esagono spagnolo

Vuoi proporre i tuoi esercizi? Qui puoi farlo!!

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jim
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Messaggio da jim » 01 gen 1970, 01:33

Tra gli esercizi delle olimpiadi nazionali spagnole 2003, mi sono imbattuto in questo qui:
<BR>A hexagon has all its angles equal and sides 1, 2, 3, 4, 5, 6 in that order. What is its area?
<BR>
<BR>

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Sisifo
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Messaggio da Sisifo » 01 gen 1970, 01:33

Questa dimostrazione si fonda forse sulla semplice forza bruta dei calcoli, però funziona...
<BR>Chiamo i vertici dell\'esagono A,B,C,D,E,F, partendo da quello comune ai lati lunghi 1 e 6 e andando via via seguendo l\'ordine in cui crescono i lati.
<BR>L\'idea è quella di calcolare l\'area dell\'esagono come somma delle aree dei triangoli ABC, CDE, AEF, ACE.
<BR>Le aree di ABC, CDE, AEF per la formula trigonometrica dell\'area sono rispettivamente Sqrt(3)/2, 3*Sqrt(3),15*Sqrt(3)/2.
<BR>I lati AC, CE, AE sono per il teorema del coseno Sqrt(7), Sqrt(37), Sqrt(91), e quindi l\'area di ACE sarà per la formula di Erone 7/4*Sqrt(174).
<BR>In conclusione l\'area sarà 11*Sqrt(3)+7/4*Sqrt(174). Concordo che è veramente orribile e che sicuramente ho sbagliato qualche calcolo...Si accettano alternative.
<BR>
<BR>Mi accorgo anche che ho dato per scontata l\'esistenza di un simile esagono...è un errore?
<BR>
<BR>\"Non è certo che tutto sia incerto\"(B. Pascal)<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Sisifo il 16-01-2005 14:44 ]
"Non è certo che tutto sia incerto"(B. Pascal)
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fph
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Messaggio da fph » 01 gen 1970, 01:33

C\'era un esercizio molto simile in un Cesenatico a cui io ho partecipato... 2001 se non sbaglio, o sicuramente all\'interno dell\'insieme {2000,2001,2002}. Penso che si risolva allo stesso modo: traccia: l\'idea e\' di \"attaccare\" tre triangolini equilateri a tre lati non contigui dell\'esagono e trasformarlo in un triangolo equilatero... poi usare il fatto che i triangoli equilateri hanno tutti i lati uguali
<BR>
<BR>ciao,
<BR>--f
--federico
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Hammond
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Messaggio da Hammond » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-16 14:42, Sisifo wrote:
<BR>Mi accorgo anche che ho dato per scontata l\'esistenza di un simile esagono...è un errore?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>In effetti non saprei...non credo che esista; gli angoli interni potrebbero essere solo di 120° o al limite di 60°(consentirebbe un \"esagono\" intrecciato) ma si verifica per costruzione che per nessuno dei due valori esiste un esagono con il lati di quelle misure. Avevo pensato anche a un esagono degenere di angolo 0°, ma neanche quello funziona. Boh, forse è un problema a trabocchetto, o più semplicemente sono io che non ci arrivo. In ogni caso non riesco a visualizzarlo.

MaMo
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Messaggio da MaMo » 01 gen 1970, 01:33

Credo che l\'esagono descritto dal problema non esista.
<BR>Utilizziamo il procedimento descritto da fph.
<BR>Indichiamo con L il lato del triangolo equilatero e con a, b, c, d, e, f, i sei lati dell\'esagono nell\'ordine dato. Se i lati a, c , e, si trovano sui lati del triangolo equilatero, si può facilmente dimostrare che devono essere verificate contemporaneamente le tre condizioni:
<BR>b + c + d = L
<BR>d + e + f = L
<BR>f + a + b = L
<BR>In questo caso si ha b + c + d = 9, d + e + f = 15, f + a + b = 9.

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Marco
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

Beh, altra dimos di impossibilità, co\'numeri \'omplessi:
<BR>
<BR>[diciamo che l\'esagono è un galantuomo, non è intrecciato, fa cose strane, ecc...]
<BR>
<BR>Per la storia della somma degli angoli interni, dato ch\'è equiangolo, gli angoli interni devono essere 120°. Allora, ponendo w una rad. prim. sesta dell\'unità, si ha che la spezzata si chiude sse sommando i vettori spostamento torno al punto di partenza, ovvero sse:
<BR>
<BR>1+2w+3w<sup>2</sup>+4w<sup>3</sup>+5w<sup>4</sup>+6w<sup>5</sup> = 0.
<BR>
<BR>Ricordando che w<sup>3</sup> = -1 e w<sup>2</sup>=w-1 (si vede fattorizzando w<sup>6</sup>-1), si semplifica il tutto a
<BR>
<BR>-3(1+w+w<sup>2</sup>) = -6w =|= 0. Cioè la spezzata non si chiude. []
<BR>
<BR>Ciao. M.[addsig]
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."

bizzo
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Messaggio da bizzo » 01 gen 1970, 01:33

Per curiosità ho cercato un \"vero\" esagono con i lati delle stesse misure:
<BR>con la sequenza 1 6 2 4 3 5 la figura si chiude.
<BR>In questo caso il calcolo è semplice: ponendo i lati da 1 e 4 orizzontali, si considera il rettangolo esterno che li contiene.
<BR>Si trova: base=6,5; altezza=4sqrt(3).
<BR>Si sottrae l\'area dei 4 triangoli aventi i lati obliqui dell\'esagono per ipotenusa,
<BR>in totale (37/4)sqrt(3) e l\'area dell\'esagono vale (67/4)sqrt(3).
<BR>
<BR>Visto che il problema assegnato è impossibile e che questo rimaneggiato è decisamente banale, rimane sempre da capire cosa volevano veramente gli Spagnoli.
<BR>Arrivederci.
Daniele Bizzarri

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-17 17:42, bizzo wrote:
<BR>Visto che il problema assegnato è impossibile e che questo rimaneggiato è decisamente banale, rimane sempre da capire cosa volevano veramente gli Spagnoli.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Gli spagnoli volevano che, dato un esagono con quei lati, tu ne trovassi l\'area. Dimostrare che l\'esagono non esiste è un modo per risolverlo, visto che un\'ipotesi falsa implica qualunque proposizione (e quindi anche \"l\'esagono ha un\'area che vale 37\"). Altrimenti potevi usare solo qualcuna delle ipotesi, e dedurre un risultato coerente.
<BR>Visto che il problema è dimostrativo, poco importa quale approccio usi. E\' chiaro che non avrebbe potuto essere un problema a risposta numerica o risposta multipla, dato che ogni risposta è giusta, tranne \"l\'esagono esiste\".

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