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sprmnt21
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Messaggio da sprmnt21 » 01 gen 1970, 01:33

Mi serviva una macro per costruire un cerchio tangente a due date rette ed ad un\'altro dato cerchio.
<BR>
<BR>Credo che il problema sia un classico, ma non mi e\' mai capitato di vederlo discusso e risolto. Ho trovato una soluzione sintetica classica, sono curioso di conoscerne altre.
<BR>
<BR>Problema
<BR>Date due rette ed un cerchio nel piano costruire, con riga e compasso, i cerchi tangenti ai tre elementi dati.
<BR>

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Marco
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

Ciao.
<BR>
<BR>Dopo tutta quell\'indigestione di Algebra e Combinatoria da febbraio o poco in là, mi serviva proprio un po\' di geometria per purificarmi... e allora cerchiamo \'sti cerchi.
<BR>
<BR>Beh, non c\'è che dire, è un bel quesito: in alcune configurazioni, il problema ha addirittura otto suluzioni...
<BR>
<BR>La mia strada è contorta e non dubito che l\'ottimo S21 caverà dal cilindro qualcosa di nettamente superiore, anyway, here it goes...
<BR>
<BR>-----------------------------------
<BR>
<BR>Chiamo <!-- BBCode Start --><I>Problema Zero</I><!-- BBCode End --> il quesito originario.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo 1</B><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>Chiamo <!-- BBCode Start --><I>Problema Uno</I><!-- BBCode End --> il seguente:
<BR>
<BR>Dati un p.to P e due rette s<sub>1</sub> e s<sub>2</sub>, costruire le crf passanti per P e tg a s<sub>1</sub> e s<sub>2</sub>.
<BR>
<BR>Se so risolvere il Problema Uno, allora so risolvere il Problema Zero.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Dim.:</B><!-- BBCode End --> Siano P e a il centro e il raggio della crf assegnata dal Problema Zero. Siano r<sub>1</sub> e r<sub>2</sub> le rette assegnate. Siano s<sub>1</sub> e s<sub>2</sub> le rette parallele a r<sub>1</sub> e r<sub>2</sub>, che distano da esse a (ci sono quattro modi per farlo). Risolvo il Problema Uno con dati P, s<sub>1</sub> e s<sub>2</sub>. (Dato che, come si vedrà, il Problema Uno ha al max 2 soluzioni, questo porta a otto candidate soluzioni). Sono interessato ai centri delle soluzioni, che chiamo C<sub>i</sub>.
<BR>
<BR>Dico che il centro C di una crf che risove il pb. 1 è uno dei C<sub>i</sub>. Infatti, sia d il suo raggio. Allora C è caratterizzato dal distare d da r<sub>1</sub> e r<sub>2</sub> e a +/- d da P, il segno dipendendo dalla tg.za interna o esterna. La crf di centro C e raggio a +/- d è soluzione del Problema Uno per un\'opportuna scelta di s<sub>1</sub> e s<sub>2</sub>, e quindi è uno dei C<sub>i</sub>. []
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo 2</B><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>Chiamo <!-- BBCode Start --><I>Problema Due</I><!-- BBCode End --> il seguente:
<BR>
<BR>Date due crf c<sub>1</sub> e c<sub>2</sub> secanti, costruire le rette tangenti comuni.
<BR>
<BR>Se so risolvere il Problema Due, allora so risolvere il Problema Uno.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Dim.:</B><!-- BBCode End --> L\'apoteosi dell\'arte di arrangiarsi: siano P, r<sub>1</sub> e r<sub>2</sub> i dati del Problema Uno. Applico un\'inversione circolare centrata in P. Ricordo che, data un\'inversione circolare e un p.to/r.ta/crf, è possibile costruire con R&C gli inversi.
<BR>
<BR>r<sub>1</sub> e r<sub>2</sub> si trasformano in crf che si intersecano nel centro di inversione; chiamo tali crf c<sub>1</sub> e c<sub>2</sub>. Una soluzione del Problema Uno è tg. a r<sub>1</sub>, r<sub>2</sub> e passa per P, il che è sse la sua trasformata è una retta tg. a c<sub>1</sub> e c<sub>2</sub>. Quindi, invertendo le rette date, risolvendo il Problema Due per le crf ottenute, riinvertendo le soluzioni, posso costruire le soluzioni per il Problema Uno.[]
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo 3</B><!-- BBCode End -->
<BR>Risolvo il Problema Due.
<BR>
<BR>Siano a<sub>1</sub> e a<sub>2</sub> i raggi delle due crf. assegnate, con a<sub>1</sub> =< a<sub>2</sub>. Sia Q<sub>i</sub> il centro di c<sub>i</sub>. Costruisco la crf di centro Q<sub>2</sub> e raggio a<sub>2</sub>-a<sub>1</sub>; costruisco le tg. a questa uscendo da Q<sub>1</sub>. Le due soluzioni sono parallele a queste due rette date e distano da esse a<sub>1</sub>, quindi sono in grado di costruirle.
<BR>
<BR>Lascio al lettore il compito di vedere che cosa succede nei casi \"cattivi\" di rette parallele, tangenti coincidenti, ecc...
<BR>
<BR>Le due soluzioni del Problema Due corrispondono a due soluzioni del problema Uno e quindi a otto potenziali soluzioni del problema Zero. A questo punto basta verificare se queste sono effettivamente delle soluzioni accettabili. []
<BR>
<BR>-----------
<BR>
<BR>Mi rendo conto che non è un granché, ma accontentatevi, ieri sera di meglio non mi è venuto, e questo passa il convento...
<BR>
<BR>Ciao. M.[addsig]
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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Messaggio da sprmnt21 » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-09 08:55, marco wrote:
<BR>
<BR>
<BR>Dico che il centro C di una crf che risove il pb. 1 è uno dei C<sub>i</sub>. Infatti, sia d il suo raggio. Allora C è caratterizzato dal distare d da r<sub>1</sub> e r<sub>2</sub> e a +/- d da P, il segno dipendendo dalla tg.za interna o esterna. La crf di centro C e raggio a +/- d è soluzione del Problema Uno per un\'opportuna scelta di s<sub>1</sub> e s<sub>2</sub>, e quindi è uno dei C<sub>i</sub>.
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Marco non mi e\' chiaro perche\' il C del problema 1 e\' anche centro di una soluzione del problema 0.
<BR>
<BR>PS
<BR>Il problema 1 si puo anche risolvere con le similitudini (omotetie).
<BR>
<BR>

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Marco
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

Sì, beh, nel passo citato c\'è una svista ovvia (pb.1 al posto di pb.0).
<BR>
<BR>No, io dico una cosa leggermente diversa: che una soluzione del P.0 è anche soluzione del P.1 con le rette spostate. Non tutte le soluzioni del P.1, però sono anche soluzioni del P.0, ma ho ristretto la cerca a solo 8 punti.
<BR>
<BR>Non ho fatto il conto per bene, ma mi pare che risulti una soluzione accettabile sse il punto P cade dalla parte giusta rispetto alle rette traslate (il che corrisponderebbe all\'intuzione ovvia: circonferenza che taglia 0 o 1 retta: 4 soluzioni, che taglia entrambe le rette: 8 soluzioni).
<BR>
<BR>Oh, capiamoci, potrebbe anche esserci una stupidaggine nella mia soluzione...[addsig]
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-09 13:41, sprmnt21 wrote:
<BR>Il problema 1 si puo anche risolvere con le similitudini (omotetie).
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Già! Zuccone! Era anche facile; come diavolo ho fatto a non vederlo? Mah...
<BR>
<BR>Traccio la bisettrice dell\'angolo; traccio un cerchio a piacere con centro O sulla bisettrice (sse tange entrambe le rette); traccio la retta PV, trovando P1 e P2 come intersezioni. Si ha che OV / PiV = CiV / PV, per Ci centro desiderato. []
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Messaggio da sprmnt21 » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-09 14:28, marco wrote:
<BR>Sì, beh, nel passo citato c\'è una svista ovvia (pb.1 al posto di pb.0).
<BR>
<BR>No, io dico una cosa leggermente diversa: che una soluzione del P.0 è anche soluzione del P.1 con le rette spostate. Non tutte le soluzioni del P.1, però sono anche soluzioni del P.0, ma ho ristretto la cerca a solo 8 punti.
<BR>
<BR>Non ho fatto il conto per bene, ma mi pare che risulti una soluzione accettabile sse il punto P cade dalla parte giusta rispetto alle rette traslate (il che corrisponderebbe all\'intuzione ovvia: circonferenza che taglia 0 o 1 retta: 4 soluzioni, che taglia entrambe le rette: 8 soluzioni).
<BR>
<BR>Oh, capiamoci, potrebbe anche esserci una stupidaggine nella mia soluzione...[addsig]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>
<BR>ok! ho capito. Va benissimo. La mia soluzione e\' un po\' diversa e usa pure questa delle opportune similitudini (omotetie).
<BR>
<BR>

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