[G] Pavimento

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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

Tempo fà mi pare di aver letto su un giornale od in qualche modo ho letto questo problema, forse posto quasi per scherzo. Dato che alcuni tra gli ultimi quesiti (anche se nn riuscivo a risolverli! )mi hanno in un certo qual modo ampliato gli orizzonti, ho provato a pensarci sù...
<BR>
<BR>Prendiamo un pavimento infinito con le piastrelle che formano una griglia quadrata. Se cade uno spillo, qual\'è la probabilità che cada a cavallo di 2 piastrelle?
<BR>Trascurare la parte fisica e fermarsi sulla probabilità..
<BR>
<BR>Ho provato a dare una risposta oggi e (abbastanza in fretta devo dire) è venuta fuori una formula...probabilmente errata. Dato che nn conosco la sol, volevo propore il quesito come tema di discussione...Saluti
<BR>
<BR>ps: lo sò che probabilmente nn è molto \'olimpico\' resta interessante...<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 15-01-2005 17:03 ]

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

Prova a farlo prima con delle \"strisce\" di larghezza uguale al posto delle piastrelle. Qui la probabilità dovrebbe essere qualcosa tipo 2/pigreco.
<BR>Ma concordo che non sia un problema olimpico, perché è inevitabile usare un integrale.
<BR>
<BR>EDIT:
<BR>Ah, non hai specificato la lunghezza dello spillo! Nel problema semplificato che ho proposto, la lunghezza dello spillo è uguale alla larghezza di una striscia. Nel tuo problema, vuoi un risultato in funzione della lunghezza dello spillo?<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: MindFlyer il 16-01-2005 08:56 ]

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MASSO
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Messaggio da MASSO » 01 gen 1970, 01:33

\"Se cade uno spillo, qual\'è la probabilità che cada a cavallo di 2 piastrelle?\"
<BR> ma si intende almeno due piastrelle o due e solo due?
<BR>cmq mi sa che anche senza usare gli integrali ci si può arrivare; ma nel caso delle strisce e dell\'ago lungo quanto le strisce; sei sicuro che la probabilità non sia 1/2? ragionandosi su se accoppio tutte le cadute possibili in un certo modo (cioè quando l\'ago è inclinato di k gradi con quando è inclinato di 90-k gradi) mi esce che una volta su due tocca sempre una striscia e penso che un ragionamento analogo si potrebbe fare anche con i quadratini

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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

@ Mind: proverò con le strisce, anche se ho già iniziato con i quadrati...cmq si anche il mio procedimento richiede un integrale! Il problema stà nell\'utilizzarlo in modo corretto. La lunghezza dello spillo per come ho pensato io il problema nn è definita e ciò mi pare obblighi a distinguire i casi:
<BR>* lunghezza minore del lato del quadrato;
<BR>*lunghezza maggiore del lato del quadrato ma minore della diagonale;
<BR>*lunghezza maggiore della diagonale (questo caso è facile <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> ) )
<BR>Invece per \"a cavallo tra due piastrelle\" intendo: quando nn è completamente contenuto in una sola piastrella.
<BR>
<BR>Il ragionamento di Masso nn lo capisco. Tu vorresti trovare una combinazione che \'tocchi\' per ognuna che nn \'tocchi\' (chissà cosa tocca poi?
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> ) e dedurre il risultato, giusto? Potrebbe funzionare, solo spiegami bene come accoppieresti le situazioni... che da quanto scrivi nn vedo bene il modo...
<BR>
<BR>A dire la verità ho un pò di paura a scrivere il mio procedimento,dato che nn sono familiare con l\'analisi, quindi posto per ora solo il risultato. Se la lunghezza dello spillo è m e il lato del quadrato è a, a me viene:
<BR>
<BR>P(m)= 1 - [a<sup>2</sup>*pi-4ma+m<sup>2</sup>]/[a<sup>2</sup>*pi]
<BR>
<BR>a qualcuno torna minimamente? Ho fatto anche il secondo caso (nn riporto il tutto perchè estremamente lungo nella forma estesa) e l\'unico controllo che ho fatto è stato verificare che P(0)=0 e P(a*rad(2))=1, cose che mi sembrano ragionevoli...dovrei fare il caso di Mind ma basta calcoli per oggi...
<BR>
<BR>
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 15-01-2005 22:07 ]

MaMo
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Messaggio da MaMo » 01 gen 1970, 01:33

Questo problema è chiamato \"problema dell\'ago di Buffon-Laplace\".
<BR>In generale se le piastrelle sono rettangolari di lati a e b, la probabilità che l\'ago di lunghezza m (m < a e m < b) cada su di un bordo è:
<BR>P = m[2(a + b) - m]/(pi*ab).
<BR>Nel caso di rette parallele poste a distanza d (m < d), la probabilità è:
<BR>P = 2m/(pi*d).

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MASSO
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Messaggio da MASSO » 01 gen 1970, 01:33

be, probabilmente non è la soluzione corretta ma tento di spiegarla perchè mi pare interessante
<BR>calcolare la probabilità che un ago di lunghezza m tocchi una linea quando viene fatto cadere su una rete infinita composta da linee parallele distanti m:
<BR>l\'ago in questione può ruotare di un angolo alfa rispetto alla perpendicolare alle rette; per esempio se cade perpendicolare alle rette ne toccherà sempre una, ma se cade con un angolo di 45° rispetto alla perpendicolare allora toccherà una linea solo una volta su due
<BR>la probablità che un ago tocchi una linea è ovviamente la stessa che un segmento perpendicolare alle linee lungo sin(a)*m non la tocchi
<BR>ma questo secondo segmento può essere visto come un ago di lunghezza m ruotato di 90°-alfa rispetto alla perpendicolare
<BR>allora se io accoppio un ago ruotato di alfa gradi con uno ruotato di 90-alfa gradi, avrò che uno solo dei due tocca una retta; e siccome l\'ago che cade può atterrare in tutti e soli i modi cosi accoppiati, avrò che una volta su due corrisponde al segmento che tocca la retta e l\'altra volta al segmento che non la tocca; perciò la probabilità cercata è del 50%
<BR>spero di essere stato più chiaro anche se un disegno mi aiuterebbe non poco
<BR>

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

MASSO, purtroppo commetti numerosi errori, molti dei quali dovuti al fatto che presumibilmente non hai una concezione coerente della probabilità.
<BR>E questo è il motivo per cui non andrebbero trattati qui problemi non elementari.
<BR>
<BR>Per prima cosa, non è vero che un ago ruotato di alfa gradi tocca se e solo se non tocca lo stesso ago ruotato di 90°-alfa. Se è questo quello che intendi, ed onestamente è l\'unica interpretazione che sia riuscito a dare. Poi, non è vero che se un ago è ruotato di 45°, allora tocca con probabilità 1/2. Ma questi sono dettagli.
<BR>
<BR>Ben più grave è il passo in cui, sempre se ho interpretato bene, dici \"Tra i 2 insiemi vi è una corrispondenza biunivoca, ed inoltre ad ogni elemento dell\'uno, che ha probabilità condizionata p, corrisponde un elemento dell\'altro che ha probabilità condizionata 1-p. Quindi, la probabilità complessiva è 1/2.\". Questo sarebbe vero, per esempio, se gli insiemi fossero finiti ed equiprobabili, o per lo meno se fossero equiprobabili gli eventi corrispondenti. Per esempio, se dici \"Lancio un dado: se il numero è pari, c\'è probabilità p che oggi piova. Se esce dispari, c\'è probabilità 1-p che oggi piova. Conclusione: la probabilità che oggi piova è a priori (prima del lancio del dado) 1/2.\". Questo discorso ovviamente regge, ma quando i 2 insiemi sono infiniti, il discorso non è più così semplice, e non è questo il posto giusto per parlarne perché tirerebbe in ballo davvero troppa roba. Se ne hai voglia, ti suggerisco di leggerti un\'introduzione alla teoria della misura, ma se questo andasse a scapito della tua normale attività sessuale, ti consiglio di desistere.
<BR>
<BR>Il modo giusto di risolvere il problema con le strisce (con la notazione di MaMo) è di fare un integrale da 0 a pi/2 di m*cos(alfa)/d, diviso per pi/2, che viene per l\'appunto 2m/(pi*d). E da qui non si scappa.
<BR>
<BR>Mentre il problema con le piastrelle, sempre con la notazione di MaMo, si fa calcolando l\'integrale da 0 a pi/2 di (a*m*sin(alfa)+(b-m*sin(alfa))*m*cos(alfa)), diviso per pi/2, che viene m(2(a+b)-m)/(pi*ab).

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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

Mi pare che la formula di Mamo coincida con la mia, se a=b! Evvai!! E\' la prima volta che applico gli integrali ad un problema di probabilità!
<BR>
<BR>Cmq io mi sono spinto oltre, ed ho trovato anche la formula per un ago tale che a<=m<=a*rad(2) [+ grande nn può essere]. In questo caso mi viene:
<BR>
<BR>1 - P(m) = 2/(pi*a<sup>2</sup>) * [ [a<sup>2</sup>*[arcsen(a/m)-arccos(a/m)]-2a*[a-rad(m<sup>2</sup>-a<sup>2</sup>)]+[2a<sup>2</sup>-m<sup>2</sup>]/2] ]
<BR>
<BR>sconvolgente, vero? (spero anche corretto)
<BR>
<BR>
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<BR>
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<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 16-01-2005 17:42 ]

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