Oggi, risvegliatomi triste per averLa sognata, ho pensato a questo fatto e mi chiedevo se qualcuno ha voglia di dimostrarlo(sempre che sia vero <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">)
<BR>
<BR>Se P(x) e Q(x) sono due polinomi di grado n e valgono le seguenti condizioni:
<BR>
<BR>
<BR>P(k)(Q(n-k)(x)=Q(k)(P(n-k))(x) per k=0...n
<BR>
<BR>allora P(x)=Q(x) identicamente.
<BR>
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> [addsig]
Cattivo risveglio e polinomi
Moderatore: tutor
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-05 12:31, metafisic wrote:
<BR>Se P(x) e Q(x) sono due polinomi di grado n e valgono le seguenti condizioni:
<BR>
<BR>P(k)(Q(n-k)(x)=Q(k)(P(n-k))(x) per k=0...n
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Cioè...?!? Uff, stamattina sto proprio rinco, eh!?! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
<BR>On 2005-01-05 12:31, metafisic wrote:
<BR>Se P(x) e Q(x) sono due polinomi di grado n e valgono le seguenti condizioni:
<BR>
<BR>P(k)(Q(n-k)(x)=Q(k)(P(n-k))(x) per k=0...n
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Cioè...?!? Uff, stamattina sto proprio rinco, eh!?! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-05 13:00, metafisic wrote:
<BR>Ehm...scusate, si può eliminare un topic? Mi sono reso conto che chiedo di dimostrare una ca**atona [...]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Aaaaaaaaaaaaaaaaaah... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">
<BR>On 2005-01-05 13:00, metafisic wrote:
<BR>Ehm...scusate, si può eliminare un topic? Mi sono reso conto che chiedo di dimostrare una ca**atona [...]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Aaaaaaaaaaaaaaaaaah... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">
No, per quel che ne so, non è possibile cancellare un intero <!-- BBCode Start --><I>topic</I><!-- BBCode End -->, a meno che tu non sia un amministratore... In ogni caso, dacché ci siamo, ne approfitto per postare qui stesso un problema di cui mi sono occupato di recente. Mi pare perfettamente adeguato al titolo della pagina, tanto più che oggi anche per il sottoscritto il risveglio non è che sia stato dei migliori... <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">
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<BR><center>~ · ~·~ · ~·~ · ~·~ · ~·~ · ~·~ · ~·~ · ~·~ · ~</center>
<BR><!-- BBCode Start --><B><font color=blue>Problema:</font></B><!-- BBCode End --> siano p un primo intero > 1 e P(·) un polinomio in una variabile a coefficienti in {0, 1, ..., p-1}, di grado n < p. Determinare il massimo valore possibile di n tale che: P(a) ≡ P(b) mod p ⇒ a ≡ b mod p, ∀ a, b ∈ Z.
<BR>
<BR>EDIT: forse è meglio che mi rimetta a letto e mi <!-- BBCode Start --><I>rilevi</I><!-- BBCode End --> fra un paio d\'ore... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 05-01-2005 13:28 ]
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<BR><!-- BBCode Start --><B><font color=blue>Problema:</font></B><!-- BBCode End --> siano p un primo intero > 1 e P(·) un polinomio in una variabile a coefficienti in {0, 1, ..., p-1}, di grado n < p. Determinare il massimo valore possibile di n tale che: P(a) ≡ P(b) mod p ⇒ a ≡ b mod p, ∀ a, b ∈ Z.
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<BR>EDIT: forse è meglio che mi rimetta a letto e mi <!-- BBCode Start --><I>rilevi</I><!-- BBCode End --> fra un paio d\'ore... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 05-01-2005 13:28 ]
Ormai che ci siamo...
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<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-05 12:31, metafisic wrote:
<BR>Se P(x) e Q(x) sono due polinomi di grado n e valgono le seguenti condizioni:
<BR>
<BR>P<sup>(k)</sup>(x) · Q<sup>(n-k)</sup>(x) = Q<sup>(k)</sup>(x) · P<sup>(n-k)</sup>(x), per k = 0...n
<BR>
<BR>allora P(x)=Q(x) identicamente.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>La tesi è generalmente falsa! Per ogni n ∈ N, siano infatti P(x) := Σ<sub>h=0...n</sub> a<sub>n-h</sub>x<sup>h</sup> e Q(x) := Σ<sub>h=0...n</sub> b<sub>n-h</sub>x<sup>h</sup> due arbitrari polinomi a coefficienti complessi di grado n nella singola variabile x. Se P(·) e Q(·) soddisfano la condizione imposta dal problema, allora (in particolare): P(x) · Q<sup>(n)</sup>(x) = Q(x) · P<sup>(n)</sup>(x), per ogni x ∈ C. E tuttavia: P<sup>(n)</sup>(x) = n! · a<sub>0</sub> e Q<sup>(n)</sup>(x) = n! · b<sub>0</sub>. <!-- BBCode Start --><I>Ergo</I><!-- BBCode End -->, se n > 0 (i.e. a<sub>0</sub>b<sub>0</sub>≠0):
<BR>
<BR>P(x) · Q<sup>(n)</sup>(x) = Q(x) · P<sup>(n)</sup>(x), ∀ x ∈ C ⇒ Q(x) = (b<sub>0</sub>/a<sub>0</sub>) · P(x), ∀ x ∈ C.
<BR>
<BR>Ebbene, assunto n > 0 e posto Q(x) := P(x)/a, ove a è il coefficiente (non nullo) del termine di massimo grado di P(·), si trova che P(·) e Q(·) verificano effettivamente le specifiche imposte dal quesito, pur non essendo identicamente uguali là dove sia detto a ≠ 1.
<BR>
<BR>EDIT: se n = 0, si ponga P(x) := c e Q(x) := 0, supponendo c ∈ C\\{0}.<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 05-01-2005 20:16 ]
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<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-05 12:31, metafisic wrote:
<BR>Se P(x) e Q(x) sono due polinomi di grado n e valgono le seguenti condizioni:
<BR>
<BR>P<sup>(k)</sup>(x) · Q<sup>(n-k)</sup>(x) = Q<sup>(k)</sup>(x) · P<sup>(n-k)</sup>(x), per k = 0...n
<BR>
<BR>allora P(x)=Q(x) identicamente.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>La tesi è generalmente falsa! Per ogni n ∈ N, siano infatti P(x) := Σ<sub>h=0...n</sub> a<sub>n-h</sub>x<sup>h</sup> e Q(x) := Σ<sub>h=0...n</sub> b<sub>n-h</sub>x<sup>h</sup> due arbitrari polinomi a coefficienti complessi di grado n nella singola variabile x. Se P(·) e Q(·) soddisfano la condizione imposta dal problema, allora (in particolare): P(x) · Q<sup>(n)</sup>(x) = Q(x) · P<sup>(n)</sup>(x), per ogni x ∈ C. E tuttavia: P<sup>(n)</sup>(x) = n! · a<sub>0</sub> e Q<sup>(n)</sup>(x) = n! · b<sub>0</sub>. <!-- BBCode Start --><I>Ergo</I><!-- BBCode End -->, se n > 0 (i.e. a<sub>0</sub>b<sub>0</sub>≠0):
<BR>
<BR>P(x) · Q<sup>(n)</sup>(x) = Q(x) · P<sup>(n)</sup>(x), ∀ x ∈ C ⇒ Q(x) = (b<sub>0</sub>/a<sub>0</sub>) · P(x), ∀ x ∈ C.
<BR>
<BR>Ebbene, assunto n > 0 e posto Q(x) := P(x)/a, ove a è il coefficiente (non nullo) del termine di massimo grado di P(·), si trova che P(·) e Q(·) verificano effettivamente le specifiche imposte dal quesito, pur non essendo identicamente uguali là dove sia detto a ≠ 1.
<BR>
<BR>EDIT: se n = 0, si ponga P(x) := c e Q(x) := 0, supponendo c ∈ C\\{0}.<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 05-01-2005 20:16 ]
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MindFlyer
Forse metafisic intendeva cancellare questo thread, e non tutto il topic \"Proponi gli esercizi\". In questo caso si può fare, e basta cancellare tutti i messaggi del thread.
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<BR>EDIT: ora, questo thread non può essere cancellato se <!-- BBCode Start --><I>io</I><!-- BBCode End --> non lo voglio (oppure un amministratore...). Muahahaha!!<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: MindFlyer il 05-01-2005 19:22 ]
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<BR>EDIT: ora, questo thread non può essere cancellato se <!-- BBCode Start --><I>io</I><!-- BBCode End --> non lo voglio (oppure un amministratore...). Muahahaha!!<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: MindFlyer il 05-01-2005 19:22 ]
Ehm...pensavo che la discussione fosse morta stamattina...
<BR>
<BR>io intendevo la composizione di polinomi e non il prodotto e il problema è una ca**atona, non perché sbagliato ma perché, peggio ancora, banale ed inuitile...come me <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> [addsig]
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<BR>io intendevo la composizione di polinomi e non il prodotto e il problema è una ca**atona, non perché sbagliato ma perché, peggio ancora, banale ed inuitile...come me <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> [addsig]
La compactesse est metaphisique.
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-06 00:29, metafisic wrote:
<BR>io intendevo la composizione di polinomi e non il prodotto e il problema è una ca**atona, non perché sbagliato ma perché, peggio ancora, banale ed inuitile...come me
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Eh, se magari imparassi a scrivere! Comunque mi trovi pienamente d\'accordo sulle conclusioni, sì... Sei inutile, è persino inutile ricordarlo! <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">
<BR>On 2005-01-06 00:29, metafisic wrote:
<BR>io intendevo la composizione di polinomi e non il prodotto e il problema è una ca**atona, non perché sbagliato ma perché, peggio ancora, banale ed inuitile...come me
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Eh, se magari imparassi a scrivere! Comunque mi trovi pienamente d\'accordo sulle conclusioni, sì... Sei inutile, è persino inutile ricordarlo! <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">
Ti giuro...quella faccetta con gli occhiali di sole affianco a quello che hai scritto è, supeba, divina, fantastica...non la finisco più dal ridere ed ho tanta nostalgia di Avellino...w il lettone a tre piazze <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> [addsig]
La compactesse est metaphisique.
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-06 00:42, metafisic wrote:
<BR>Ti giuro...quella faccetta con gli occhiali <!-- BBCode Start --><B>di</B><!-- BBCode End --> sole <!-- BBCode Start --><B>affianco</B><!-- BBCode End --> a quello che hai scritto è<!-- BBCode Start --><B>, supeba</B><!-- BBCode End -->, divina, fantastica...
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Me divino, la tua s-grammatica... Quella sì ch\'è esilarante!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
<BR>
<BR>P.S.: anch\'io ci ho un po\' di nostalgia, ma poi ripenso alle tue fragorose flatulente esternazioni di gaudio e subito passa... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>On 2005-01-06 00:42, metafisic wrote:
<BR>Ti giuro...quella faccetta con gli occhiali <!-- BBCode Start --><B>di</B><!-- BBCode End --> sole <!-- BBCode Start --><B>affianco</B><!-- BBCode End --> a quello che hai scritto è<!-- BBCode Start --><B>, supeba</B><!-- BBCode End -->, divina, fantastica...
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Me divino, la tua s-grammatica... Quella sì ch\'è esilarante!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
<BR>
<BR>P.S.: anch\'io ci ho un po\' di nostalgia, ma poi ripenso alle tue fragorose flatulente esternazioni di gaudio e subito passa... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">