Probablità urne e palline

Vuoi proporre i tuoi esercizi? Qui puoi farlo!!

Moderatore: tutor

Bloccato
mambro
Messaggi: 4
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Contatta:

Messaggio da mambro » 01 gen 1970, 01:33

Si hanno delle palline di n colori diversi. Ci sono k palline di ogni colore e z sacchetti. In che modo si devono disporre le palline nei sacchetti tenendo conto che in ogni sacchetto ci dev\'essere almeno una pallina per avere la massima probabilità che scegliendo un sacchetto a caso si peschi una pallina di un colore scelto a priori?
<BR>
<BR>in alternativa c\'è la versione semplificata:
<BR>Ci sono 2 sacchetti, 10 palline bianche e 10 nere. In che modo conviene disporre le palline nei sacchetti (tenendo conto che in ogni sacchetto ci dev\'essere almeno una pallina) per avere la massima probabilità che pescando un pallina da un sacchetto a caso si peschi una pallina bianca? Dimostra che la soluzione data è davvero la migliore (non vale quindi fare a tentativi <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> )
<BR>
<BR>Se riuscite a risolvere il secondo mi fate un gran piacere, ci sto pensando da 2 giorni. Sn bloccato ad un punto in cui serve dell\'analisi troppo avanzata per me ma penso esista un modo per risolverlo senza analisi.

Avatar utente
jim
Messaggi: 125
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Asti

Messaggio da jim » 01 gen 1970, 01:33

Se p è la probabilità di pescarne una bianca, essa è data da: 1/2 * (n°bianche 1°sacchetto)/(n° palline 1° sacchetto) +
<BR>1/2 * (n°bianche 2°sacchetto)/(n° palline 2° sacchetto)
<BR>Per massimizzare p, bisogna fare due cose:
<BR>1)Fare in modo di avere un sacchetto con il 100% di possibilità di avere la pallina bianca (e questo lo si può fare in 10 modi diversi, ovvero lasciandone 1 o 2 o 3 o 4...ecc)
<BR>2)Avere la massima probabilità di pescare una bianca nel secondo sacchetto, mantenendo però la sicurezza di pescarla nel primo.
<BR>Ma siccome nel secondo sacchetto ci saranno 10 nere, il maggior numero di bianche che si può mettere, facendo in modo di avere il 100% nell\'altro sacchetto è 9. quindi:
<BR>1 bianca nel 1°; 9 bianche e 10 nere nel 2°.
<BR>p= 1/2*1/1+1/2*9/19=14/19. <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: jim il 28-01-2005 13:55 ]

Avatar utente
Marco
Site Admin
Messaggi: 1331
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: IMO '93

Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-27 22:15, jim wrote:
<BR>Per massimizzare p, bisogna fare due cose:
<BR>1)Fare in modo...
<BR>2)Avere la massima...
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Quasi tutto vero. Attento Jim: tu stai enunciando la soluzione migliore, ma non hai dimostrato che non ne esiste una mejo (tra l\'altro Mambro ha chiesto esplicitamente di \"dimostrare che la soluzione data è davvero la migliore\"...)
<BR>
<BR>Come fai a provare che non ne esiste una con probabilità maggiore di 14/19.
<BR>
<BR>Inoltre, occhio: la formula per calcolare p contiene un banale errore tipografico...
<BR>
<BR>p= 1/2*1/1+1/2<!-- BBCode Start --><B>*</B><!-- BBCode End -->9/19=14/19.
<BR>
<BR>
<BR>@ Mambro:
<BR>
<BR>Puoi semplificare leggermente il problema originario: in effetti la generalizzazione con n colori non aggiunge nulla al problema; di fatto esistono solo palline \"buone\" (quelle del colore che ti fa vincere) e palline \"cattive\" (tutte le altre). Quindi puoi riformulare il problema dicendo che
<BR>------
<BR>ho z scatole, k palline buone e h palline cattive; come devo fare per bla bla?
<BR>------
<BR>Il guess che Jim ti suggerisce è che ti conviene tenere tante palle buone da sole (se ne hai abbastanza!!) e tutte le palle cattive in un angolo.
<BR>
<BR>Hint su come sbrogliare il caso con z scatole:
<BR><font color = white> Io cercherei di farlo per induzione su z. Il caso con una scatola è ovvio; il caso con due scatole, che è il vero problema, lo devi fare; con z > 2, lo vedi come la seguente estrazione: estrarre con prob. 1/z la prima scatola e prob restante tutte le altre. Su tutte le altre riesci ad applicare l\'ipotesi induttiva, quindi ti resta di trovare la composizione ottimale della prima scatola. Cerchi di massimizzare la probabilità (analogamente al caso z=2) e concludi </font>. Non ho provato, ma dovrebbe funzionare...
<BR>
<BR>Ciao. M.[addsig]
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."

achillu
Messaggi: 114
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Carpi è bella,ma Capri è più bella

Messaggio da achillu » 01 gen 1970, 01:33

Mi sono fatto un disegnino e butto qui le mie congetture.
<BR>
<BR><font color=white>Dette b le palline bianche nel primo sacchetto, p le palline nel primo sacchetto, B le palline bianche totali e P le palline totali, alla fine si tratta di trovare il massimo della funzione nelle variabili p e b:
<BR>
<BR>1/2 * [ b/p + (B-b)/(P-p) ]
<BR>
<BR>dove b può variare tra 0 e B, p può variare tra 1 e P-1, e inoltre b è minore o uguale a p e B-b è minore o uguale a P-p.
<BR>
<BR>I vincoli disegnano un parallelogramma sul piano b,p e la funzione mi sembra convessa; questo significa che il massimo è raggiunto su uno dei vertici del parallelogramma.</font>

mambro
Messaggi: 4
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Contatta:

Messaggio da mambro » 01 gen 1970, 01:33

Io avevo pensato di risolverlo così:
<BR>b è il numero di palline bianche nel primo sacchetto, n è il numero di palline nere nel primo sacchetto. Quindi nell\'altro sacchetto ci sono 10-b palline bianche e 10-n palline nere (n e b sono numeri naturali da 0 a 10 compresi gli estremi)
<BR>ora la probabilità di pescare una bianca è calcolata in questo modo
<BR>1/2 [ a/(a+b) + (10-a)/(20-a-b) ]
<BR>ora metto tuto su un sistema cartesiano a 3 dimensioni
<BR>z= 1/2 [ x/(x+y) + (10-x)/(20-x-y) ]
<BR>e cerco qual\'è il valore massimo di z prendendo in esame i valori di x e y che variano da 0 a 10 e scartando i valori in cui x e y sono contemporaneamente 0 o contemporaneamente 10 (vorrebbe dire che un sacchetto è vuoto)
<BR>Per trovare il massimo dovrei trovare la derivata di quella funzione e vedere per quali valori di a e b l\'m del piano tangente alla superfice assume valore 1 (nn so se si chiama \"m\" del piano). Così dovrei avere la soluzione dimostrata solo che nn sn in grado di trovare la derivata di quella funzione, nn so niente di analisi a 3 dimensioni <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">

achillu
Messaggi: 114
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Carpi è bella,ma Capri è più bella

Messaggio da achillu » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-28 12:14, mambro wrote:
<BR>Per trovare il massimo dovrei trovare la derivata di quella funzione e vedere per quali valori di a e b l\'m del piano tangente alla superfice assume valore 1</BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Perché 1? Forse volevi dire 0.
<BR>
<BR>Ti contesto alcune cose in questo ragionamento, supponendo per semplicità di essere nel caso in una sola variabile.
<BR>
<BR>Innanzi tutto, non puoi escludere solamente il caso in cui a è 0 oppure 10, perché a non può essere né minore di 0 né maggiore di 10; quindi in realtà la funzione non è definita in tutti i reali meno due punti (come sostieni tu), ma in un intervallo (i valori compresi tra 0 e 10).
<BR>
<BR>Dopodiché, se trovi un punto con derivata 0 (sempre che sia uno solo), devi poi dimostrare che si tratta effettivamente di un punto di massimo relativo, perché il valore 0 nella derivata è una condizione necessaria ma non sufficiente perché una funzione (continua e derivabile) abbia un massimo relativo in un punto <!-- BBCode Start --><B>interno</B><!-- BBCode End --> all\'intervallo di definizione. Potrebbe trattarsi anche di un punto di minimo relativo oppure potrebbe non essere né minimo né massimo relativo.
<BR>
<BR>Ho sottolineato interno perché una funzione può assumere un massimo relativo in un estremo senza che la derivata sia 0; ad esempio, pensa alla funzione y = x definita nell\'intervallo di estremi 0 e 10 (che è quello che stiamo considerando in questo problema); nel punto 10 la funzione assume un massimo relativo eppure la derivata vale 1.
<BR>
<BR>Dopodiché, cosa succede se il punto di massimo relativo fosse ad esempio il numero 4,5? Non puoi spezzare le palline...
<BR>
<BR>Il tuo approccio è corretto, ma ha bisogno di molte considerazioni che dai per sottintese e soprattutto si basa su concetti di analisi in più variabili che vanno oltre le olimpiadi di matematica (già la derivata in una variabile è \"oltre\" le olimpiadi).
<BR>
<BR>In realtà, questo problema si può e a mio avviso si deve risolvere senza l\'uso delle derivate.

mambro
Messaggi: 4
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Contatta:

Messaggio da mambro » 01 gen 1970, 01:33

Si scusa, intendevo 0.. cmq nn ho capito la storia del fatto che nn posso escludere i 2 punti <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> Cmq vada nn avevo pensato al fatto che il picco della funzione potesse nn essere un massimo in quell\'intervallo, hai ragione... Mmm quindi dici che bisogna trovare una strada alternativa all\'analisi?

mambro
Messaggi: 4
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Contatta:

Messaggio da mambro » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-27 22:15, jim wrote:
<BR>Se p è la probabilità di pescarne una bianca, essa è data da: 1/2 * (n°bianche 1°sacchetto)/(n° palline 1° sacchetto) +
<BR>1/2 * (n°bianche 2°sacchetto)/(n° palline 2° sacchetto)
<BR>Per massimizzare p, bisogna fare due cose:
<BR>1)Fare in modo di avere un sacchetto con il 100% di possibilità di avere la pallina bianca (e questo lo si può fare in 10 modi diversi, ovvero lasciandone 1 o 2 o 3 o 4...ecc)
<BR>2)Avere la massima probabilità di pescare una bianca nel secondo sacchetto, mantenendo però la sicurezza di pescarla nel primo.
<BR>Ma siccome nel secondo sacchetto ci saranno 10 nere, il maggior numero di bianche che si può mettere, facendo in modo di avere il 100% nell\'altro sacchetto è 9. quindi:
<BR>1 bianca nel 1°; 9 bianche e 10 nere nel 2°.
<BR>p= 1/2*1/1+1/2*9/19=14/19.
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: jim il 28-01-2005 13:55 ]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Si, questa soluzione è giusta ma nn è una dimostrazione <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

achillu
Messaggi: 114
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Carpi è bella,ma Capri è più bella

Messaggio da achillu » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 28-01-2005 17:05, mambro wrote:
<BR>nn ho capito la storia del fatto che nn posso escludere i 2 punti <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Scusami, pur avendolo riletto mi è scappato ogni volta questa tua riflessione (te la evidenzio in grassetto):
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-28 12:14, mambro wrote:
<BR>prendendo in esame i valori di x e y <!-- BBCode Start --><B>che variano da 0 a 10</B><!-- BBCode End --> e scartando i valori in cui x e y sono contemporaneamente 0 o contemporaneamente 10
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Di conseguenza avevo capito che escludevi solamente i valori in cui x e y sono contemporaneamente 0 o contemporaneamente 10 e quindi accettavi anche i valori negativi o superiori a 10 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> Dimentica quello che ho scritto a riguardo.
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 28-01-2005 17:05, mambro wrote:
<BR>Mmm quindi dici che bisogna trovare una strada alternativa all\'analisi?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Assolutamente sì. Nel mio intervento \"in bianco\" ho esposto le mie congetture in merito e penso che possa essere una strada da seguire. Ho scelto le variabili x e y in modo diverso da te e ho cercato di risolvere il problema generale per z = 2.
<BR>
<BR>Però puoi usare la funzione che hai scritto tu, e se non vuoi leggere il mio intervento in bianco, ti lascio un piccolo aiutino qui: <font color=white>se dimostri che la tua funzione è convessa... in realtà non so se effettivamente è convessa, però se fosse convessa il massimo si trova...</font> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

Bloccato

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 3 ospiti