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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<font color=green><!-- BBCode Start --><B>Problema 1:</B><!-- BBCode End --></font> determinare tutti gli n ∈ N tali che l\'equazione: x<sup>2</sup> + 7 = 2<sup>n</sup> sia risolubile in interi.
<BR>
<BR><font color=green><!-- BBCode Start --><B>Problema 2:</B><!-- BBCode End --></font> calcolare le ultime 3 cifre decimali del numero 2003<sup>2002<sup>2001</sup></sup>.
<BR>
<BR><font color=blue><!-- BBCode Start --><B>Problema 3:</B><!-- BBCode End --></font> mostrare che 7117<sup>7118<sup>7119</sup></sup> + 7119<sup>7118<sup>7117</sup></sup> - 2 è divisibile per 7118<sup>7118</sup>.
<BR>
<BR>EDIT: i problemi marcati in verde sarebbero riservati ai <!-- BBCode Start --><I>problem solver</I><!-- BBCode End --> meno \"esperti\", per cui... non vi ci lanciate sopra come sciacalli! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"><font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 05-01-2005 20:31 ]

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dimpim
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Messaggio da dimpim » 01 gen 1970, 01:33

Riguardo al problema numero 2... lo so che è una domanda stupida... ma per cifre decimali si intende quelle dopo la virgola? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> Perché, in tal caso, avrei qualche problemino...<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: dimpim il 05-01-2005 21:14 ]

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

No, dimpim, intendo qui le 3 cifre meno significative (i.e., le 3 cifre più a destra) della rappresentazione posizionale in base 10 del numero indicato nella traccia del problema. Trattandosi di interi, trascuriamo di considerare le cifre (zeri) poste a sinistra della virgola. Così, per esempio, le 3 cifre decimali meno significative del numero 19891837654321 sono 3-2-1, secondo questo stesso ordine.<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 05-01-2005 21:25 ]

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dimpim
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Messaggio da dimpim » 01 gen 1970, 01:33

Ah, perfetto, come pensavo... altrimenti era la prima volta che mi trovavo di fronte ad un intero che, elevato ad una potenza, dava un razionale <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> ! Grazie per la risposta!

gian
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Messaggio da gian » 01 gen 1970, 01:33

Problema 3
<BR>7117 <sup> 7118 <sup>7119</sup></sup> + 7119 <sup> 7118 <sup>7117</sup></sup> - 2
<BR>risolviamolo con le congruenze
<BR>(7118-1) <sup> 7118 <sup>7119</sup></sup> + (7118+1) <sup> 7118 <sup>7117</sup></sup> - 2
<BR>per il teorema di Fermat è congruente a
<BR>7118 <sup> 7118 <sup>7119</sup></sup> + (-1) <sup> 7118 <sup>7119</sup></sup> + 7118 <sup> 7118 <sup>7117</sup></sup> + 1 <sup> 7118 <sup>7117</sup></sup> - 2
<BR>perciò le due potenze con base 7118<sup>7118</sup> sono divisibili per 7118<sup>7118</sup>, mentre resta
<BR>1 + 1 - 2 = 0
<BR>che è altrettanto divisibile per 7118<sup>7118</sup>
<BR>
<BR>Ciao a tutti e buona Epifania
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: gian il 05-01-2005 22:27 ]
ciao by gian

gian
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Messaggio da gian » 01 gen 1970, 01:33

ciao HiTLeuLeR,
<BR>mi potresti spiegare come fai a scrivere le potenze in quel modo?
<BR>
<BR>ciao e grazie
<BR> gian
ciao by gian

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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR><font color=green><!-- BBCode Start --><B>Problema 2:</B><!-- BBCode End --></font> calcolare le ultime 3 cifre decimali del numero 2003<sup>2002<sup>2001</sup></sup>.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Per il teorema di Euler Fermat (forse scomodo cose inutili, boh...) abbiamo che
<BR>a<sup>phi(n)</sup>==1 (mod n) se (a,n)=1
<BR>allora
<BR>2003<sup>phi(1000)</sup>==1 (mod 1000)
<BR>poichè phi(1000)=400
<BR>2003<sup>400</sup>==1 (mod 1000)
<BR>e anche
<BR>2003<sup>2000</sup>==1 (mod 1000)
<BR>ma 2003==3 (mod 1000)
<BR>quindi
<BR>2003<sup>2001</sup>==3 (mod 1000)
<BR>e anche (2003<sup>2001</sup>)<sup>2</sup>==9 (mod 1000)
<BR>ma, sempre per Euler-Fermat
<BR>(2003<sup>2001</sup>)<sup>2000</sup>==1 (mod 1000)
<BR>quindi, cocludendo
<BR>2003<sup>2002<sup>2001</sup></sup>==9 (mod 1000)<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 05-01-2005 21:53 ]
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

@gian: per gli apici, usa il <!-- BBCode Start --><I>tag</I><!-- BBCode End --> \"<.sup> testo <./sup>\"; per i pedici \"<.sub> testo <./sub>\", eliminando i punti dall\'interno delle parentesi angolari.
<BR>
<BR>Mo\' dò un\'occhiata alla tua soluzione al problema n° 3.<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 05-01-2005 22:13 ]

metafisic
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Messaggio da metafisic » 01 gen 1970, 01:33

Mi ci metto pure io <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>
<BR>
<BR>x^2+7=2^n, implica x dispari.
<BR>
<BR>Sia x=2k+1, otteniamo:
<BR>
<BR>4(k^2+k+2)=2^n
<BR>
<BR>Assumiamo n>3 e ottaniamo:
<BR>
<BR>k(k+1)=2(2^(n-3)-1)
<BR>
<BR>k e k+1 sono coprimi tra loro per k>=2, quindi dovrà aversi o
<BR>
<BR>k=1 che porta a n=4 o k=2 che porta a n=5
<BR>
<BR>Per n= 2 si trova direttamente x=3.
<BR>
<BR>In conclusione i valori ammissibili per n sono 3, 4 e 5.
<BR>
<BR>[addsig]
La compactesse est metaphisique.

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-05 21:42, gian wrote:
<BR>(7118-1) <sup> 7118 <sup>7119</sup></sup> + (7118+1) <sup> 7118 <sup>7117</sup></sup> - 2
<BR>per il teorema di Fermat è congruente a
<BR>7118 <sup> 7118 <sup>7119</sup></sup> + (-1) <sup> 7118 <sup>7119</sup></sup> + 7118 <sup> 7118 <sup>7117</sup></sup> + 1 <sup> 7118 <sup>7117</sup></sup> - 2
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Non capisco... Il (piccolo) teorema di Fermat stabilisce che, se p è primo in N ed n è un intero positivo, allora: a<sup>p<sup>n</sup></sup> = a<sup>p<sup>n-1</sup></sup> mod p<sup>n</sup>, per ogni a ∈ Z.
<BR>
<BR>Mi spiegheresti più diffusamente in che modo hai pensato di applicare il risultato precedente al nostro problema, onde dedurre (giusto per fare un esempio) che: (7118-1)<sup>7118<sup>7119</sup></sup> = 7118<sup>7118<sup>7119</sup></sup> + (-1)<sup>7118<sup>7119</sup></sup> mod 7118<sup>7118</sup> ?!?<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 05-01-2005 22:48 ]

gian
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Messaggio da gian » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-05 22:16, metafisic wrote:
<BR>Mi ci metto pure io :-p
<BR>
<BR>
<BR>x^2+7=2^n, implica x dispari.
<BR>
<BR>Sia x=2k+1, otteniamo:
<BR>
<BR>4(k^2+k+2)=2^n
<BR>
<BR>Assumiamo n>3 e ottaniamo:
<BR>
<BR>k(k+1)=2(2^(n-3)-1)
<BR>
<BR>k e k+1 sono coprimi tra loro per k>=2, quindi dovrà aversi o
<BR>
<BR>k=1 che porta a n=4 o k=2 che porta a n=5
<BR>
<BR>Per n= 2 si trova direttamente x=3.
<BR>
<BR>In conclusione i valori ammissibili per n sono 3, 4 e 5.
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>scusa non vale anche la coppia x=11 e n=7
<BR>121+7=128
<BR>
<BR>ciao by gian
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: gian il 05-01-2005 22:31 ]
ciao by gian

gian
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Messaggio da gian » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-05 22:16, metafisic wrote:
<BR>k(k+1)=2(2^(n-3)-1)
<BR>
<BR>k e k+1 sono coprimi tra loro per k>=2, quindi dovrà aversi o
<BR>
<BR>k=1 che porta a n=4 o k=2 che porta a n=5
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>è quì l\'errore, anche se sono primi tra loro, 2(2<sup>n-3</sup> - 1) non è una potenza di 2<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: gian il 05-01-2005 22:36 ]
ciao by gian

metafisic
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Messaggio da metafisic » 01 gen 1970, 01:33

Me ne sono accorto dopo essere uscito...proprio col tuo stesso esempio...attimo
La compactesse est metaphisique.

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-05 21:51, Boll wrote:
<BR>(2003<sup>2001</sup>)<sup>2000</sup>==1 (mod 1000)
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Ehm... Passi che oggi è stata una giornata un po\' così, ma o davvero mi sto rinco*****endo alla grande oppure qui siamo di fronte ad uno dei delitti più gravi che un uomo abbia mai potuto perpetrare...
<BR>
<BR>Boll, siamo d\'accordo sul fatto che scrivere (2003<sup>2001</sup>)<sup>2000</sup> è <!-- BBCode Start --><B>ben</B><!-- BBCode End --> diverso che scrivere2003<sup>2001<sup>2000</sup></sup>, vero?!? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">

metafisic
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Messaggio da metafisic » 01 gen 1970, 01:33

...fiuuu...l\'ho scampata, mi hai risparmiato <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
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