Disuguaglianza

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Cu_Fa
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Messaggio da Cu_Fa » 01 gen 1970, 01:33

Siano a,b,c numeri reali positivi. Dimostrare che
<BR> <!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://olimpiadi.ing.unipi.it/t2/img107.gif"><!-- BBCode End -->
<BR>Non è sufficente il fatto che il polinomio è simmetrico e i coefficenti di a,b,c sono unitari per dimostrare che il minimo è 9/4?
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Cu_Fa il 26-01-2005 13:15 ]

fph
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Messaggio da fph » 01 gen 1970, 01:33

Se non mi sbaglio no (serve almeno anche il fatto che sia omogeneo, se no il minimo e\' banalmente zero).
<BR>In generale non c\'e\' un modo \"che vada bene per tutti i polinomi\" per trovare i minimi di cose di questo tipo, vanno fatti un po\' a mano a colpi di disuguaglianza tra le medie (o altre disuguaglianze simili... conosci un po\' l\'argomento? Se no vediamo di dire due parole, ce n\'e\' un po\' bisogno in effetti).
<BR>Comunque, come proponevi di risolverlo? Scrivi, scrivi, che forse si puo\' \"aggiustare\"...
<BR>
<BR>ciao,
<BR>--federico
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

Il problema proviene dal giornalino n°2 (e ne sei consapevole perché hai linkato la gif), quindi questo thread dovresti metterlo in quel posto (ovvero la categoria relativa al giornalino).
<BR>
<BR>Comunque, per rispondere alla tua domanda... questo <!-- BBCode Start --><I>non è</I><!-- BBCode End --> un polinomio.

Cu_Fa
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Messaggio da Cu_Fa » 01 gen 1970, 01:33

Anche in questo esercizio:
<BR><!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://olimpiadi.ing.unipi.it/images/gn1p0/img45.gif"><!-- BBCode End -->
<BR>vale la stessa storia(sostituire ad a,b,c il valore 1 per ottenere il minimo).
<BR>Perchè è sufficente sostituire ad a,b,c 1 per ottenre il minimo?C\'è qualche spiegazione rigorosa?

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

Convessità?

Cu_Fa
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Messaggio da Cu_Fa » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-25 16:22, MindFlyer wrote:
<BR>Convessità?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Perchè la convessità?

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

Beh, se una funzione di più variabili reali è convessa, simmetrica ed assume minimo, allora il minimo si trova uguagliando tutte le variabili.

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Marco
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-25 16:15, MindFlyer wrote:
<BR>Comunque, per rispondere alla tua domanda... questo <!-- BBCode Start --><I>non è</I><!-- BBCode End --> un polinomio.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>... e MindFlyer vince il premio per l\'intervento più puntiglioso di tutto Gennaio.
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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Cu_Fa
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Messaggio da Cu_Fa » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-25 16:36, MindFlyer wrote:
<BR>Beh, se una funzione di più variabili reali è convessa, simmetrica ed assume minimo, allora il minimo si trova uguagliando tutte le variabili.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->Scusa la mia ignoranza,ma di funzioni convesse non ne ho mai sentito parlare ...Ma come si fa a dimostrare,con metodi elementari,che una funzione è convessa?<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Cu_Fa il 25-01-2005 16:43 ]

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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

Dicesi funzione convessa una fz t.c. per ogni x e y nel suo dominio, vale che
<BR>
<BR>f( (x+y)/2 ) <= [ f(x) + f(y) ] / 2
<BR>
<BR>(la fz della media degli input \"sta sotto\" la media degli output)
<BR>
<BR>Nel caso di funzioni in più variabili, x e y come sopra sono vettori con più coordinate (le somme e le medie si fanno coordinata per coordinata).
<BR>
<BR>C\'è un interessante problema graziosissimo postato qualche giorno fa da Sprmnt21 che gioca un po\' con le funzioni convesse e che, se sei interessato, ti consiglio di tentare (si chiama \"Funzioni più-che-convesse\").
<BR>
<BR>Ciao. M.[addsig]
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Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-25 16:42, Cu_Fa wrote:
<BR>Ma come si fa a dimostrare,con metodi elementari,che una funzione è convessa?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Ci sono moltissime proprietà elementari delle funzioni convesse, che puoi usare come criteri di convessità. Ad esempio, la somma di funzioni convesse è convessa, la composizione di funzioni convesse e crescenti è convessa e crescente... Cerca un po\' su internet e troverai tanta roba.

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-25 16:50, marco wrote:
<BR>Dicesi funzione convessa una fz t.c. per ogni x e y nel suo dominio, vale che
<BR>f( (x+y)/2 ) <= [ f(x) + f(y) ] / 2
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Acc, faccio ancora il puntiglioso, ma forse questa volta ci vuole:
<BR>la tua definizione va bene se f è continua, ma in generale la definizione è che per ogni x, y nel dominio e t in [0,1], vale
<BR>
<BR>f(tx+(1-t)y) <= tf(x)+(1-t)f(y).
<BR>
<BR>Per questo motivo, il dominio dev\'essere un insieme convesso.

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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

s\'era discusso di questa in un thread titolato (fantasiosamente) \"\"<!-- BBCode Start --><A HREF="http://olimpiadi.sns.it/modules.php?op= ... 5&start=30" TARGET="_blank">questa è bella</A><!-- BBCode End --> nella pagina linkata e nella seguente...
<BR>comunque è una gran bella disuguaglianza, tutt\'altro che banale <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-25 16:19, Cu_Fa wrote:
<BR><!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://olimpiadi.ing.unipi.it/images/gn1p0/img45.gif"><!-- BBCode End -->
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Boh, non so se si fa per convessità... (forse M.F. ci può aiutare).
<BR>
<BR>Dato che non sono bravo con le diseguaglianze, ho usato un po\' di sana forza bruta. Riscrivo la tesi:
<BR>
<BR>Butto via i denominatori e espando i prodotti:
<BR>
<BR>a<sup>3</sup> + a<sup>2</sup>b + a<sup>2</sup>c + abc + < rotazioni > <!-- BBCode Start --><B>>=</B><!-- BBCode End --> 3/2 [ < a<sup>2</sup>b > + 2 abc ]
<BR>
<BR>2 < a<sup>3</sup> > + 2 < a<sup>2</sup>b > + 6 abc <!-- BBCode Start --><B>>=</B><!-- BBCode End --> 3 < a<sup>2</sup>b > + 6 abc
<BR>
<BR>2 < a<sup>3</sup> > <!-- BBCode Start --><B>>=</B><!-- BBCode End --> < a<sup>2</sup>b >.
<BR>
<BR>Il primo membro è la somma simmetrica di a<sup>3</sup>, il secondo lo è di a<sup>2</sup>b.
<BR>
<BR>La tesi è vera per il bunching. []
<BR>
<BR>[le notazioni con < > non sono standard, quindi non cercatele in letteratura, ché non le troverete... è un modo stenografico di scrivere tutti i monomi con una certa forma]
<BR>
<BR>Ghi!! Sono felicissimo: my first ever soluzione bunchosa...
<BR>
<BR>Ciao. M.
<BR>
<BR>\"Maybe. But so great a claim will need to be established, and clear proofs will be required.\"<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: marco il 26-01-2005 12:06 ]
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Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-26 12:05, marco wrote:
<BR>Boh, non so se si fa per convessità... (forse M.F. ci può aiutare).
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Non so se quella cosa sia convessa, ho detto \"Convessità?\" per buttare lì un\'idea che forse avrebbe aiutato a spiegare perché il minimo si ottiene uguagliando le variabili.
<BR>La mia mezza idea iniziale era di dimostrare separatamente che i 3 addendi della forma a/(b+c) sono convessi, ma ovviamente ad un\'occhiata più attenta si vede che non lo sono...

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