[A] Disuguaglianze

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Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

Given n > 2, find the largest h and the smallest H such that h < x<sub>1</sub>/(x<sub>1</sub> + x<sub>2</sub>) + x<sub>2</sub>/(x<sub>2</sub> + x<sub>3</sub>) + ... + x<sub>n</sub>/(x<sub>n</sub> + x<sub>1</sub>) < H for all positive real x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ... , x<sub>n</sub>.

Biagio
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Messaggio da Biagio » 01 gen 1970, 01:33

ciao simo!
<BR>allora, penso che se chiamiamo M il valore di quella roba possiamo dire che 1<=M<=n-1.
<BR>dimostrazione:
<BR>innanzitutto notiamo che se abbiamo trovato il sup, allora abbiamo trovato anche l\'inf. e viceversa. infatti abbiamo che x1/(x1 + x2) + x2/(x2 + x3) + ... + xn/(xn + x1) +x2/(x1 + x2) + x3/(x2 + x3) + ... + x1/(xn + x1)=n. pertanto se x1/(x1 + x2) + x2/(x2 + x3) + ... + xn/(xn + x1) rappresenta il sup (o l\'inf), basterà shiftare di 1 gli indici delle variabili per ottenere l\'inf (o il sup) che sarà dato, appunto, da x2/(x1 + x2) + x3/(x2 + x3) + ... + x1/(xn + x1) .
<BR>M è sempre >=1, infatti prendiamo i due valori tra gli xi che sono massimi e chiamiamoli xm e xn. allora avremo che xm/(xm+x(m+1)) + xn/(xn+x(n+1))
<BR>>=1. infatti sviluppandi i conti si ottiene xmxn>=x(m+1)x(n+1) che, per come abbiamo definito xm e xn, è ovvio.
<BR>Possiamo far avvicinare M a n-1 quanto vogliamo. Infatti basta scegliere gli xi in modo che tra xi e x(i+1) ci sia una grandissima differenza. ad esempio se scegliamo x1=k (con h<<1), x2=k^2, ...xn=k^n, è ovvio che nella frazione xi/(xi + x(i+1)) il termine x(i+1) diventa irrilevante rispetto a xi e la frazione può tendere a piacere a 1. quindi, tutte le frazioni tranne l\'ultima si avvicinano ad 1 a piacimento (basta scegliere k piccolo a piacere). quindi, fregandocene dell\'ultimo termine xn/(xn+x1) (che è comunque positivo), l\'importante è che abbiamo dimostrato che in questo modo le prime n-1 frazioni si avvicinano quanto si vuole a n-1.
<BR>mettendo insieme le due cose abbiamo che: siccome l\'inf è sicuramente >=1 e il sup e sicuramente >=n-1, per quanto detto inizialmente, h=1, H=n-1.
<BR>inoltre il sup e l\'inf diventano max e min solo nel caso n=2. in tutti gli altri casi xmxn>x(m+1)x(n+1) quindi 1<m<n-1.
<BR>
<BR>ps:un contributo viene anche da lolgauss<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 29-01-2005 18:45 ]

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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Visto che il topic è al plurale rilancio, non è proprio una disuguaglianza comunque...
<BR>
<BR>Provare che, per ogni n€N
<BR>(2n<sup>2</sup>+3n+1)<sup>n</sup> >= 6<sup>n</sup>*n! <font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 29-01-2005 20:29 ]
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Biagio
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Messaggio da Biagio » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-29 19:25, Boll wrote:
<BR>
<BR>(2n<sup>2</sup>+3n+1)<sup>n</sup> >= 6<sup>n</sup>*n!<font colo
<BR>r=white>
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 29-01-2005 19:58 ]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>sbaglio o si può anche dire che (2n<sup>2</sup>+3n+1)<sup>n</sup> >= 6<sup>n</sup>*(n!)^2?<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 29-01-2005 20:18 ]

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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

ok, Biagio <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"><IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>Cmq ci si arriva anche induttivamente in anche non troppi conti, se non ho sbagliato qualcosa...
<BR>
<BR>Rilancia tu ora... <font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 29-01-2005 20:30 ]
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

Let x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ... , x<sub>n</sub> be positive reals with sum 1. Prove that x<sub>1</sub>/(2 - x<sub>1</sub>) + x<sub>2</sub>/(2 - x<sub>2</sub>) + ... + x<sub>n</sub>/(2 - x<sub>n</sub>) ≥ n/(2n - 1).
<BR>
<BR>Poi un altro simile al primo (PreImo 2004): Data due n-uple {x<sub>n</sub>} e {y<sub>n</sub>} di reali positivi le cui somme sono 1 (sum x<sub>i</sub>=sum y<sub>i</sub>=1) trovare il massimo e il minimo della seguente somma:
<BR>x<sub>1</sub>²/(x<sub>1</sub>+y<sub>1</sub>)+...+x<sub>n</sub>²/(x<sub>n</sub>+y<sub>n</sub>)
<BR>
<BR>Tela ricordi Biagio? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Let x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ... , x<sub>n</sub> be positive reals with sum 1. Prove that x<sub>1</sub>/(2 - x<sub>1</sub>) + x<sub>2</sub>/(2 - x<sub>2</sub>) + ... + x<sub>n</sub>/(2 - x<sub>n</sub>) ≥ n/(2n - 1).
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Poich tutti gli x<sub>i</sub> sono reali positivi e la loro somma è 1 possiamo affermare che 0 < x<sub>i</sub> < 1, comunque preso i.
<BR>Prendiamo la funzione f(x)=x/(2-x), tale funzione è convessa in [0,1], quindi, per Jensen
<BR>LHS/n >= f(1/n)
<BR>f(1/n)=1/(2n-1) e quindi la tesi è provata.
<BR>
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

Nel frattempo che pensate al secondo ve ne propongo un\'altra facile facile...
<BR>
<BR>Dimostrare che per a,b,c>0 abbiamo:
<BR>
<BR>(b(a+b))<sup>-1</sup>+(c(b+c))<sup>-1</sup>+(a(c+a))<sup>-1</sup>≥(27/2)*(a+b+c)<sup>-2</sup>

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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Prendiamo la funzione f(x)=x/(2-x), tale funzione è convessa in [0,1], quindi, per Jensen....
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Magari si poteva pure spendere qualche parolina in più per esempio dire che f\'\'(x)=4/(2-x)<sup>3</sup>>0 per x>=1 comunque per il resto va bene

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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

Intanto dimostriamo che:
<BR>
<BR>(2n<sup>2</sup>+3n+1)<sup>n</sup> >= 6<sup>n</sup>*(n!)^2
<BR>
<BR>Dunque partiamo col dire che per n=1 e n=2 è vera. Sostituendo infatti abbiamo:
<BR>n=1 --> 6>=6
<BR>n=2 --> 15²>=6²*2²
<BR>
<BR>Supponiamolo vero per n-1 e dimostriamolo per n. Innanzitutto scomponiamoci il pezzo di sinistra in (2n+1)(n+1) e poi diciamo:
<BR>[(2n+1)(n+1)]<sup>n</sup>=(n+1)(2n+1)(1+2/(2n-1))<sup>n-1</sup>(1+1/n)<sup>n-1</sup>*[(2n-1)n]<sup>n-1</sup>
<BR>Poi applichiamo bernoulli (1+x)<sup>n</sup>>=1+nx e troviamo:
<BR>
<BR>[(2n+1)(n+1)]<sup>n</sup>>=(n+1)(2n+1)(4-3/n)[(2n-1)n]<sup>n-1</sup>
<BR>
<BR>Ma abbiamo 4-3/n>=3 (questo perchè n>=3) e (n+1)(2n+1)>=2n² e [(2n-1)n]<sup>n-1</sup>>=6<sup>n-1</sup>((n-1)!)² per ipotesi induttiva quindi avremo:
<BR>
<BR>[(2n+1)(n+1)]<sup>n</sup>>=6n²[(2n-1)n]<sup>n-1</sup>>=6<sup>n</sup>*(n!)²
<BR>
<BR>Cioè la tesi
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://xoomer.virgilio.it/carlolorito/sim11.bmp"><!-- BBCode End --><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 31-01-2005 22:29 ]

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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Ok, Simo, tuttavia c\'era una bella soluzione con AM-GM che è quella, credo, a cui ha pensato Biagio... Visto che karl mi ha bruciato sul tempo, ulteriore rilancio
<BR>
<BR>Prendiamo a,b,c reali positivi tali che
<BR>a+b+c >= abc, provare che
<BR>a<sup>2</Sup>+b<sup>2</Sup>+c<sup>2</Sup> >= sqrt(3)*abc
<BR>
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>(PreImo 2004): Data due n-uple {x<sub>n</sub>} e {y<sub>n</sub>} di reali positivi le cui somme sono 1 (sum x<sub>i</sub>=sum y<sub>i</sub>=1) trovare il massimo e il minimo della seguente somma:
<BR>x<sub>1</sub>²/(x<sub>1</sub>+y<sub>1</sub>)+...+x<sub>n</sub>²/(x<sub>n</sub>+y<sub>n</sub>)
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Proviamo...
<BR>Ovviamente per n=1 massimo e minimo coincidono in 1.
<BR>Ora secondo me per n>= 2 il minimo è 1/2 e il massimo 1-e dove \"e\" è piccolo a piacere. Dimostriamolo:
<BR>
<BR>Innanzitutto riscriviamo la somma in termini più \"umani\",avremo che
<BR>x<sub>i</sub>*(x<sub>i</sub>/(x<sub>i</sub>+y<sub>i</sub>))=x<sub>i</sub>*(1-y<sub>i</sub>/(x<sub>i</sub>+y<sub>i</sub>))=x<sub>i</sub>-x<sub>i</sub>y<sub>i</sub>/(x<sub>i</sub>+y<sub>i</sub>)
<BR>
<BR>Quindi la nostra somma si può riscrivere come
<BR>sum<sub>i=1...n</sub>{x<sub>i</sub>}-sum<sub>i=1...n</sub>[(x<sub>i</sub>*y<sub>i</sub>/(x<sub>i</sub>+y<sub>i</sub>)]
<BR>
<BR>quindi 1- sum<sub>i=1...n</sub>[ HM(x<sub>i</sub>;y<sub>i</sub>)/2]
<BR>dimostriamo che è sempre maggiore di 1/2
<BR>Applichiamo la disuguaglianza HM < AM e abbiamo direttamente la tesi, poichè sum{x<sub>i</sub>}+sum{y<sub>i</sub>}=2
<BR>Ora dimostriamo che effettivamente tocca il minimo, per ciò basta porre tutti gli x<sub>i</sub> uguali agli y<sub>i</sub> (dopo aver ordinato le due n-uple allo stesso modo) e fare i conti.
<BR>
<BR>Una volta riscritta la somma come prima, risulta banale dimostrare che è minore di 1, poichè la somma di numeri positivi è maggiore di 0, ora dobbiamo provare che sum<sub>i=1...n</sub>[ HM(x<sub>i</sub>;y<sub>i</sub>)/2] si può avvicinare indefinitamente a 0 a nostro piacere.
<BR>Costruiamo la nostra successione in questo modo, prendiamo y<sub>1</sub> grandissima, tendente a 1, e quindi tutte le altre piccole a piacere, poi prendiamo x<sub>1</sub> piccolissima, tendente a 0 e quindi tutte le altre con somma tendente a 1. In tal modo la successione tenderà a 1 più sarà piccolo il nostro epsilon (spero si capisca, qui è un po\' spiegato malino <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"><IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"><IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> ).
<BR>1 non può essere mai toccato, perchè se ciò accadesse la somma di numeri reali positivi dovrebbe dare uno zero, e ciò è impossibile.<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 01-02-2005 15:00 ]
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Messaggio da frengo » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>(2n<sup>2</sup>+3n+1)<sup>n</sup> >= 6<sup>n</sup>*(n!)^2?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>dividiamo amebdue i membri per 6<sup>n</sup>:
<BR>[(2n<sup>2</sup>+3n+1)/6]<sup>n</sup> >= (n!)^2
<BR>estraiamo la radice n-sima:
<BR>[(2n<sup>2</sup>+3n+1)/6] =
<BR>[n(2n<sup>2</sup>+3n+1)/6]/n =
<BR>[n(n+1)(2n+1)/6]/n>= (n!)<sup>2/n</sup>
<BR>cioè la disuguaglianza AM-GM dei primi n quadrati perfetti.
<BR>
<BR>Piccola parentesi:
<BR>sum<sup>n</sup><sub>k=1</sub>(k<sup>2</sup>) = n(n+1)(2n+1)/6
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: frengo il 01-02-2005 19:58 ]

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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Quella era la soluzione che dicevo... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"><IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"><IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>Visto che, a parte la mia precedente, sono finite e nessuno mantiene vivo il post <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> , ne posterò un\'altra io.
<BR>
<BR>a,b,c € R+
<BR>(a/b+b/c+c/a)<sup>2</sup> >= (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 01-02-2005 20:23 ]
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