.
<BR>Soluzione.
<BR><font color=white>
<BR>Applichiamo Casey alla quaterna (A,B,C,c1) e si ha:
<BR>AB*(CD-MD)+BC*(AD-MD)=AC*(BD+MD) da cui
<BR>(1) MD=(AB*CD+BC*AD-AC*BD)/(AB+BC+AC)
<BR>Applichiamo Casey alla quaterna (A,B,c2,C) e si ha:
<BR>AB*(CD-DN)+AC*(BD-DN)=BC*(AD+DN) da cui
<BR>(2) DN=(AB*CD+AC*BD-BC*AD)/(AB+BC+AC)
<BR>Sommando (1) e (2):
<BR>MD+DN=(2*AB*CD)/(AB+BC+AC)
<BR>Ora :
<BR>MD=r1*cotg(alfa/2);DN=r2*tang(alfa/2) e sostituendo:
<BR>r1*cotg(alfa/2)+r2*tang(alfa/2)=(2*AB*CD)/(AB+BC+AC) ovvero:
<BR>r1*cos^2(alfa/2)+r2*sin^2(alfa/2)=(AB*CD*sin(alfa))/(AB+BC+AC)
<BR>D\'altra parte risulta :
<BR>Area(ABC)=Area(ACD)+Area(BCD)=1/2*AD*CD*sin(alfa)+1/2*DB*CD*sin(alfa)=
<BR>=1/2*AB*CD*sin(alfa) e quindi AB*CD*sin(alfa)=2*Area(ABC) .
<BR>Ne segue :
<BR>r1*cos^2(alfa/2)+r2*sin^2(alfa/2)=2*Area(ABC)/(2*perimetro(ABC))=r
<BR>C.V.D.
<BR></font>
<BR>
<BR>2°
<BR>Le circonf. c1 e c2 sono tangenti esternamente nel punto I
<BR>ed entrambe sono tangenti internamente ad una terza crf. c.
<BR>Una tangente comune a c1 e c2 taglia la c in B e C, mentre
<BR>la tangente comune in I taglia la c in A,dalla stessa parte
<BR>di I rispetto a BC.
<BR><!-- BBCode Start --><B>Dimostrare che I e\' l\'incentro di ABC</B><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 01-02-2005 18:37 ]

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