[+] La serie di Mengoli e le sue parenti strette.

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Siccome marco e mind, se non sbaglio, hanno parlato della serie di Mengoli in un altro filo del forum, mi sono detto che avrei potuto postare una questione \"elementare\" che, in qualche modo, la riguarda da vicino... Per quanto mi è dato sapere, il problema è del tutto originale!
 
 ------------
 
 Problema: mostrare che, per ogni k intero > 0, la somma della serie sumn=1...+inf 1/[n(n+1)...(n+k)] è un numero razionale.
 
 Buon lavoro,
 - salvatore tringali

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Ho trovato una risposta parziale al quesito per K=3.
 Sviluppando il termine generale della serie in fratti semplici
 si ha:
 1/[(n)(n+1)(n+2)(n+3)]=
 1/6*1/n-1/2*1/(n+1)+1/2*1/(n+2)-1/6*1/(n+3)
 Sommando su n da 1 ad n medesimo ,con qualche
 calcolo,risulta:
 Sn=1/6[1+1/2+1/3+1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)]+1/2[1/(n+2)-1/2]
 Per n-->inf risulta S=1/18 che e\' razionale.

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Per un k generico la risposta e\':
 S=1/(k*k!)
 A questo risultato sono arrivato con i metodi dell\'analisi
 discreta e dunque O.T.

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Che tu sia pervenuto a quel risultato valendoti dei \"potenti\" mezzi dell\'Analisi Discreta, beh... mi fa piacere! Tuttavia, il proof cui, personalmente, avrei pensato non ne fa menzione alcuna, anzi... Il problema resta comunque o.t., e del resto così di fatto l\'ho riconosciuto io per primo, contrassegnandolo come un [+].
 
 Pur tuttavia, mi si lasci dire che qualsiasi studente in età liceale, a parte che ogni più mediocre universitario, con una minima conoscenza riguardo alle serie (la loro definizione e la nozione di convergenza) dovrebbe essere in grado, almeno in linea di principio, di risolverlo! Quest\'è quanto...
 
 Boh, si può aspettare, ché forse qualcuno proporrà una soluzione che non coinvolga aspetti troppo avanzati della teoria, anche se personalmente continuo a sostenere che avvicinarsi a una certa Matematica potrebbe giovare anche agli olimpionici, soprattutto ai più grandicelli... Ma vabbe\', quest\'è soltanto una mia inutile opinione, fingete pure di non averla letta!!!
 
 In alternativa, per ammazzare il tempo, potresti pur sempre proporre la TUA soluzione, karl. Ti scongiuro, però... Cerca di non essere parsimonioso di dettagli, vorrei capirci anch\'io qualcosa, sai?! Grazie... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Sto scrivendo quanto richiesto con un editor matematico.
 Non potendo certo approfondire la cosa con troppi
 dettagli (di cui io stesso non ho che qualche rudimento)
 cerco di semplificare la risposta riducendo al minimo
 la \"ferraglia matematica \" che essa si trascina.
 Tuttavia penso che alla fine possa risultare utile
 (almeno come stimolo) a me innanzitutto e poi a qualche
 altro amico che volesse guardare questo altro aspetto
 della matematica.
 Naturalmente resta escluso HEuler la cui visione
 globale dell\'analisi non ha certo bisogno di ulteriori
 spinte!
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 26-12-2004 22:52 ]

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-12-26 22:48, karl wrote:
 Naturalmente resta escluso HEuler la cui visione
 globale dell\'analisi non ha certo bisogno di ulteriori
 spinte!
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Allora lasciami aggiungere che, là dove ironia non abbia corso, quest\'ultima tua affermazione si deve classificare, né più né meno, come una benemerita castroneria!!! Si chiama consapevolezza di sé e dei propri limiti... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

<IMG SRC="http://xoomer.virgilio.it/carlolorito/eullo.bmp"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 27-12-2004 01:22 ]

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Interessante, molto interessante!!! Non ti nascondo che ignoravo completamente persino l\'esistenza della regola di sommazione che tu hai utilizzato. Davvero notevole! Beh, tenterò di approfondire la questione...
 
 Adesso sarebbe cosa buona e giusta che qualcuno ritrovasse pure una soluzione elementare allo stesso problema. Confrontare varie tecniche (btw, quella suggerita da karl ha chiaramente il pregio di essere piuttosto generale) è sempre un fatto positivo, no? Allora su, cari, su...

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Per una volta devo dire che hai proposto veramente un bel problema Euler...
 
 Inoltre hai dato il fondamentale indizio della serie di Mengoli...bella generalizzazione; infine, ora che karl ha dato il risultato generale, spero proprio che qualcuno rispolveri le prime armi del problem solving e dimostri con l\'eleganza dovuta la tesi.
 
 Risultato veramente carino...
 
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Maaaaaamma, so\' diventato tutto roooooosso! Sam, tu mi fai strani effetti, sai? Ti prego, basta con questa corte serrata, o alla lunga finirò per cederti...

DB85 · Messaggio da **DB85** » 01 gen 1970, 01:33

<IMG SRC="http://www.thelearningtree.it/eserc6.gif">

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Essì, è proprio così! E visto che l\'appetito vien mangiando, eccovene un altro, sullo stesso genere. Una volta ancora, il problema è rivolto, in particolare, a chi già possieda una minima dimestichezza con la teoria di base delle serie.
 
 -------------
 
 Problema: per ogni m, n € N0, sia S(m,n) := sumk=1...+inf 1/[(mk+n)k]. Si mostri allora che S(m,n) è razionale sse m | n.
 
 EDIT: avevo omesso di scrivere metà della traccia, asdf... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 27-12-2004 13:11 ]

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Avrei dimostrato la prima parte del quesito e cioe\':
 m|n-->S(m,n) razionale
 Poniamo:
 n=m*r (con r intero positivo)
 St=sum[k=1...t] (per comodita\' di scrittura).
 Abbiamo
 1/(mk^2+nk)=1/n*[1/k-1/(k+r)] e sommando su k da 1 a t:
 St[1/(mk^2+nk)]=1/n*St(1/k)-1/n*St[1/(k+r)]
 Ora, essendo t generico,si puo\' supporre t>r e quindi:
 St[1/(mk^2+nk)]=1/n*[1+1/2+..+1/r+1/(r+1)+1/(r+2)+..+1/t]-
 -1/n*[1/(r+1)+1/(r+2)+..+1/t+1/(1+t)+1/(2+t)..+1/(r+t)]=
 =1/n*[1+1/2+..+1/r]-1/n*[1/(1+t)+1/(2+t)..+1/(r+t)]
 E dunque:
 S(m,n) =lim[t-->inf]St[1/(mk^2+nk)]=1/n*[1+1/2+..+1/r]=num.razionale

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Per la seconda parte si deve dimostrare che:
 S(m,n) razionale -->m|n
 Con le stesse notazioni della precedente mia risposta
 osservo che si ha:
 St[1/(mk^2+nk)]=1/n*[St(1/k)-St(1/(k+n/m))] 
 Poiche\' per ipotesi il limite di 1/n*[St(1/k)-St(1/(k+n/m))]
 e\' un numero razionale l allora tale differenza deve essere
 del tipo l+St[A/(t+q)] (con q intero) e cio\' e\' possibile
 se n/m e\' intero.

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Ok in quanto alla prima metà della soluzione! Per il resto, boh... Non riesco a capire!!!
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-12-28 20:24, karl wrote:
 [...] Poiche\' per ipotesi il limite di 1/n*[St(1/k)-St(1/(k+n/m))] e\' un numero razionale l allora tale differenza deve essere del tipo l+St[A/(t+q)] (con q intero) e cio\' e\' possibile se n/m e\' intero.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Non ti seguo... Potresti essere più esplicito?!? Anzi, meglio... Potresti far finta ch\'io non ne capisca una mazza di ste robe?!? Bene, grazie... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">