[A] Disuguaglianze

Vuoi proporre i tuoi esercizi? Qui puoi farlo!!

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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Doppio rilancio soviet non troppo arduo
<BR>
<BR>1) Provare che, per x, y>1
<BR>x<sup>2</sup>/(y-1)+y<sup>2</sup>/(x-1) ≥ 8
<BR>
<BR>2) Provare che, per x,y€R+
<BR>x<sup>4</sup>+y<sup>4</sup>+z<sup>2</sup>≥xyz√8
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)

Cu_Fa
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Messaggio da Cu_Fa » 01 gen 1970, 01:33

x<sup>4</sup>+y<sup>4</sup>+z<sup>2</sup>>=2x<sup>2</sup>y<sup>2</sup>+z<sup>2</sup>>=
<BR>2sqrt(2x<sup>2</sup>y<sup>2</sup>z<sup>2</sup>)=xyzsqrt8

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karl
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://xoomer.virgilio.it/carlolorito/box.bmp"><!-- BBCode End --><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 10-02-2005 21:09 ]

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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Ok, visto che avete bruciato le munizioni leggere...<IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>
<BR>a,b,c€R+
<BR>(a<sup>5</sup>-a<sup>2</Sup>+3)(b<sup>5</sup>-b<sup>2</sup>+3)(c<sup>5</sup>-c<sup>2</sup>+3) >= (a+b+c)<sup>3</sup>
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karl
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Si tratta di un procedimento che ho gia\' trattato
<BR>su questo Forum.
<BR><!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://xoomer.virgilio.it/carlolorito/ult.bmp"><!-- BBCode End -->
<BR>

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Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

Ok, adesso diamoci alla trigonometria!! Trovare le più grandi costanti s1,c1 e le più piccole costanti s2,c2 tali che:
<BR>
<BR>s1<=sen(x)+sen(y)+sen(z)<=s2
<BR>c1<=cos(x)+cos(y)+cos(z)<=c2
<BR>
<BR>dove x,y,z sono angoli di un triangolo qualunque (cosa cambierebbe se fosse un triangolo acutangolo?)
<BR>
<BR>Non avete ancora risolto uno dei miei...

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karl
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Con un po\' di trigonometria (o con Jensen nel caso dei seni)
<BR>si puo\' concludere che:s2=3sqrt(3)/2 e c2=3/2.
<BR>Per c1 ed s1 ho qualche dubbio nel pensare che esista
<BR>l\'estremo inferiore ( ed a fortiori il minimo) per le espressioni
<BR>considerate.
<BR>Faccio questo ragionamento:sinx+siny+sinz (ad esempio)
<BR>si puo\' considerare come il perimetro del triangolo generico
<BR>inscritto nella crf. di raggio R=1/2 ed e\' noto che tra i triangoli
<BR>di questo tipo l\'equilatero ha perimetro (ed area) massimi.
<BR>Non esiste invece il minimo assoluto ,a meno di non considerare
<BR>triangoli degeneri o addirittura ridotti ad un punto.
<BR>Probabilmente sbaglio o interpreto male la cosa;qualcuno
<BR>m\'illumini.
<BR>
<BR>

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Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

Ok, c2=3/2 e s2=3sqrt(3)/2. Ma almeno dare la dimostrazione e non solo una linea di dimostrazione? Per c1 esiste benissimo, per s1 tu hai giustamente osservato che se x=y=epsilon e z=pi-2epsilon, allora possiamo prendere epsilon piccolo tale che sen(x)+sen(y)+sen(z)=o con o piccolo a piacere. Quindi abbiamo sen(x)+sen(y)+sen(z)>0 dove 0 è l\'estremo inferiore ma non il minimo (se consideriamo il triangolo non degenere).
<BR>Poi è interessante vedere come c1 e s1 variano se consideriamo il triangolo acutangolo...

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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Uhm ... non per dire banalità, ma
<BR>-3 <= sin(x) + sin(y) + sin(z) <= 3
<BR>-3 <= cos(x) + cos(y) + cos(z) <= 3
<BR>e dunque la domanda di Simo ha perfettamente senso in quanto le due espressioni hanno maggioranti e minoranti, dunque è lecito chiederne l\'inf e il sup (ovvero le minime costanti maggiori e le massime costanti minori).
<BR>karl, proprio perchè hai parlato di estremo inferiore, dovresti benissimo renderti conto che in nessun punto del problema si richiede che le costanti siano valori effettivamente assunti dall\'espressione, quindi i valori assunti nei casi degeneri possono benissimo essere una risposta valida.

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karl
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Ok.
<BR>Vi ringrazio per la precisazione: vedo di continuare.
<BR>
<BR>

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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

karl hai detto che per il triangolo acutangolo si ha:
<BR>sen(x)+sen(y)+sen(z)>0
<BR>ma si può trovare una costante + grande....
<BR>Riassumendo abbiamo trovato
<BR>
<BR>0 < sen(x)+sen(y)+sen(z) <= 3*sqrt(3)/2
<BR>1 < cos(x)+cos(y)+cos(z) <= 3/2
<BR>
<BR>per x,y,z angoli di un triangolo qualunque. Per il triangolo acutangolo abbiamo invece che:
<BR>
<BR>s1 < sen(x)+sen(y)+sen(z) <= 3*sqrt(3)/2
<BR>1 < cos(x)+cos(y)+cos(z) <= 3/2
<BR>
<BR>con s1>=0 ma non sappiamo ancora se va bene (anzi, c\'è sicuramente una costante s1 + grande)<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 13-02-2005 17:11 ]

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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Effettivamente da qualche prova che ho fatto con la
<BR>calcolatrice (...tanto per vedere !) sembra che s1 ,nel caso
<BR>del triang. acutang.,sia abbastanza + grande di 0
<BR>(forse =2).
<BR>Mo \' ci provo ( anche se ne ho tentate gia\' parecchie) .Ciao.
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 13-02-2005 18:52 ]

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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Trovare tutte le coppie di numeri reali positivi r e s tali che:
<BR>2<sup>r<sup>2</sup>+s<sup>4</sup></sup>+2<sup>r<sup>4</sup>+s<sup>2</sup></sup>=8
<BR>con r+s=2<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 14-02-2005 22:33 ]
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

Consideriamo s ed r entrambi positivi, infatti, non potendo essere entrambi negativi, avremmo che uno fra essi, diciamo s, sarebbe tale che |s|>2 e quindi avremmo RH>=2<sup>16</sup>>8
<BR>Abbiamo innanzitutto, per semplice Am-Gm:
<BR>2<sup>r<sup>2</sup>+s<sup>4</sup></sup>+2<sup>s<sup>2</sup>+r<sup>4</sup></sup>>=2*sqrt(2<sup>r<sup>2</sup>+s<sup>4</sup>+r<sup>4</sup>+s<sup>2</sup></sup>)=2*2<sup>(r<sup>2</sup>+s<sup>4</sup>+r<sup>4</sup>+s<sup>2</sup>)/2</sup>
<BR>Ma
<BR>(r<sup>2</sup>+s<sup>4</sup>+r<sup>4</sup>+s<sup>2</sup>)/2=(r<sup>2</sup>+s<sup>2</sup>)/2+(r<sup>4</sup>+s<sup>4</sup>)/2>=((s+r)/2)<sup>2</sup>+((s+r)/2)<sup>4</sup>=2
<BR>e quindi essendo 2<sup>x</sup> crescente abbiamo:
<BR>2<sup>r<sup>2</sup>+s<sup>4</sup></sup>+2<sup>s<sup>2</sup>+r<sup>4</sup></sup>>=2*2<sup>(r<sup>2</sup>+s<sup>4</sup>+r<sup>4</sup>+s<sup>2</sup>)/2</sup>>=2*2²=8
<BR>ma AM-GM ha il segno = sse tutti i termini sono uguali fra loro. quindi abbiamo, prendendo l\'am-gm tra gli esponenti, che r²=s², ma essendo r ed s positivi allora avremmo r=s=1 e infatti sostituendo abbiamo 2²+2²=8
<BR>
<BR>@karl: prova a fissare un angolo e minimizzare la somma dei seni degli altri due angoli... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 16-02-2005 21:54 ]

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