[G] Retta equalizzante

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Marco
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Messaggioda Marco » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE> <BR>On 2005-01-14 15:29, info wrote: <BR>si considera la retta y=ax+b in un piano cartesiano. [...] Scegliamo a come parametro [...] Chiamiamo questo valore [che equalizza i rossi] b1. Si fa lo stesso per i blu e si trova la b2. La tesi equivale a dire che esiste una a tale che b2 = b1 <BR>[...] <BR>la tesi è dimostrata per la continuità delle funzioni b1=f(a) e b2=g(a) <BR>[...] <BR>Questa idea mi è venuta mezz’ora fa dopo essermi addormentato in metrò, abbiate pietà... (wow: sono entrato nel deposito di Molino Dorino a Milano..ma stavo dormendo! Merda! Nn ho visto nulla!) <BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End --> <BR>Per prima cosa spiegami se il finire nel deposito della metro sia un fatto positivo o negativo <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <BR> <BR>Dunque, provo a sintetizzare con parole mie: <BR> <BR>Per ogni a, trovo un valore f(a) tale per cui la retta di eqz. y = a x + f(a) sia rossa-equalizzante e un g(a) t.c. y = a x + g(a) sia blu-equalizzante. <BR> <BR>In questo modo posso definire due funzioni R -- > R. <BR> <BR>Primo problema: f(a) e g(a) non sono univocamente determinati (tranne in un caso particolare. Quale?) <BR> <BR>Se troviamo un particolare a t.c. f(a) = g(a), siamo a cavallo. L\'idea è di tentare con la continuità: f(-) e g(-) sono continue. <BR> <BR>Secondo problema: questo è in generale falso. Però è quasi vero. [Hint: qui il Primo Problema torna utile...] <BR> <BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE> <BR>Questo però pare un po’ assurdo perché si può variare facilmente l’inclinazione della retta equalizzatrice per i rossi e nn pare difficile trovare due estremi. <BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End --> <BR>Orrore: questo si chiama \"saltare un passaggio facendo finta di niente\". Bravo furbacchio: mi salti il passaggio cardine della dimostrazione!! <!-- BBCode Start --><B>Non</B><!-- BBCode End --> fatelo in gara: anche se scrivete dieci pagine di dimostrazione, la commissione cerca esattamente <!-- BBCode Start --><I>quel</I><!-- BBCode End --> passaggio, per darvi per buona la soluzione. Se glissate quel passaggio, niente sette punti. <BR> <BR>Terzo problema: ci manca l\'assurdo. Boh, mi viene in mente qualcosa del tipo: un gruppuscolo di punti rossi qui e un gruppuscolo di punti blu a dieci anni-luce in direzione delle y positive. Non è una sorpresa che f(-) è sistematicamente sotto g(-)... <BR> <BR>Ci manca ancora un piccolo ingrediente... <BR> <BR>Ciao. M.[addsig]
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Messaggioda info » 01 gen 1970, 01:33

Beh...è un luogo in cui poche persone sono entrate. Lo si vede sempre da lontano, ma nessuna anima ci entra mai...una maledizione? <BR> <BR>Cmq avevo scritto solo una traccia veloce, per capire se l\'idea ci poteva stare...Il primo problema me l\'ero posto e per determinare univocamente quella funzione pensavo di scegliere proprio il secondo numero della \'classifica\'. Poi si continuava in modo analogo, di modo che alla fine, identificato il b, bastava prendere una retta molto vicina a quella con la b trovata (e la relativa a). <BR>Anche il secondo dubbio mi era venuto (cosa credi?)...e l\'ho rimandato... <BR> <BR>Per il terzo passaggio nn dimostrato, hai pienamente ragione... L\'assurdo che mi pareva ovvio era che, se prendiamo una retta equalizzatrice rossa, e quella blu parallela stà sempre sopra, vuol dire che ci sono sopra la retta equalizzatrice rossa più della metà dei blu, sempre. L\'assurdo stà nel trovare una retta equalizzatrice rossa con tutti i blu sopra ed un\'altra con tutti i blu sotto (quest\'ultimo caso và contro l\'assurda ipotesi). Si..lo sò che nn ho dimostrato nulla... <BR> <BR>Il tutto però nn mi sembra recuperabile. Ci sono troppe falle...la nave affonda.. ed il capitano con lui... Ora nn sò cosa fare. Continuo a nuotare o guardo il link di lordgauss...Mah? <BR> <BR> <BR> <BR>ps: cmq nn è che salto la roba...semplicemente ho scritto un\'idea che al momento nn mi sembrava impossibile da portare a compimento... Di solito lo specifico: questa volta mi sono dimenticato!<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 14-01-2005 21:06 ]

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Messaggioda info » 01 gen 1970, 01:33

Sto ragionando: se trovassi la medesima sol di lord, sarebbe assurdo scriverla...ergo...mah..cosa fare? <BR>Mi distraggo aggiungendo una osservazione. se consideriamo l\'inversione, penso che il problema si possa così modificare, esiste una circonferenza di raggio r che contenga N punti blu ed N rossi.

MindFlyer

Messaggioda MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE> <BR>On 2005-01-14 16:28, lordgauss wrote: <BR>Da \"vecchio\" del forum ricordo di aver già affrontato il problema... e di averne dato una soluzione. Per chi fosse interessato ecco il link: <BR>http://olimpiadi.ing.unipi.it/modules.php?op=modload&name=Forums&file=viewtopic&topic=873&forum=5&start=0 <BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End --> <BR>Ciau, ma allora ci segui ancora con passione e dedizione! Bene. <BR>Da un po\' meno \"vecchio\" del forum, ma non così tanto, mi ricordo anch\'io che l\'avevi già risolto. Però mi pare di ricordare anche che il tuo argomento soffrisse di qualche lieve imperfezione dovuta all\'aver supposto la continuità di un po\' troppe cose... Meglio rivederlo. <BR> <BR>EDIT: <BR>Ho riletto, ed in effetti non è dimostrato che variando l\'angolo delle \"rette dimezzatrici\", entra ed esce al più un punto dell\'altro colore alla volta. Una volta avuta l\'idea giusta, questa è la parte fastidiosa e formale della dimostrazione.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: MindFlyer il 16-01-2005 10:33 ]

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Messaggioda Marco » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE> <BR>On 2005-01-14 19:05, info wrote: <BR>Il tutto però nn mi sembra recuperabile. Ci sono troppe falle...la nave affonda.. ed il capitano con lui... Ora nn sò cosa fare. Continuo a nuotare o guardo il link di lordgauss...Mah? <BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End --> <BR>No, no, Info, non c\'è nulla di irrecuperabile, anzi la tua idea mi piace più di quella di Lord (che era anche la mia btw <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">). Solo che devi.... <!-- BBCode Start --><B>chiudere il cerchio</B><!-- BBCode End -->. <BR> <BR>E per essere ancora un po\' più esplicito, studiati che cosa succede quando a va all\'infinito... <BR> <BR>Se lasci le cose così come capitano, forse niente di interessante, ma se sistemi l\'asse y in modo che sia, ad es., rosso-equalizzante? Meditate gente, meditate..... <BR> <BR>Ciao. M.[addsig]
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Messaggioda Marco » 01 gen 1970, 01:33

[messaggio lungo, volutamente chiacchierato] <BR> <BR>Beh, speravo che Info correggesse la sua dimostrazione, ma non si è fatto più vivo... peccato, perché mancava veramente poco per risolvere. Ho questi appunti da parte da un po’ di tempo e mi dispiace farli morire lì, senza un vero perché, e allora ve li posto. <BR> <BR>Un commento alla sua tentata dimostrazione. Va bene, ma è un po\' complicata dal fatto che la scelta delle coordinate cartesiane non è tra le più felici. Infatti costringe ad un po\' di salti mortali, vedere il comportamento all\'infinito, solo perché la direzione verticale è trattata in modo speciale, senza un vero motivo sottostante. <BR> <BR>A volte una notazione azzeccata può fare i miracoli. Una notazione decisamente migliore sarebbe stata questa che descrivo: <BR> <BR>Una retta nel piano ha un\'equazione del tipo A x + B y = C; A e B non entrambi nulli. Ora, posso sempre scrivere questa faccenda come v.x = C, dove v è il vettore di cp.ti A e B e x è il vettore delle incognite (il \".\" rappresenta il prodotto scalare tra vettori). Inoltre, moltiplicando per una opportuna costante scalare, possiamo supporre che v sia un versore (divido per la sua lunghezza...). <BR> <BR>Questo è un modo di esprimere le eqz delle r.te in modo molto più intrinseco che non le eqz cartesiane consuete. <BR> <BR>Allora, traduciamo in questo linguaggio l\'idea di Info di stilare la classifica dei punti. Fissiamo allora v un versore. v sarà la direzione ortogonale alla retta che stiamo considerando [nel linguaggio di Info, v dipende dal valore di a]. La classifica delle differenze dei punti rossi come può essere fatta? Beh, qui ci viene buona l\'idea del prodotto scalare: per ogni punto rosso (il cui vettore posizione è r), la sua <!-- BBCode Start --><B>quota</B><!-- BBCode End --> rispetto a v è semplicemente v.r . Ordino i p.ti rossi per quote crescenti. Un qualunque valore tra l\'N-esimo e l\'(N+1)-esimo va bene, nel senso che rappresenta una r.ta equalizzante di direzione v (nel senso di <!-- BBCode Start --><I>ortogonale</I><!-- BBCode End --> a v; nel seguito non preciserò più questo fatto). <BR> <BR>Siccome poi vorrò avere una funzione continua, scelgo una volta per tutte un valore particolare, così mi sbarazzo del problema di quale valore scegliere. Perciò definisco R(v) come la media tra le due quote centrali (vale a dire l\'N-esima e la (N+1)-esima quota). Questa è la funzione rossa. <BR> <BR>Oh, bene. Perché questa funzione rossa ci piace? Perché: è continua, dispari e equalizzante, nel senso che, fissato v, ci dice che la r.ta v.x = R(v) è rossa-equalizzante. <BR> <BR>Vedremo tra un attimo il perché, ma prima diciamo una volta per tutte chi sono dominio e condominio. R va dall\'insieme dei versori, a R (i numeri reali). L\'insieme dei versori altro non è che la circonferenza unitaria, che chiamerò \"Esseuno\". Quindi R: Esseuno -- > Reali <BR> <BR>Ecco aggirata la forzatura che dava grattacapi al buon Info: non fatevi spaventare da una funzione che parte dal cerchio e ha valori reali: in fin dei conti, le funzioni trigonometriche sono proprio fatte così... quindi non è poi tutta questa stranezza. <BR> <BR><!-- BBCode Start --><I>Continuità:</I><!-- BBCode End --> <BR> <BR>La funzione R è la composizione di fz continue: il prodotto scalare è continuo, estrarre il k-esimo rango in un insieme di numeri reali è una fz continua, la media aritmetica è una fz continua e composizione di fz continue è ancora una fz continua. <BR> <BR><!-- BBCode Start --><I>Disparità:</I><!-- BBCode End --> <BR> <BR>Se invece di v, piglio -v, le quote dei p.ti rossi cambiano tutte di segno. I due p.ti centrali restano gli stessi, e la media, che viene fatta tra cose cambiate di segno, risulta anch\'essa cambiata di segno. [la disparità è cardine della dimostrazione, come vedremo] <BR> <BR><!-- BBCode Start --><I>Equalizzanza:</I><!-- BBCode End --> <BR> <BR>Una r.ta di equazione v.x = q divide il p.no in due regioni: quelle con quota < q e quelle con quota > q. E quindi, dato che ho scelto la quota R(v) in modo tale che ci siano N p.ti rossi con quota inferiore e N superiore, la retta è rossa-equalizzante per costruzione. <BR> <BR>C\'è solo una piccola sottigliezza, a cui dobbiamo prestare attenzione. La retta così trovata è r-equalizzante, tranne in un caso, che è quello che essa contenga dei punti rossi. Se ne contiene, non ne può contenere più di due (ipotesi di non collinearità). Se ne contiene uno, esso dev\'essere l\'N-esimo o l\'(N+1)-esimo. Allora tali p.ti devono avere la medesima quota e sono entrambi sulla r.ta. [in altri termini, se la media tra i due valori centrali di un insieme ordinato appartiene all\'insieme, allora la media coincide con i due valori centrali]. <BR> <BR>Tratteremo questo caso particolare in fondo, per ora teniamo la fz rossa che ci siamo costruiti. <BR> <BR>Analogamente possiamo fare con la funzione blu. <BR> <BR>Proseguiamo lungo il filone di idee del buon Info. Se troviamo v t.c. B(v) = R(v), siamo a cavallo, perché la r.ta di eqz v.x = R(v) [=B(v)] è equalizzante per entrambi i colori. [se fossimo nel caso cattivo che contiene p.ti colorati, ne contiene esattamente due, ed entrambi dello stesso colore. Ma allora basta ruotare un po\' la retta attorno al loro p.to medio e torna] <BR> <BR>Ecco come sfruttiamo la disparità e la continuità: <BR>Sia v un qualunque versore. Se R(v) = B(v) siamo a posto. Se invece fosse R(v) > B(v), allora faccio fare mezzo giro alla retta e trovo R(-v) < B(-v). Ma allora, percorrendo l\'arco di Esseuno che va da v a -v, per il Teorema di Esistenza degli Zeri, troverò un valore intermedio w t.c. R(w) = B(w). [] <BR> <BR>Questa soluzione à-la Info mi piace molto, perché funziona, con le dovute modifiche, anche nello spazio. L\'unico problema è che richiede un po\' di nozioni di topologia per studiare il luogo dove le funzioni si azzerano e poter applicare T.E.Z. <BR> <BR>[+][Topologia] <BR> <BR>Infatti: se v è un versore in 3D, l\'eqz di un piano è v.x = C. Quindi posso ripetere la costruzione fatta sopra. Solo che stavolta le funzioni continue sono tre (una rossa, una blu e una verde) e il loro dominio è l\'insieme di tutti i versori, che chiamerò \"Essedue\". Essedue altro non è che la sfera unitaria (la buccia della sfera, intendo). <BR> <BR>Le tre funzioni sono dispari, continue e equalizzanti. Devo solo preoccuparmi di trovare un v per cui R(v) = B(v) = V(v). L\'idea è ancora quella di ricondursi al T.E.Z, ma bisogna arrivarci in modo un po\' più sottile. <BR> <BR>Considero inizialmente solo la funzione rossa e quella blu. Cerco il luogo dove coincidono. Se coincidono dappertutto, è grasso che cola. Se invece non coincidono su tutta la sfera, scelgo a caso un punto dove, ad esempio, R > B. Questa direzione la chiamo N (il polo Nord). Per disparità, al polo Sud succede che R(S) < B(S). <BR> <BR>L\'idea è che ci sarà una specie di \"equatore\" che gira attorno a Essedue (questo equatore non è necessariamente un cerchio massimo, potrebbe essere qualcosa simile al disegno su una palla da tennis, con deviazioni verso N e S, potrebbe addirittura essere una \"fascia equatoriale\" e non una linea), con la proprietà che su di lui R(-) = B(-) e, percorrendolo, si possa arrivare agli antipodi di dove si era partiti. <BR> <BR>Supponiamo che la Fatina Topologica ci elargisca il seguente: <BR> <BR><!-- BBCode Start --><B>Lemma Equatoriale</B><!-- BBCode End --> Ho una funzione dispari e continua da Essedue a R. Allora il suo insieme degli zeri contiene una componente connessa che contiene una coppia di punti antipodali. Una siffatta componente la chiamiamo <!-- BBCode Start --><I>equatore</I><!-- BBCode End -->. <BR> <BR>--- <BR> <BR>Una volta che ho questo equatore, faccio entrare in ballo la funzione verde. Parto da un p.to v dell\'equatore il cui antipodo sia ancora sull\'equatore. Se lì R(v) = V(v), ho già finito e stappo lo spumante. Se invece R(v) > V(v), agli antipodi, che stanno ancora sull\'equatore per costruzione, R(-v) < V(-v). Percorro un cammino lungo l\'equatore, che congiunge v con -v. Uso T.E.Z. e trovo w t.c. R(w) = V(w). Dato però che sono sull\'equatore, R(w) = B(w). Spumante. [] <BR> <BR>Qualcuno ha qualche altra idea più semplice, magari senza topologia? <BR> <BR>Alla prox. <BR> <BR>M. <BR> <BR> <BR>\"It\'s up to you how far you go / <BR>If you don\'t try you\'ll never know / <BR>And so my lad as I\'ve explained / <BR>Nothing ventured, nothing gained.\"<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: marco il 03-02-2005 10:42 ]
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Messaggioda info » 01 gen 1970, 01:33

Ti devo delle scuse marco. Ti ho chiesto di sbatterti, lo hai fatto, ed io... Beh: nn ho avuto assolutamente tempo e mi sono imposto di pensare ad altre faccende più urgenti (ho vari esami urgenti in arrivo a cui tengo parecchio). Leggerò sicuramente il tuo msg, anche se solo leggere la parola topologia mi mette un pò di paura... Mi consola il fatto che sia presentato come \"chiaccherato\", sarà un piacere leggerlo tranquillamente alla fine ( o perlomeno per sancire una tregua temporanea) delle mie battaglie... <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 04-02-2005 17:13 ]


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