[A] Disuguaglianze

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Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

Molto bene...La sol di Leblanc del primo è uguale a quella che è venuta in mente a me, mentre per il secondo ho preferito un po\' di sana brute force come TheMatrix. Solo faccio un ragionamento un po\' diverso (+ che altro un fatto \"grafico\")... Infatti arrivati a:
<BR>a+b+c+1/a+1/b+1/c<=3+a/b+b/c+c/d
<BR>Si porta tutto al primo membro e si ottiene:
<BR>sum<sub>cyc</sub>(a-1)(b-1)/b<=0
<BR>effettuando la sostituzione a=x/y b=y/z c=z/x si ottiene:
<BR>sum<sub>cyc</sub>(x-y)(y-z)/y²<=0
<BR>adesso faccio la sostituzione x=1/s y=1/r z=1/q e si ottiene:
<BR>sum<sub>cyc</sub>(r-s)(q-r)/(qs)<=0
<BR>moltiplicando tutto per qrs otteniamo:
<BR>sum<sub>cyc</sub>(r-s)(q-r)*r=-sum<sub>cyc</sub>r*(r-s)(r-q)<=0
<BR>
<BR>dove sum<sub>cyc</sub>f(a,b,c)=f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b)

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Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

eccone altre tre:
<BR>
<BR>1) xyz=1. Dimostrare che:
<BR>
<BR>a) x<sup>3</sup>/((1+y)(1+z)) + y<sup>3</sup>/((1+z)(1+x)) + z<sup>3</sup>/((1+x)(1+y))>=3/4
<BR>
<BR>b) 1/(x<sup>3</sup>(y+z)) + 1/(y<sup>3</sup>(z+x)) + 1/(z<sup>3</sup>(x+y))>=3/2
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>2) Se x<sub>1</sub>+x<sub>2</sub>+...+x<sub>n</sub><1 dimostrare che:
<BR>n<sup>n+1</sup>x<sub>1</sub>x<sub>2</sub>...x<sub>n</sub>(1-x<sub>1</sub>-x<sub>2</sub>-...-x<sub>n</sub>)<=(x<sub>1</sub>+x<sub>2</sub>+...+x<sub>n</sub>)(1-x<sub>1</sub>)(1-x<sub>2</sub>)..(1-x<sub>n</sub>)
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 07-02-2005 14:00 ]

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karl
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

1° b
<BR>Detto P il primo membro della diseguaglianza,si ha:
<BR><!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://xoomer.virgilio.it/carlolorito/Eq.bmp"><!-- BBCode End --><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 07-02-2005 21:51 ]

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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>xyz=1. Dimostrare che:
<BR>1/(x<sup>3</sup>(y+z)) + 1/(y<sup>3</sup>(z+x)) + 1/(z<sup>3</sup>(x+y))>=3/2
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Moltiplichiamo tutto per (x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)), avremo
<BR>(1/(x<sup>3</sup>(y+z)) + 1/(y<sup>3</sup>(z+x)) + 1/(z<sup>3</sup>(x+y)))(x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)) >= 3(xy+zx+xy)
<BR>Applichiamo Cauchy e ci rimane da dimostrare che
<BR>(1/x+1/y+1/z)<sup>2</sup> >=3(xy+zx+yz)
<BR>sfrutando le ipotesi e ponendo A la somma armonica avremo
<BR>A<SUP>2</sUP> >= 3A
<BR>che è vera se A >= 3 vel A <= 0
<BR>essendo i nostri reali positivi dobbiamo dimostrare che A >= 3
<BR>A >= 3
<BR>A/3 >= 1
<BR>(A/3)<SUP>-1</SUP> <= 1
<BR>(A/3)<SUP>-1</SUP> <= (xyz)<SUP>1/3</SUP>
<BR>che è HM-GM
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Azz, scusa karl, non ho aggiornato la pagina e vedo solo ora il tuo post. Se vuoi acncello il mio, ma mi sembra che le due linee dimostrative non siano del tutto uguali...
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Ma che vuoi cancellare,ti pare!
<BR>Piu\' soluzioni (e piu\' idee) ci sono e meglio e\'.
<BR>Ciao.

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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>1) xyz=1. Dimostrare che:
<BR>
<BR>a) x<sup>3</sup>/((1+y)(1+z)) + y<sup>3</sup>/((1+z)(1+x)) + z<sup>3</sup>/((1+x)(1+y))>=3/4
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Moltiplichiamo tutto per (x+1)(y+1)(z+1). Le terne
<BR>x<sup>3</sup>,y<sup>3</sup>,z<sup>3</sup> e 1+x,1+y,1+z sono ordinate allo stesso modo, quindi, applicando Chebichev, ci rimane da dimostrare che
<BR>
<BR>(x<sup>3</sup>+y<sup>3</sup>+z<sup>3</sup>)(x+y+z)*[(x+1)(y+1)(z+1)*3]<sup>-1</sup> >=3/4
<BR>
<BR>Sfruttando Power Media di III grado e AM-GM applicato alla terna x+1,y+1,z+1, arriviamo a dover dimostrare che
<BR>
<BR>(x+y+z)<sup>3</sup>(x+y+z+3)<sup>-2</sup>>=3/4 (1)
<BR>(x+y+z)(1-(3/(3+x+y+z))<sup>2</Sup>
<BR>x+y+z>=3 per AM-GM
<BR>-(3/(3+x+y+z)>= 1/2 sempre per AM-GM e \"giramenti\" vari, sostituendo nella (1) si ha direttamente la tesi
<BR>
<BR>EDIT: Corretta stronzata<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 09-02-2005 10:53 ]
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Timido rilancio intanto che penso all\'ultima...
<BR>
<BR>a,b€R+
<BR>ab<sup>2</sup> <= 64/3*a<sup>3</sup>+1/12*b<suP>3</Sup><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 10-02-2005 17:42 ]
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

(64/3)a³ + 1/24*b³ + 1/24*b³ >= 3(1/27a³*b³*b³)^(1/3) = ab².

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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Gh, e io che applicavo la disuguaglianza di Young <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Questa me l\'ha proposta ma_go:
<BR>
<BR>Siano, a,b,c €R+, tali che a²+2b²+3c² = 3/2
<BR>
<BR>Provare che:
<BR>3<sup>-a</sup> + 9<sup>-b</sup>+27<sup>-c</sup> >= 1<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 09-02-2005 19:50 ]
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-09 19:50, Boll wrote:
<BR>Questa me l\'ha proposta ma_go:
<BR>
<BR>Siano, a,b,c €R+, tali che a²+2b²+3c² = 3/2
<BR>
<BR>Provare che:
<BR>3<sup>-a</sup> + 9<sup>-b</sup>+27<sup>-c</sup> >= 1<font color=white>
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 09-02-2005 19:50 ]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Simpatica...
<BR>Abbiamo che
<BR>3<sup>-a</sup> + 9<sup>-b</sup>+27<sup>-c</sup> >= 3*3<sup>-(a+2b+3c)/3</sup>
<BR>Per AM-GM.
<BR>Per AM-QM abbiamo che
<BR>-(a+b+b+c+c+c)/6>=-sqrt[(a²+b²+b²+c²+c²+c²)/6]=-1/2
<BR>e quindi -(a+2b+3c)/3>=-1.
<BR>Sapendo che 3<sup>x</sup> è una funzione crescente possiamo dire che:ù
<BR>3<sup>-(a+2b+3c)/3</sup>>=3<sup>-1</sup> e quindi:
<BR>3<sup>-a</sup>+9<sup>-b</sup>+27<sup>-c</sup> >= 3*3<sup>-1</sup>=1
<BR>cioè la tesi.
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-09 17:55, Boll wrote:
<BR>Gh, e io che applicavo la disuguaglianza di Young <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>in realtà si può anche sfruttare l\'omogeneità e porre x=a/b, poi derivare <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>
<BR>ok ok, meglio AM-GM, molto + elegante in effetti
<BR>
<BR>(clap clap lord <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">)<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 09-02-2005 22:21 ]
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-08 15:09, Boll wrote:
<BR>Timido rilancio intanto che penso all\'ultima...
<BR>
<BR>ab<sup>2</sup> <= 64/3*a<sup>3</sup>+1/12*b<suP>3</Sup>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Bisogna anche porre a,b >= 0. Se b < 0 la disuguaglianza è quasi sempre falsa!

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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

sìsì, scusate avevo dimenticato la restrizione di dominio, comunque è difficile che le disuguaglianze siano sui reali relativi...<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 10-02-2005 17:41 ]
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