[G] Pick in 3d

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Marco
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

Mah, ultimamente i solutori scarseggiano (a parte in geometria >= febbraio...). E allora perché non proporre qualche altro divertente problema che resterà insoluto?
<BR>
<BR>Ok. Uno dei teoremi di geometria solveristica più graziosi e più inutili [perlomeno, secondo il mio modestissimo parere] che conosco è il
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Teorema di Pick</B><!-- BBCode End -->
<BR>Sia dato un poligono sano con i vertici a coordinate intere. Sia B il numero di punti a coordinate intere sul suo bordo e sia I il numero di punti a coordinate intere al suo interno.
<BR>Allora l\'area del poligono è data da
<BR>
<BR>S = I + B/2 - 1.
<BR>
<BR>I più volenterosi possono anche provare a dimostrarlo: non è difficile, ma è un po\' lungo... [Hint: <font color = white>Fatelo per i triangoli rettangoli, poi per i triangoli generici e poi mostrate che incollando due poligoni per un lato il teorema resta vero, una specie di induzione...</font>].
<BR>
<BR>Ah, dimenticavo, devo precisare che cos\'è un poligono sano. Intendo dire che il poligono non fa cose strane, come essere intrecciato o avere dei buchi. Può però essere concavo. Come diventa la formula di Pick se il poligono ha Z buchi?
<BR>
<BR>E ora, dopo tutta questa prolusione, vediamo il problema vero e proprio:
<BR>
<BR>----------------------
<BR>Provare o confutare:
<BR>
<BR>Esistono costanti opportune c<sub>1</sub> ... c<sub>5</sub>, tali per cui per ogni dato poliedro sano con i vertici a coordinate intere, il suo volume risulti
<BR>
<BR>V = c<sub>1</sub> I + c<sub>2</sub> F + c<sub>3</sub> S + c<sub>4</sub> V + c<sub>5</sub>,
<BR>
<BR>dove I è il numero di punti a coordinate intere al suo interno, F il numero di p.c.i. all\'interno delle sue facce, S il numero di p.c.i. all\'interno dei suoi spigoli e V è il numero dei suoi vertici.
<BR>----------------------
<BR>
<BR>Ciao. M.[addsig]
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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Uhm ... vi voglio deludere.
<BR>Prendete i punti
<BR>A=(0,0,0) B=(1,0,0) C=(0,1,0) V=(1,1,k)
<BR>con k in Z.
<BR>Se non ho sbagliato i conti questo coso non contiene punti interi se non nei vertici e il suo volume è k/6...quindi non può esistere una formula....
<BR>
<BR>Come generalizzazione mi sembra più plausibile l\'area della superficie di un poliedro a vertici interi...anche se non so quanto sia concludente.

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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Mind...leggere i post degli altri non fa male...l\'ho appena detto che la formula non esiste...con tanto di controesempio.

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

Oh, sì, scusa. Confermo che la formula non esiste.
<BR>Non esiste nemmeno restringendosi ai cubi ed ai tetraedri \"retti\" con spigoli lunghi 1 e 2.

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-20 21:59, EvaristeG wrote:
<BR>Come generalizzazione mi sembra più plausibile l\'area della superficie di un poliedro a vertici interi...anche se non so quanto sia concludente.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Beh, il tuo stesso controesempio implica che non esiste nemmeno quella formula.

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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Sì, ma per alcune classi di aggeggi funziona decentemente

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Marco
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-20 21:59, EvaristeG wrote:
<BR>Uhm ... vi voglio deludere.
<BR>Prendete i punti
<BR>A=(0,0,0) B=(1,0,0) C=(0,1,0) V=(1,1,k)
<BR>con k in Z.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Esatto! Nessuna delusione: è esattamente il mio controesempio.
<BR>
<BR>Beh, per far vedere che non contiene altri punti interi che i vertici, basta osservare che è contenuto nel prisma di base [0,1]^2, che i vertici stanno ognuno su una diversa retta verticale e che il tetraedro è l\'inviluppo convesso dei quattro punti.
<BR>
<BR>Che cosa si intende con \"classi di aggeggi\"?
<BR>
<BR>Ciao. M.[addsig]
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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Pr quanto riguarda gli aggeggi,
<BR><A href=\"http://delivery.acm.org/10.1145/320000/ ... N=15623854\"> GUARDATE QUI</A>
<BR>
<BR>Inoltre, chiamiamo P un polìtopo n-dimensionale con vertici P<SUP>1</SUP>, ..., P<SUP>m</SUP> (vettori di R<SUP>n</SUP>) e indichiamo con
<BR>N<SUB>P</SUB>(k)
<BR>il numero di punti a coordinate intere che stanno dentro un politopo P\' (o sul bordo) che ha come vertici kP<SUP>1</SUP>, ... kP<SUP>m</SUP>.
<BR>(insomma, dilatiamo P con un coeff k rispetto all\'origine).
<BR>
<BR>Ora, si può dimostrare che
<BR>
<BR>N<SUB>P</SUB>(k)= a<SUB>n</SUB>k<SUP>n</SUP> + ... + a<SUB>1</SUB>k + a<SUB>0</SUB> (*)
<BR>
<BR>dove a<SUB>n</SUB> è il volume n-dimensionale di P e a<SUB>0</SUB>=1.
<BR>
<BR>Se si pone n=2 e k=1 si ottiene il teorema di pick ...
<BR>
<BR>Per il caso n=3 si ottiene una cosa brutta in cui il coefficiente di a<sub>1</sub> non riesce ad essere espresso semplicemente in base ai soli lati del solido.
<BR>
<BR>Il polinomio (*) viene detto polinomio di Ehrhart o di Pommersheim (credo) ed è faccenda piuttosto recente.
<BR>
<BR>Su interner dovrebbe esserci qls di più. Cercate<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: EvaristeG il 22-01-2005 14:26 ]

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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

Il link non funziona (mi compare un quadro di log-in...)
<BR>
<BR>Er.... nel tuo post non dici chi sono gli a<sub>t</sub> quando t non è 0 oppure n.
<BR>
<BR>Ah, e poi fa molto più folklore dire politòpo, non credi?...
<BR>
<BR>Alla prox. M.
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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Uhm ... a me il link funzionava ...
<BR>cmq non dico chi sono gli altri coefficienti perchè non si sa (a parte forse a<sub>n-1</sub> ma non me lo ricordo).
<BR>Inoltre, sarà folkloristico, ma credo sia polìtopo ... cmq fate vobis

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-21 14:55, EvaristeG wrote:
<BR>Se si pone n=2 e k=1 si ottiene il teorema di pick ...
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Beh, non proprio...
<BR>Nota che il teorema che hai enunciato esprime N_P(k) come polinomio nella variabile k, e con coefficienti dipendenti da P. Ora, se fissi k=1 non ottieni il teorema di Pick, ma la tautologia secondo cui N_P dipende da P. Infatti hai ancora il coefficiente a_1, che è \"libero\" (sebbene noi sappiamo valere B/2).

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Uffa ... ho ricostruito la faccenda e a<sub>n-1</sub> si dimostra essere quel che deve ... ovvero la semisomma dei contenuti in punti interi delle (n-1)-facce del vostro politopo.
<BR>Cmq, Mind, visto che ti piace tanto dirlo agli altri, guarda su mathworld.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: EvaristeG il 22-01-2005 18:45 ]

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Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-22 18:30, EvaristeG wrote:
<BR>Cmq, Mind, visto che ti piace tanto dirlo agli altri, guarda su mathworld.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Insomma, in questo caso eri tu a doverti informare prima di citare un teorema in modo incompleto. E il mio commento era riferito al tuo post, non al teorema concepito da Ehrhart.

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