[+] Coseni, Limiti e Produttorie

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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Questo problema è stato proposto nella II puntata della gara a squadre UNIMI, tuttavia non siamo riusciti a trovarne una dimstrazione elementare, provateci voi...
<BR>
<BR>Sia data una successione definita per ricorrenza lineare in questo modo:
<BR>a<sub>0</sub>=1/sqrt(2)
<BR>a<sub>n+1</sub>=sqrt((1+a<sub>n</sub>)/2)
<BR>Dire a che valore si avvicina, al crescere di n, a<sub>0</sub>a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>a<sub>3</sub>...a<sub>n</sub><font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 20-01-2005 21:16 ]
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)

ma_go
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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

si verifica che tale successione è crescente, limitata superiormente.
<BR>dunque ammette limite.
<BR>poi si fa il passaggio al limite dell\'espressione di a<sub>n+1</sub>, e si ricava l = (1+l)/2, da cui l = 1...
<BR>però è bella anche la sostituzione trigonometrica!
<BR>a<sub>0</sub> = cos(pi/4), e se a<sub>n</sub> = cosb<sub>n</sub>, allora a<sub>n+1</sub> = cos(b<sub>n</sub>/2)..
<BR>molto interessante ;D

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karl
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Penso che si chiedesse lim(a0*a1*a2*...*an).
<BR>Se e\' cosi\' ,ecco la mia soluzione.
<BR><!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://xoomer.virgilio.it/carlolorito/lib.bmp"><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 20-01-2005 18:20 ]

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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Sapevo che karl avrebbe risolto il problema <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> e mi rincuora poichè anche per noi il limite andava a 2/pi, tuttavia per dimostrarlo sfruttavamo un\'identità trigonometrica bruttissima, chiamata Legge di Morrie
<BR>
<BR>@ ma_go: C\'è un modo fighissimo per dimostrare quello che hai detto tu senza i limiti, con la discesa infinita sfruttando il fatto che 2<sup>2</sup>=2+2<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 20-01-2005 15:44 ]
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