[A-G] Trigonometria Rulez!

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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

1) Minimizzare l\'espressione
<BR>sin<sup>3</sup>(x)/cos(x)+cos<sup>3</sup>(x)/sin(x)
<BR>con 0 < x < pi/2
<BR>
<BR>2) Dato un triangolo rettangolo, dove a,b sono i cateti e c l\'ipotenusa, provare che, per ogni n>2
<BR>c<sup>n</sup>>a<sup>n</sup>+b<sup>n</sup>
<BR>
<BR>EDIT: Aggiunta restrizione del dominio<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 21-01-2005 18:16 ]
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karl
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

2°)
<BR>Si ha:
<BR>c^n-a^n-b^n=c^(n-2)*c^2-a^n-b^n=
<BR>c^(n-2)(a^2+b^2)-a^n-b^n=
<BR>=c^(n-2)*a^2+c^(n-2)*b^2-a^n-b^n=
<BR>=a^2[c^(n-2)-a^(n-2)]+b^2[c^(n-2)-b^(n-2)]>0
<BR>perche\' c>a , c>b e n>2.
<BR>Dunque :c^n-a^n-b^n>0-->c^n>a^n+b^n
<BR>
<BR>Per il 1° es. forse mi sbaglio ,ma se non ci sono
<BR>precise limitazioni per la x la funzione non ha un minimo
<BR>assoluto al finito ma al piu\' solo minimi locali. come si vede
<BR>tracciando il grafico della f(x)
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 20-01-2005 23:21 ]

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Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

Per la prima otteniamo:
<BR>sen(x)<sup>3</sup>/cos(x)+cos(x)<sup>3</sup>/sen(x)=
<BR>=2(sen(x)<sup>4</sup>+cos(x)<sup>4</sup>)/sen(2x)=
<BR>=2(1-(sen(2x)²)/2)/sen(2x)=
<BR>=2sen(2x)<sup>-1</sup>-sen(2x)
<BR>
<BR>che ovviamente non ha minimo. Se si restringe però il dominio a (0,pi/2) allora il minimo è ovviamente per x=pi/4 ricordando che sen(2x)€(0,1] e il seno è uguale a 1 per 2x=pi/2 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 21-01-2005 17:29 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 21-01-2005 17:30 ]

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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Sì, scusate Simo e karl, mi ero dimenticato della condizione di restrizione del dominio <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR>Simo, non ho ben compreso il punto in cui dimostri che il minimo è 1... La mia dimostrazione non sfurtta la trigonometria per nulla, o quasi...
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Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

arrivati a 2/sen(2x)-sen(2x) sappiamo che sen(2x) è compresa tra 0 e 1 e sapendo che 1/sen(2x)>=sen(2x) possiamo dire che
<BR>2/sen(2x)-sen(2x)>=1/sen(2x)>=1
<BR>Ma quando sen(2x)=1 allora 2/sen(2x)-sen(2x)=1 e quindi 1 è il minimo della funzione data.
<BR>
<BR>Così va meglio? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Ok, ineccepibile. POsto anche la mia per dimostrare che la trigonometria c\'entrava ben poco <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>
<BR>Facciamo \"cadere dal cielo\" che il minimo è 1 (è abbastanza intuitivo) e dimostriamo che l\'espressione lo tocca ponendo x=pi/4, ora
<BR>sin<sup>3</sup>(x)/cos(x)+cos<sup>3</sup>(x)/sin(x) >= 1
<BR>sin<sup>3</sup>(x)/cos(x)+cos<sup>3</sup>(x)/sin(x) >= sin<sup>2</sup>(x)+cos<sup>2</sup>(x)
<BR>ora ponendo a=sin(x) e b=cos(x)
<BR>a<sup>4</sup>+b<sup>4</sup> >= a<sup>3</sup>b+ab<sup>3</sup>
<BR>BUNCHING!!!
<BR>
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andrea84
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Messaggio da andrea84 » 01 gen 1970, 01:33

Ciao Bollazzo!
<BR>
<BR>Siamo sicuro che il Bunching, valga anche se le quantità coinvolte sono negative?
Andrea 84 alias Brend

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karl
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

C\'e\' la limitazione:
<BR>x in ]0,pi/2[
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 22-01-2005 13:15 ]

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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Sicuramente il bunching non vale per le quantità negative, tuttavia, come già ti rispose karl, in questo caso 0 < a,b < 1<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 22-01-2005 13:24 ]
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andrea84
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Messaggio da andrea84 » 01 gen 1970, 01:33

swoops!!! scusa non avevo letto <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
Andrea 84 alias Brend

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