Non so stimare la difficoltà di questo problema, che - a posteriori - si direbbe elementare. Il punto è che, a priori, non mi pare affatto ammissibile giudicarlo tale! Sia come sia, lo segno in rosso, perché ritengo sia la scelta più sensata.
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<BR>Ah, per inciso... Il problema mi è stato proposto da ^Spider^, nella versione n = 2. Giusto per gradire, mi sono permesso di generalizzarlo un po\'...
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<BR><!-- BBCode Start --><B><font color=red>Problema:</font></B><!-- BBCode End --> siano n un intero > 1 e p<sub>n</sub>(x) := x<sup>n</sup>, per ogni x € R. Provare che non esistono allora due funzioni f(·), g(·): R --> R, l\'una periodica di periodo T<sub>1</sub>, l\'altra periodica di periodo T<sub>2</sub>, tali che, identicamente sui reali: p<sub>n</sub>(x) = f(x) + g(x).
<BR>
<BR>Ciao, e buon divertimento!
<BR>- salvatore tringali
[+] Polinomi e funzioni periodiche.
Moderatore: tutor
Una funzione f(·): R --> R si dice T-periodica sse T := inf{t € ]0, +inf[: f(x + t) = f(x), p.o. x € R}, là dove l\'insieme indicato sia non vuoto. In caso contrario, si dice che f(·) è aperiodica. Questo dovrebbe rispondere alla tua domanda...
<BR>
<BR>Tuttavia, qualora non fosse sufficientemente chiaro il senso, sappi che, nella traccia del problema che ho proposto, T può essere, in linea di principio, un qualunque numero reale non negativo. A te...
<BR>
<BR>EDIT: ritocchini...<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 26-12-2004 19:16 ]
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<BR>Tuttavia, qualora non fosse sufficientemente chiaro il senso, sappi che, nella traccia del problema che ho proposto, T può essere, in linea di principio, un qualunque numero reale non negativo. A te...
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<BR>EDIT: ritocchini...<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 26-12-2004 19:16 ]
Dunque; ipotizziamo per prima cosa che T1 e T2 non siano l\'uno multiplo dell\'altro giacche se lo fossero g(x)+f(x) sarebbe una funzione periodica;
<BR>f(x)=pn(x)-g(x)
<BR>se |g(x)| < k p.o. x per qualche k allora da un certo x,f(x) crescerà indefinitamente e perciò almeno uno tra f(x) e g(x) sarà illimitato;
<BR>sia g(x) illimitato avremo che f(x)=pn(x)-g(x) e perciò anche f(x) è illimitato
<BR>ciò significa che entrambe le funzioni presenteranno punti di discontinuità (essendo periodiche prima o poi smetteranno di crescere); questi punti dovranno essere \"accoppiati\" per far si che la somma delle due funzioni sia continua; ma se i punti di discontinuità fossero finiti allora per far si che si \"accoppino\" per sempre T1 e T2 dovrebbero essere l\'uno multiplo dell\'altro, cosa già esclusa. Ma se entrambe possiedono infiniti punti di discontinuità (in un intervallo finito sempre perchè sono periodiche) allora non esistono.
<BR>Spero di non aver usato strumenti di analisi, ma credo che siano tutti concetti piuttosto intuitivi e più che altro spero sia giusta <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: MASSO il 27-12-2004 11:20 ]
<BR>f(x)=pn(x)-g(x)
<BR>se |g(x)| < k p.o. x per qualche k allora da un certo x,f(x) crescerà indefinitamente e perciò almeno uno tra f(x) e g(x) sarà illimitato;
<BR>sia g(x) illimitato avremo che f(x)=pn(x)-g(x) e perciò anche f(x) è illimitato
<BR>ciò significa che entrambe le funzioni presenteranno punti di discontinuità (essendo periodiche prima o poi smetteranno di crescere); questi punti dovranno essere \"accoppiati\" per far si che la somma delle due funzioni sia continua; ma se i punti di discontinuità fossero finiti allora per far si che si \"accoppino\" per sempre T1 e T2 dovrebbero essere l\'uno multiplo dell\'altro, cosa già esclusa. Ma se entrambe possiedono infiniti punti di discontinuità (in un intervallo finito sempre perchè sono periodiche) allora non esistono.
<BR>Spero di non aver usato strumenti di analisi, ma credo che siano tutti concetti piuttosto intuitivi e più che altro spero sia giusta <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: MASSO il 27-12-2004 11:20 ]
Caro masso, i tuoi argomenti potranno pur essere intuitivi, sì come tu dici, e potranno pur averti convinto della bontà della tua soluzione, ma di fatto non mostrano nulla di sostanziale, né tanto meno alcunché di definitivo. Di tutto il tuo fabulistico discorso, l\'unico estratto degno di menzione è il passaggio in cui riesci a stabilire che, qualora fosse falsa la tesi espressa dalla traccia del problema, le funzioni f(·) e g(·) dovrebbero essere ambedue illimitate sull\'intervallo [0, T<sub>1</sub>), avendo supposto - come ovviamente è lecito: 0 <= T<sub>1</sub> <= T<sub>2</sub>.
<BR>
<BR>Il resto è un tentativo, peraltro (a mio avviso) piuttosto maldestro, di informare al rigore tutta una serie di mere considerazioni che ricordano piuttosto i perversi vaneggiamenti di un sofista ubriaco in preda alla febbre gialla che non invece l\'illuminato verbo di un devoto alla dea Matematica...
<BR>
<BR>Magari, quando ti sentirai sufficientemente ispirato dalla Musa, ne potremo riparlare, ok?!? Ciao, masso, a presto risentirci!
<BR>
<BR>EDIT: l\'errore di visualizzazione di cui ti lagni è dovuto al fatto che, a te come ad altri, pare essere completamente sconosciuto il giusto impiego della barra spaziatrice... Oooh, finalmente ho chiaro a cosa mi sia servito l\'ECDL!!!<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 26-12-2004 22:50 ]
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<BR>Il resto è un tentativo, peraltro (a mio avviso) piuttosto maldestro, di informare al rigore tutta una serie di mere considerazioni che ricordano piuttosto i perversi vaneggiamenti di un sofista ubriaco in preda alla febbre gialla che non invece l\'illuminato verbo di un devoto alla dea Matematica...
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<BR>Magari, quando ti sentirai sufficientemente ispirato dalla Musa, ne potremo riparlare, ok?!? Ciao, masso, a presto risentirci!
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<BR>EDIT: l\'errore di visualizzazione di cui ti lagni è dovuto al fatto che, a te come ad altri, pare essere completamente sconosciuto il giusto impiego della barra spaziatrice... Oooh, finalmente ho chiaro a cosa mi sia servito l\'ECDL!!!<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 26-12-2004 22:50 ]
Un caloroso saluto alle buone maniere di Hitleuler, in vacanza pure loro (ma da una vita, a quanto pare).
<BR>E meno male che è Natale...
<BR>
<BR>Allora, prima i tecnicismi : Masso, prova a mettere uno spazio prima e dopo ogni segno di disuguaglianza (vengono interpretati come TAG html).
<BR>
<BR>Detto questo... Masso, quando arrivi ad affermare che entrambe le funzioni sono illimitate c\'è un piccolo problema : è intuitivo che così debba essere, ma questo non segue da quello che dici prima.
<BR>Nonostante l\'intuito sia una bella cosa, prova a imboccare una strada più rigorosa : anche senza metterti a scrivere paginate di formule, prova a seguire la via della dimostrazione per assurdo (che cmq hai già imboccato) più strettamente; supponi che g(x) sia limitata e traine un assurdo (e visto che i dati sono pochi, ci sono pochi assurdi da poter trovare...essenzialmente rimane solo la periodicità delle due funzioni).
<BR>Inoltre, quando dici che la funzione deve essere discontinua in una infinità di punti e quindi non esiste, beh...ti invito a pensarci attentamente ...
<BR>prova a considerare la funzione
<BR>f(x)=[1/x]
<BR>sull\'intervallo (0,1) ([k] è la parte intera di k).
<BR>Questa funzione ha infiniti punti di discontinuità ed è illimitata, ma esiste...inoltre puoi scrivere una funzione simile definita su tutto R+ e periodica.
<BR>
<BR>Queste due macchie rovinano tutto il resto della soluzione che, per quanto impreciso, avrebbe magari potuto stare in piedi.
<BR>
<BR>Non è sempre necessario scrivere in simboli e mettere in mezzo frecce di implicazione, ma il ragionamento logico e rigoroso non può mai essere abbandonato; quando fai appello ad un concetto intuitivo, pensa sempre se, oltre che intuitivo, è anche vero...l\'analisi è piena di funzioni orrende costruite apposta per fare da controesempio a concetti intuitivi ma sbagliati.
<BR>Come diceva Poincarè, \"la logica genera mostri\".
<BR>E meno male che è Natale...
<BR>
<BR>Allora, prima i tecnicismi : Masso, prova a mettere uno spazio prima e dopo ogni segno di disuguaglianza (vengono interpretati come TAG html).
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<BR>Detto questo... Masso, quando arrivi ad affermare che entrambe le funzioni sono illimitate c\'è un piccolo problema : è intuitivo che così debba essere, ma questo non segue da quello che dici prima.
<BR>Nonostante l\'intuito sia una bella cosa, prova a imboccare una strada più rigorosa : anche senza metterti a scrivere paginate di formule, prova a seguire la via della dimostrazione per assurdo (che cmq hai già imboccato) più strettamente; supponi che g(x) sia limitata e traine un assurdo (e visto che i dati sono pochi, ci sono pochi assurdi da poter trovare...essenzialmente rimane solo la periodicità delle due funzioni).
<BR>Inoltre, quando dici che la funzione deve essere discontinua in una infinità di punti e quindi non esiste, beh...ti invito a pensarci attentamente ...
<BR>prova a considerare la funzione
<BR>f(x)=[1/x]
<BR>sull\'intervallo (0,1) ([k] è la parte intera di k).
<BR>Questa funzione ha infiniti punti di discontinuità ed è illimitata, ma esiste...inoltre puoi scrivere una funzione simile definita su tutto R+ e periodica.
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<BR>Queste due macchie rovinano tutto il resto della soluzione che, per quanto impreciso, avrebbe magari potuto stare in piedi.
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<BR>Non è sempre necessario scrivere in simboli e mettere in mezzo frecce di implicazione, ma il ragionamento logico e rigoroso non può mai essere abbandonato; quando fai appello ad un concetto intuitivo, pensa sempre se, oltre che intuitivo, è anche vero...l\'analisi è piena di funzioni orrende costruite apposta per fare da controesempio a concetti intuitivi ma sbagliati.
<BR>Come diceva Poincarè, \"la logica genera mostri\".
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-12-27 00:19, EvaristeG wrote:
<BR>Un caloroso saluto alle buone maniere di Hitleuler, in vacanza pure loro (ma da una vita, a quanto pare).
<BR>E meno male che è Natale...
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Beh, innanzitutto auguri, evaristo caro! Indi, lasciami aggiungere che ti sono infinitamente grato del fatto di aver voluto sottolineato, qui e una volta in più, la mia affabilità. E\' bello, di tanto in tanto, sentirsi apprezzati per i lati teneri del proprio carattere, piuttosto che (quand\'anche fosse) per il \"peso\" degli argomenti proposti. Penso proprio di doverti ringraziare, tesoro... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 27-12-2004 00:45 ]
<BR>On 2004-12-27 00:19, EvaristeG wrote:
<BR>Un caloroso saluto alle buone maniere di Hitleuler, in vacanza pure loro (ma da una vita, a quanto pare).
<BR>E meno male che è Natale...
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Beh, innanzitutto auguri, evaristo caro! Indi, lasciami aggiungere che ti sono infinitamente grato del fatto di aver voluto sottolineato, qui e una volta in più, la mia affabilità. E\' bello, di tanto in tanto, sentirsi apprezzati per i lati teneri del proprio carattere, piuttosto che (quand\'anche fosse) per il \"peso\" degli argomenti proposti. Penso proprio di doverti ringraziare, tesoro... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 27-12-2004 00:45 ]
Supponiamo esistere due funzioni f e g:
<BR>x^n=f(x)+g(x), la prima di periodo T1 e la seconda di periodo T2, entrambi non nulli.
<BR>Si ha:
<BR>(x+T1+T2)^n=f(x+T1+T2)+g(x+T1+T2)=f(x+T2)+g(x+T1)
<BR>
<BR>(x+T1)^n=f(x)+g(x+T1)
<BR>
<BR>(x+T2)^n=g(x)+f(x+T2)
<BR>
<BR>e sommando:
<BR>
<BR>(x+T1+T2)^n+x^n=(x+T1)^n+(x+T2)^n.
<BR>
<BR>Essendo questo vero per ogni x reale, abbiamo in particolare per x=0:
<BR>
<BR>(T1+T2)^n=T1^n+T2^n.
<BR>
<BR>Sviluppando con Newton, raccogliendo e usando la legge dell’annullamento del prodotto si ricava l’assurdo.
<BR>Salvo, sai che non mi piacciono i dettagli e che sono assai pigro!
<BR>
<BR>
<BR>Il mulino degli Dei macina lento, ma macina molto fine,(Sesto Empirico.Adversos Mathematicos)
<BR>
<BR>Poropoppopoh.(Metafisic)
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>x^n=f(x)+g(x), la prima di periodo T1 e la seconda di periodo T2, entrambi non nulli.
<BR>Si ha:
<BR>(x+T1+T2)^n=f(x+T1+T2)+g(x+T1+T2)=f(x+T2)+g(x+T1)
<BR>
<BR>(x+T1)^n=f(x)+g(x+T1)
<BR>
<BR>(x+T2)^n=g(x)+f(x+T2)
<BR>
<BR>e sommando:
<BR>
<BR>(x+T1+T2)^n+x^n=(x+T1)^n+(x+T2)^n.
<BR>
<BR>Essendo questo vero per ogni x reale, abbiamo in particolare per x=0:
<BR>
<BR>(T1+T2)^n=T1^n+T2^n.
<BR>
<BR>Sviluppando con Newton, raccogliendo e usando la legge dell’annullamento del prodotto si ricava l’assurdo.
<BR>Salvo, sai che non mi piacciono i dettagli e che sono assai pigro!
<BR>
<BR>
<BR>Il mulino degli Dei macina lento, ma macina molto fine,(Sesto Empirico.Adversos Mathematicos)
<BR>
<BR>Poropoppopoh.(Metafisic)
<BR>
<BR>
<BR>
La compactesse est metaphisique.
Tesoro, ciaaaaaao, sei tornato?!? Beh, beh... Innanzitutto auguri, caro! In seconda istanza, la soluzione... Cosa debbo dire? E\' perfetta, impeccabile, elegante... La faccio breve? Ok, in tre parole, è la mia!!! Ghgh... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>
<BR>Ottimo lavoro, giu\'! E\' bello rivederti sul forum, davvero. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>- salvo
<BR>
<BR>Ottimo lavoro, giu\'! E\' bello rivederti sul forum, davvero. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>- salvo