[N] Ordini moltiplicativi ed upper bound.

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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR »

Vi rigiro un problema che mi hanno proposto esattamente 3 giorni fa, e che di fatto mi ha \"portato via\" 3 giorni prima che riuscissi a risolverlo... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">
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<BR>PREMESSE: siano a, n ∈ Z tali che: n > 1 e gcd(a, n) = 1. E allora, per il th. di Euler-Fermat: a<sup>φ(n)</sup> = 1 mod n, ove φ(·) denota, al solito, la totiente di Eulero. <!-- BBCode Start --><I>Ergo</I><!-- BBCode End -->, l\'insieme X := {x ∈ N<sub>0</sub>: a<sup>x</sup> = 1 mod n} è non vuoto. Del resto, per costruzione, X è un sottoinsieme di N, sicché, per il teorema del buon ordine, X ammette di certo un elemento minimo assoluto (peraltro, unico).
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<BR>Posto x<sub>0</sub> := min(X), si dice che x<sub>0</sub> rappresenta l\'ordine moltiplicativo di n alla base a, e si scrive ord<sub>a</sub>(n), o equivalentemente il gaussiano di n alla base a, e si indica con gss(n,a).
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<BR><!-- BBCode Start --><B><font color=red>Problema:</font></B><!-- BBCode End --> sia b ∈ Z tale che |b| > 1. Per ogni primo intero p > 0, sia quindi g(p) := ord<sub>b</sub>(p), se gcd(b, p) = 1; g(p) := +inf, se p | b. Detto P l\'insieme di tutti e soli i primi di N, si mostri che la funzione t(·): P --> R: p --> p/g(p) è superiormente illimitata, assunto formalmente p/g(p) := 0, se g(p) = +inf.
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<BR>EDIT: figata!!! Grazie a pazqo per le dritte sull\'uso dei simboli Matematici in html.
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<BR>RI-EDIT: l\'html, uff... Ci stanno altri simboli che non si leggono, per caso?!?<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 05-01-2005 21:34 ]
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Messaggio da HiTLeuLeR »

Oh, forse è il caso di precisarlo! Il problema è totalmente risolvibile nei termini della Matematica olimpica, per cui <!-- BBCode Start --><I>verba vana nolite loqui</I><!-- BBCode End -->.<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 02-01-2005 18:39 ]
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Messaggio da HiTLeuLeR »

Ehm... <!-- BBCode Start --><I>Qualcuno</I><!-- BBCode End --> mi fa notare che la nozione di \"funzione limitata\" non rientra propriamente nel bagaglio delle conoscenze di un olimpionico medio!!! E allora mi permetto di ricordare che, se X è un sottoinsieme non vuoto di R ed f(·) una funzione di X in R, si dice che f(·) è limitata sse esiste una costante L > 0 tale che, per ogni x ∈ X: |f(x)| < L. Adesso non ci sono più scusanti... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
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<BR>EDIT: oh, un congiuntivo...<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 04-01-2005 12:40 ]
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