[A] Disuguaglianze

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Cu_Fa
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Messaggio da Cu_Fa » 01 gen 1970, 01:33

E\' poco elegante ma vabbè...
<BR>Per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz si ha:
<BR>(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9
<BR>Sommando le 2 disequazioni(quella del testo e questa):
<BR>i)a/b+b/c+c/a>=3
<BR>
<BR>Step1)a/b+ b/a-b/a +b/c+c/b-c/b +c/a+a/c-a/c>=3
<BR>da cui (il minimo di 1+1/x con x reale positivo è sempre 2):
<BR>ii)b/a+c/b+a/c>=3 (scusa se salto molti passaggi)
<BR>Step2)Sommando i ed ii si ottiene una disuguaglianza molto simile
<BR>a quella di Nesbitt:
<BR>(c+a)/b+(a+b)/c+(b+c)/a>=6
<BR>Se è vero che nella disuguaglianza di Nesbitt i termini
<BR>a/(b+c),b/(a+c) e c/(a+b)assumono il valore 1/2 per ottenere
<BR>il minimo 3/2,analogamente nella disuguaglianza precedente
<BR>i 3 termini assumono il valore 2 per ottenere il minimo 6!
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Cu_Fa il 01-02-2005 21:06 ]

Cu_Fa
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Messaggio da Cu_Fa » 01 gen 1970, 01:33

a,b,c sono i lati di un triangolo.Dimostare che:
<BR>3(ab+bc+ac)=<(a+b+c)<sup>2</sup><4(ab+bc+ac)

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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

MMh, Cu_Fa, ti consiglierei di riguardarti la tua soluzione, se non sono \"accecato\" Cauchy in quel verso non ti serve a nulla perchè non è vero che se a>b e c>d a-c>b-d
<BR>Ora, per la tua
<BR>A sinistra è una disuguaglianza famosissima, vale sui reali positivi si risolve \"riscrivendola\" come
<BR>(a-b)<sup>2</sup>+(b-c)<sup>2</sup>+(c-a)<sup>2</sup> >=0
<BR>a destra basta sfruttare la disuguaglianza triangolare
<BR>a < b+c
<BR>b < c+a
<BR>c < a+b
<BR>quindi
<BR>a<sup>2</sup> < ab+ac
<BR>b<sup>2</sup> < ab+bc
<BR>c<sup>2</sup> < ac+bc
<BR>sommandole tutte e tre si ha la tesi
<BR>
<BR>EDIT: Corretta stronzata...<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 01-02-2005 21:45 ]
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Cu_Fa
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Messaggio da Cu_Fa » 01 gen 1970, 01:33

Per Chauchy:
<BR>(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9
<BR>La disequazione del testo è:
<BR>(a/b+b/c+c/a)<sup>2</sup>>=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
<BR>Si ricava:
<BR>(a/b+b/c+c/a)<sup>2</sup>>=9
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Cu_Fa il 01-02-2005 21:44 ]

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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-01 21:43, Cu_Fa wrote:
<BR>Per Chauchy:
<BR>(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9
<BR>La disequazione del testo è:
<BR>(a/b+b/c+c/a)<sup>2</sup>>=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
<BR>Si ricava:
<BR>(a/b+b/c+c/a)<sup>2</sup>>=9</BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>No, non se ne ricava un bel nulla, secondo me, l\'unica cosa che sai è che i tuoi 2 membri stanno \"dalla stessa parte\" rispetto al 9, una per Cauchy e una per il riordinamento... Facendo così, in pratica, la rendi troppo forte, invalidandola...<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 01-02-2005 21:47 ]
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Igor
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Messaggio da Igor » 01 gen 1970, 01:33

Per la seconda disuguaglianza :
<BR>Poniamo senza perdere di generalità a > b.
<BR>Riscriviamo la disuguaglianza in questo modo :
<BR>(a-b)^2+c^2<2bc+2ac
<BR>Per le disuguaglianze triangolari abbiamo:c > a - b e quindi c^2>(a-b)^2
<BR>Possiamo dunque riscrivere la disuguaglianza in questo modo:
<BR>2c^2<2bc+2ac
<BR>c^2<bc+ac
<BR>c^2<c(a+b)
<BR>c<a+b che è vera per le disuguaglianze triangolari
<BR>
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Igor il 01-02-2005 21:50 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Igor il 01-02-2005 21:57 ]

Cu_Fa
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Messaggio da Cu_Fa » 01 gen 1970, 01:33

Forse il sonno mi ha proprio rinco********
<BR>ma sei d\'accordo che se a>=b e b>=c allora a>=c
<BR>per la proprietà transitiva?<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Cu_Fa il 01-02-2005 22:04 ]

Cu_Fa
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Messaggio da Cu_Fa » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>A sinistra è una disuguaglianza famosissima, vale sui reali positivi si risolve \"riscrivendola\" come
<BR>(a-b)<sup>2</sup>+(b-c)<sup>2</sup>+(c-a)<sup>2</sup> >=0
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Ah perfetto!Allora mi potevo evitare tutta la seconda parte!<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Cu_Fa il 01-02-2005 22:04 ]

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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Cu_Fa, il tuo problema è che usi la tua ipostesi ed una tesi vera, poi le provi attraverso un\'altra tesi vera, tu non usi la proprietà transitiva, perchè i tuoi versi sono \"sbagliati\" per fare quel tipo di operazione. Ora ti dimostrerò col tuo metodo che 6>7 così ti convinco...
<BR>
<BR>6>7 che comparata con la disug vera
<BR>5>1 mi da
<BR>11>8 che è vera, secondo il tuo ragionamento ciò prova la tesi, esattamente la stessa cosa che hai fatto tu, ti ho fatto l\'esermpio con i numeri.
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talpuz
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

già, pare che se x>y e y>z, allora sicuramente x>z
<BR>
<BR>ma di certo non è vero che se x>z allora x>y e y>z <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>l\'implicazione non è invertibile...
<BR>
<BR>saluti a tutti <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 01-02-2005 23:28 ]
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Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

<BR>Risolviamo le disuguaglianze poste da Boll... Iniziamo dalla prima:
<BR>a+b+c>=abc è come dire 1/ab+1/bc+1/ac>=1.
<BR>Per MacLaurin abbiamo
<BR>1/a+1/b+1/c>=sqrt(3)*sqrt(1/ab+1/bc+1/ac)>=sqrt(3)
<BR>Ma 1/a+1/b+1/c=(ab+bc+ca)/abc<=(a²+b²+c²)/abc sempre per riarrangiamento e quindi abbiamo:
<BR>(a²+b²+c²)/abc>=1/a+1/b+1/c>=sqrt(3)
<BR>e quindi a²+b²+c²>=sqrt(3)*abc cioè la tesi.
<BR>
<BR>Ecco la seconda:
<BR>(a/b+b/c+c/a)²>=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
<BR>Svolgiamo tutto e semplifichiamo il semplificabile:
<BR>(a/b)²+(b/c)²+(c/a)²+b/a+a/c+c/b>=3+a/b+b/c+c/a
<BR>Ma (a/b)²+(b/c)²+(c/a)²>=(a/b+b/c+c/a)(a/b+b/c+c/a)/3>=(a/b+b/c+c/a)
<BR>per QM-AM e AM-GM e quindi ci resta:
<BR>b/a+a/c+c/b>=3
<BR>che è vera per AM-GM.
<BR>
<BR>Intanto ne propongo altre due:
<BR>Siano a,b,c>=1 tali che 1/a+1/b+1/c=2. Dimostrare che:
<BR>sqrt(a+b+c)>=sqrt(a-1)+sqrt(b-1)+sqrt(c-1)
<BR>
<BR>Siano a,b,c>0 tali che abc=1. Dimostrare che:
<BR>(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)<=1
<BR>
<BR>Risolvete queste e poi ne posto altre... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

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Leblanc
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Messaggio da Leblanc » 01 gen 1970, 01:33

Ciao!
<BR>Provo a fare queste:
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-02 18:44, Simo_the_wolf wrote:
<BR>
<BR>Intanto ne propongo altre due:
<BR>Siano a,b,c>=1 tali che 1/a+1/b+1/c=2. Dimostrare che:
<BR>sqrt(a+b+c)>=sqrt(a-1)+sqrt(b-1)+sqrt(c-1)
<BR>
<BR>Siano a,b,c>0 tali che abc=1. Dimostrare che:
<BR>(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)<=1
<BR>
<BR>Risolvete queste e poi ne posto altre... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>1
<BR>Dall\'ipotesi si nota che (a-1)/a+(b-1)/b+(c-1)/c = 3-(1/a+1/b+1/c)=3-2=1.
<BR>Applico Cauchy-S. in questo modo:
<BR>a_1=sqrt(a-1)/sqrt(a) b_1=sqrt(a)
<BR>a_2=sqrt(b-1)/sqrt(b) b_2=sqrt(b)
<BR>a_3=sqrt(c-1)/sqrt(c) b_3=sqrt(c)
<BR>con la solita notazione e applicando l\'uguaglianza sopra si ha la tesi.
<BR>
<BR>2
<BR>Data l\'ipotesi, pongo a=x/y, b=y/z, c=z/x.
<BR>Con qualche conto si arriva a dover dimostrare:
<BR>(x+z-y)(x+y-z)(y+z-x)<=xyz
<BR>Qui comincia una parte un po\' \"folle\" <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>Supponiamo che x, y, z non possano essere i lati di un triangolo. Allora non vale la disuguaglianza triangolare, per cui uno e solo uno (ovvio) dei fattori a primo membro è negativom mentre il secondo membro è positivo.
<BR>Se invece y, x, z possono essere i lati di un triangolo, si puo\' porre x= a+b, y=b+c, z=c+a.
<BR>Riscrivendo il tutto, bisogna dimostrare che
<BR>2b*2c*2a<= (a+b)(b+c)(c+a), cioè
<BR>abc<= (a+b)/2(b+c)/2(c+a)/2,
<BR>che è una conseguenza delle tre AM-GM.
<BR>
Ogni scoperta consiste nel vedere quello che tutti hanno visto e nel pensare a quello a cui nessuno ha mai pensato. (Albert Szent-Gyorgyi)

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karl
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

2° es.
<BR>Si tratta di una vecchia IMO di cui riporto la soluzione che
<BR>ricalca ,se non formalmente almeno concettualmente,quella
<BR>di Leblanc.
<BR>Se P e\' il 1° membro della disuguaglianza , o e\' P<=0 e allora
<BR>la diseguaglianza e\' gia\' verificata o e\' P>0.
<BR>In quest\'ultimo caso abbiamo:
<BR><!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://xoomer.virgilio.it/carlolorito/mio.bmp"><!-- BBCode End -->
<BR>

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thematrix
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Messaggio da thematrix » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-02 18:44, Simo_the_wolf wrote:
<BR>
<BR>Siano a,b,c>0 tali che abc=1. Dimostrare che:
<BR>(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)<=1
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>aaaargh,ci ho perso 2 giorni senza trovare la chiave per risolverla!!Però,riprendendola da dove m\'ero interrotto,ho trovato un\'altra idea:
<BR>
<BR>Svolgendo tutti i calcoli rimane
<BR>
<BR>a+b+c+ab+ac+bc <= 3+(a/c)+(b/a)+(c/b)
<BR>
<BR>che può essere riscritta come
<BR>
<BR>a+b+c+(1/a)+(1/b)+(1/c) <= 3+(a/c)+(b/a)+(c/b).
<BR>
<BR>Ora,operando la sostituzione a=(x/y),b=(y/z),c=(z/x),si ottiene
<BR>
<BR>(x/y)+(y/z)+(z/x)+(x/z)+(y/x)+(z/y) <= 3+(xz/y²)+(xy/z²)+(yz/x²)
<BR>
<BR>Moltiplicando per 2x²y²z²,si ha
<BR>
<BR>2(x³y²z+x³yz²+x²y³z+x²yz³+xy³z²+xy²z³) <= 6x²y²z²+2(x³y³+y³z³+z³x³)
<BR>
<BR>Infine,sostituendo(di nuovo!) xy=p, xz=q, yz=r, otteniamo
<BR>
<BR>2(p²q+pq²+p²r+pr²+q²r+qr²) <= 6pqr+2(p³+q³+r³)
<BR>
<BR>che è la disuguaglianza di Schur per le variabili positive p,q,r.[addsig]
Sunshine or rain, it's all the same, life isn't gray
oh Mary-Lou.

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thematrix
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Messaggio da thematrix » 01 gen 1970, 01:33

(x/y)+(y/z)+(z/x)+(x/z)+(y/x)+(z/y) si può scrivere sum<sub>sym</sub>(x/y)?
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