[A/N] Viète e Pitagora.

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Poliwhirl
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Messaggio da Poliwhirl » 01 gen 1970, 01:33

Grazie per la spiegazione sull\'identità di Legendre, HiTLeuLeR. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> Chiaro e conciso. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>Qualcuno può proporre altri problemi alla portata di problem solver non esperti?
<BR>
<BR>Bye,
<BR>#Poliwhirl#
POLIWHIRL

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what
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Messaggio da what » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>@what: ecco due esempi di quella ch\'io personalmente definirei una \"soluzione da prima pagina\". Chiara, rigorosa, puntuale. Non una virgola fuori posto. Molto bravo, what, davvero molto bravo. Oh, quest\'è solo un mio giudizio, non provare a montarti...
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Ohhhhh..... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-02 18:32, Poliwhirl wrote:
<BR>Qualcuno può proporre altri problemi alla portata di problem solver non esperti?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Per quanto io non sia in nessun modo un problem solver esperto,
<BR>sono particolarmente affezionato al quesito che sto per proporre, dacché le congruenze e il loro utilizzo mi risultarono chiari solo dopo aver risolto tale equazioncina.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B><font color=blue>Problema 5:</font></B><!-- BBCode End --> trovare tutte le terne ordinate che soddisfano la seguente:
<BR>x<sup>2</sup> + 2y<sup>2</sup> = 7z<sup>2</sup>
<BR>con x, y, z € Z
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: what il 02-01-2005 19:22 ]

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what
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Messaggio da what » 01 gen 1970, 01:33

Posto un altro problema-base per coloro che si avvicinano solo ora alle congruenze.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B><font color=blue>Problema 6:</font></B><!-- BBCode End --> dimostrare che l\'equazione
<BR>x<sup>n</sup> + 2px + 2q = 0 non ammette soluzioni intere, dove n,p,q sono naturali con n>=2 e p,q dispari (==1 mod 2 <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">)
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: what il 02-01-2005 19:57 ]

Hammond
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Messaggio da Hammond » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-02 19:57, what wrote:
<BR><!-- BBCode Start --><B><font color=blue>Problema 6:</font></B><!-- BBCode End --> dimostrare che l\'equazione
<BR>x<sup>n</sup> + 2px + 2q = 0 non ammette soluzioni intere, dove n,p,q sono naturali con n>=2 e p,q dispari (==1 mod 2 <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">)
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Sia s una soluzione intera dell\'equazione:
<BR>Se s è pari:
<BR>s<sup>n</sup> == 0 mod 4 (contiene almeno due volte il fattore 2)
<BR>2ps == 0 mod 4
<BR>2q == 2 mod 4 (perché q è dispari)
<BR>sostituendo i valori di queste congruenze nell\'equazione si vede che non è verificata.
<BR>Se s è dispari:
<BR>s<sup>n</sup> è dispari
<BR>2ps e 2q sono pari
<BR>ed è quindi impossibile che la somma dei tre termini sia pari.
<BR>Quindi non può esistere alcuna soluzione intera.
<BR>
<BR>

ReKaio
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Messaggio da ReKaio » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-02 19:57, what wrote:
<BR>Posto un altro problema-base per coloro che si avvicinano solo ora alle congruenze.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B><font color=blue>Problema 6:</font></B><!-- BBCode End --> dimostrare che l\'equazione
<BR>x<sup>n</sup> + 2px + 2q = 0 non ammette soluzioni intere, dove n,p,q sono naturali con n>=2 e p,q dispari (==1 mod 2 <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">)
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>ooh, se cito eisenstein faccio bella figura? (studio per strutture algebriche, non posso rinunciare a fare sfoggio di semicultura)
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Marco
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

Ok. Altro problema \"classico\" sulle congruenze, pescato dal Larson.
<BR>
<BR>Sia A = 4444<sup>4444</sup>; sia B la somma delle cifre di A; sia C la somma delle cifre di B; sia D la somma delle cifre di C. Quanto vale D?
<BR>
<BR>Ciao.
<BR>
<BR>M.
<BR>
<BR>\"We shall see. So many strange things have chanced that to learn the prais of a fair lady under the loving strokes of a Dwarf\'s axe will seem no great wonder.\"<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: marco il 03-01-2005 11:58 ]
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MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-03 09:43, marco wrote:Sia A = 4444<sup>4444</sup>; sia B la somma delle cifre di A; sia C la somma delle cifre di B; sia D la somma delle cifre di C; sia E la somma delle cifre di D. Quanto vale E?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>IMO 1975. In realtà l\'originale chiede di trovare D, e non E, che è più sensato.

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Marco
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

Ups, pardon. Come mio solito, cito a memoria.
<BR>
<BR>Caspita: addirittura un IMO? Non lo sapevo. In verità il Larson lo mette abbastanza presto. Ho rifatto i conti, e ha ragione Mind. Ok correggo il testo.
<BR>
<BR>Vabbè, per non spaventare i novizi, riparo con un bell\'
<BR>
<BR>HINT: <font color=white> Fate una stima dall\'alto e poi usate la congruenza con il modulo giusto</font>.
<BR>
<BR>M.
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Messaggio da what » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Sia A = 4444<sup>4444</sup>; sia B la somma delle cifre di A; sia C la somma delle cifre di B; sia D la somma delle cifre di C. Quanto vale D?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Nonostante la mia dimostrazione sia un po\' brusca e forse non la più elegante, penso di averlo risolto.
<BR>A proposito: è una mia impressione o le IMO erano nettamente più semplici una trentina di anni fa? Dando un\'occhiata alle ultime edizioni non mi sembra di trovare problemi \"abbordabili\" come questo...
<BR>Comunque sia:
<BR>
<BR>1<sup>a</sup> parte:
<BR>Trattandosi di somme di cifre, la congruenza più ovvia da utilizzare è mod 9.
<BR>4444 == 7 (9). Studiamo quindi le potenze di 7 mod 9. Troviamo che:
<BR>7<sup>3k</sup> == 1 (9)
<BR>7<sup>3k+1</sup> == 7 (9)
<BR>7<sup>3k+2</sup> == 4 (9)
<BR>con k intero non negativo.
<BR>Poichè 4444 = 3k+1, abbiamo che A == 7 (9). Per il celeberrimo criterio di congruenza modulo 9, anche B,C,D == 7 (9).
<BR>
<BR>2<sup>a</sup> parte:
<BR>A=4444<sup>4444</sup> deve avere meno cifre di 10000<sup>4444</sup> = 10<sup>4*4444</sup>, che ne ha 17777. Quindi A ha al massimo 17776 cifre decimali.
<BR>Chiaramente il massimo valore possibile per B è 17776*9 = 159984.
<BR>Avendo dunque B al più 6 cifre, C può assumere valori ugali od inferiori a 6*9 = 54. D, infine, è sempre minore o uguale a 13; l\'unico naturale che soddisfa questa condizione ed è congruo a 7 (9) è proprio 7, che è il valore richiesto.<font color=white>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: what il 03-01-2005 13:26 ]

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Marco
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

Allora, devo un po\' di risposte arretrate...
<BR>
<BR>@Enomis: Ho letto rapidamente le tue dimos e grosso modo fungono (anche se sono pesanti e un filo imprecise...). Inoltre non dimostri il \"solo se\". Diciamo che qui le congruenze avrebbero aiutato...
<BR>
<BR>@Poli: Ok. Per farla ancora più breve, potevi dire direttamente che:
<BR>
<BR>Somme e prodotti sono rispettati, quindi 10^k = (-1)^k (11), da cui
<BR>
<BR>x = a_0 + a_1 10^1 + bla bla = a_0 - a_1 + a_2 +- bla bla = y
<BR>
<BR>e perciò x = 0 (11) sse y = 0 (11).
<BR>
<BR>Se vi sono piaciuti i criteri di divisibilità, beh sulla stessa falsa riga si fanno anche i criteri per 2, 3, 4, 5, 8, 10, 25 (che immagino tuuuuutti conoscano, vero??).
<BR>
<BR>@What: Beh, brusca o non brusca, non fa una grinza (e non credo che si possa fare di molto meglio). Btw, la stima per C può essere portata a 45 e quindi per D a 12, anche se il guadagno è totalmente irrilevante...
<BR>
<BR>Ciao. M.[addsig]
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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR><!-- BBCode Start --><B><font color=blue>Problema 5:</font></B><!-- BBCode End --> trovare tutte le terne ordinate che soddisfano la seguente:
<BR>x<sup>2</sup> + 2y<sup>2</sup> = 7z<sup>2</sup>
<BR>con x, y, z € Z
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Ammettiamo che la terna (x,y,z) ∈ Z<sup>3</sup> rappresenti una soluzione alla diofantea proposta, distinta tuttavia dalla soluzione banale (btw, x = y = z = 0).
<BR>In tal caso, anche la terna (x/d,y/d,z/d) soddisfa alla medesima condizione, se d := gcd(x,y,z). <!-- BBCode Start --><I>Ergo</I><!-- BBCode End -->, per il seguito, possiamo supporre gcd(x,y,z) = 1, ossia limitarci a cercare le eventuali terne primitive che risolvono l\'equazione del problema. Operando mod 7:
<BR>
<BR><center>x<sup>2</sup> + 2y<sup>2</sup> = 7z<sup>2</sup> ⇒ x<sup>2</sup> ≡ -2y<sup>2</sup> mod 7.</center>
<BR>
<BR>Del resto, se per assurdo fosse: y ≡ 0 mod 7, ovvero: y<sup>2</sup> ≡ 0 mod 7<sup>2</sup>, si avrebbe banalmente a dedurre, dalla precedente: x<sup>2</sup> ≡ 0 mod 7, e quindi: x ≡ 0 mod 7, donde finalmente: x<sup>2</sup> ≡ 2y<sup>2</sup> ≡ 0 mod 7<sup>2</sup>, di modo che:
<BR>
<BR><center>x<sup>2</sup> + 2y<sup>2</sup> = 7z<sup>2</sup> ⇒ 0 ≡ 7z<sup>2</sup> mod 7<sup>2</sup> ⇒ z ≡ 0 mod 7 ⇒ gcd(x,y,z) ≥ 7 > 1,</center>
<BR>
<BR>assurdo!!! Necessariamente, perciò: gcd(y,7) = 1, e allora y è invertibile mod 7. Sia 1/y il suo inverso aritmetico in Z/7Z. Stante quanto sopra è stato detto:
<BR>
<BR><center>x<sup>2</sup> + 2y<sup>2</sup> = 7z<sup>2</sup> ⇒ x<sup>2</sup> ≡ -2y<sup>2</sup> mod 7 ⇒ (x/y)<sup>2</sup> ≡ -2 mod 7.</center>
<BR>
<BR>La relazione ottenuta suggerisce che la diofantea proposta ammette soluzione in Z solo se è risolvibile in interi la congruenza quadratica u<sup>2</sup> ≡ -2 mod 7, ovvero sse -2 è residuo quadratico mod 7. Questa condizione si realizza sse Leg(-2,7) = 1, ove Leg(m,p) è il simbolo di Legendre di numeratore m e denumeratore p, per ogni m ∈ Z ed ogni primo intero p > 2. Dalle proprietà del simbolo, e in particolare per applicazione del lemma di Gauss sul carattere quadratico di 2:
<BR>
<BR><center>Leg(-2,7) = Leg(-1,7) · Leg(2,7) = (-1)<sup>(7-1)/2</sup> · (-1)<sup>(7<sup>2</sup>-1)/8</sup> = -1,</center>
<BR>
<BR>onde concluderne (per conseguenza di quanto detto sopra) che la diofantea proposta dal nostro what non ammette alcuna soluzione sugli interi (a parte la soluzione banale).
<BR>
<BR>EDIT: <!-- BBCode Start --><I>errata corrige</I><!-- BBCode End -->... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"><font color=white> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 03-01-2005 20:50 ]

Hammond
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Messaggio da Hammond » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-03 20:05, HiTLeuLeR wrote:
<BR>...possiamo supporre gcd(x,y,z) = 1, ossia limitarci a cercare le eventuali terne primitive che risolvono l\'equazione del problema...
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>OK, partendo da questa affermazione propongo un altro modo per arrivare alla sol.
<BR>Considero le congruenze mod 8, in particolare i residui quadratici:
<BR>(4k)<sup>2</sup> == 0 mod 8
<BR>(4k+2)<sup>2</sup> == 4 mod 8
<BR>(2k+1)<sup>2</sup> == 1 mod 8
<BR>Dopo un po\' di sostituzioni vedo che non esiste nessuna configurazione accettabile se non quando x, y e z sono <!-- BBCode Start --><I>ambetre</I><!-- BBCode End --> pari, nel qual caso MCD(x,y,z) è quantomeno 2. Quindi non esiste nessuna terna primitiva che risolva l\'equazione, e di conseguenza nessuna terna in assoluto.
<BR>Anzi no, l\'unica soluzione è (0,0,0) <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-03 20:41, Hammond wrote:
<BR>Anzi no, l\'unica soluzione è (0,0,0) <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Oh, vero... Sono imperdonabile! Non ho considerato il caso in cui x, y e z sono contemporaneamente nulli, e dunque (come da definizione): gcd(x,y,z) := 0. Chiedo umilmente scusa per la mia superficialità... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 03-01-2005 20:46 ]

Hammond
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Messaggio da Hammond » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-03 20:45, HiTLeuLeR wrote:
<BR>Chiedo umilmente scusa per la mia superficialità... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Ma figurati...<IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>Piuttosto.. come fai a usare il simbolo della congruenza? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Hammond il 03-01-2005 20:55 ]

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Messaggio da what » 01 gen 1970, 01:33

Ok per la soluzione di Hammond.
<BR>Posto la mia, di cui vado mooolto fiero.. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>
<BR>Studiamo i residui quadratici mod 7, che troviamo essere 0,1,2,4.
<BR>Gli unici valori per x ed y fra questi che soddisfano l\'equazione sono 0,0.
<BR>Quindi, se x,y == 0 (7), possiamo trasformare l\'equazione in
<BR>7k<sup>2</sup> + 2*7h<sup>2</sup> = z<sup>2</sup>, da cui anche z == 0 (7), => k<sup>2</sup> + 2h<sup>2</sup> = 7p<sup>2</sup>, ove k,q,p sono interi. Di qui chiaramente discesa infinita e la conclusione che l\'unica terna accettabile è (0,0,0).
<BR>
<BR>HiT, veniamo a noi... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>non spendo parole per la \"distrazione\" della terna (0,0,0), piuttosto ti chiedo di spiegarci
<BR>a) come fai ad utilizzare tutti quei simboli matematici (splendida la phi <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> )
<BR>b) cosa siano esattamente l\'inverso aritmetico, il simbolo di Legendre e il lemma di Gauss.
<BR>
<BR>Ovviamente mi basta anche un link a precedenti discussioni o a pagine di mathworld.<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: what il 03-01-2005 21:55 ]

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