[A/N] Viète e Pitagora.

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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-12-26 16:17, Hammond wrote:
<BR>x<sup>2</sup>-(s<sub>1</sub>+s<sub>2</sub>)x+s<sub>1</sub>s<sub>2</sub> = 0
<BR>dove s<sub>1</sub> e s<sub>2</sub> sono le radici dell\'equazione,
<BR>si ha s<sub>1</sub>s<sub>2</sub> = 3q, e poiché q deve essere primo e le due soluzioni devono essere intere, esse valgono 3 e q [...]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Alt, alt, alt... Siamo d\'accordo sul fatto che, se s<sub>1</sub> ed s<sub>2</sub> sono radici dell\'equazione
<BR>x<sup>2</sup> - (6p - 4q)x + 3q = 0, allora: i) s<sub>1</sub>s<sub>2</sub> = 3q; ii) s<sub>1</sub> + s<sub>2</sub> = 6p - 4q. Tuttavia, nell\'ipotesi in cui s<sub>1</sub> ed s<sub>2</sub> siano intere, non è assolutamente vero che la i) implica necessariamente s<sub>1</sub> = 3 ed s<sub>2</sub> = q. Difatti, in linea di principio, potrebbe aversi (ad esempio) s<sub>1</sub> = -3q ed s<sub>2</sub> = -1, oppure s<sub>1</sub> = -3 ed s<sub>2</sub> = -q, e così via...
<BR>
<BR>Quel che cerco di dirti, hammond, è che hai semplificato un po\' troppo un problema che, in fondo, è soltanto una questione di conti!!! Alla luce di queste osservazioni, vedi di completare il discorso, là dove qualcun altro non dovesse precederti...
<BR>
<BR>EDIT: pasticcio con i <!-- BBCode Start --><I>quote</I><!-- BBCode End -->...<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 26-12-2004 18:33 ]

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Poliwhirl
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Messaggio da Poliwhirl » 01 gen 1970, 01:33

Provo a dimostrare le prime 5 proprietà delle congruenze elencate da HiTLeuLeR; vi prego di segnalarmi eventuali (e probabili <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> ) errori o se ci sono dimostrazioni più semplici;
<BR>
<BR>i) a = c mod m e b = d mod m ==> a + b = c + d mod m :
<BR>
<BR>a==c (mod m) ==> a=c+sm; b==d (mod m) ==> b=d+tm;
<BR>a+b= c+d+m(s+t) ==> a+b-(c+d)=m(s+t) ==> m|a+b-(c+d) ==> a+b==c+d (mod m)
<BR>
<BR>ii) a = b mod m <==> a + c = b + c mod m :
<BR>
<BR>a==b (mod m) ==> a=b+sm ==> a+c=b+c+sm ==> a+c-(b+c)=sm ==>
<BR>m|a+c-(b+c) ==> a+c==b+c (mod m);
<BR>
<BR>a+c==b+c (mod m) ==> a+c=b+c+sm ==> a=b+sm ==> a-b=sm ==> m|a-b ==> a==b (mod m);
<BR>
<BR>iii) a = c mod m e b = d mod m ==> ab = cd mod m :
<BR>
<BR>a==c (mod m) ==> a=c+sm; b==d (mod m) ==> b=d+tm;
<BR>ab=(c+sm)(d+tm)=cd+ctm+dsm+stm^2=cd+m(ct+ds+stm) ==>
<BR>ab-cd=m(ct+ds+stm) ==> m|ab-cd ==> ab==cd (mod m)
<BR>
<BR>iv) per ogni k € N: a = b mod m ==> ak = bk mod m :
<BR>
<BR>a==b (mod m) ==> a=b+sm; a^k = (b+sm)^k = b^k+s^k*m^k+m(...)= b^k+m(s^k*m^(k-1))+...) ==> a^k-b^k= m(s^k*m^(k-1)+...) ==> m|a^k-b^k ==> a^k==b^k (mod m)
<BR>
<BR>v) se d | m: a = b mod m ==> a = b mod d :
<BR>
<BR>d|m ==> m==0 (mod d) ==> m=ds; a==b (mod m) ==> a==b (mod ds) ==> ds|a-b ==> d|a-b ==> a==b (mod d)
<BR>
<BR>Bye,
<BR>Poliwhirl
<BR>
<BR>
<BR>
POLIWHIRL

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Ok, whirl! Soltanto volevo farti notare che, a rigore, nel <!-- BBCode Start --><I>proof</I><!-- BBCode End --> della iv), avresti dovuto innanzitutto levarti di torno il caso k = 0, peraltro banale, e quindi supporre per il seguito k > 0. Inoltre, nota che la iv) può anche essere dedotta per induzione dalla iii), così da evitarti il ricorso alle fastidiose sommatorie (che di fatto tu non hai indicato estesamente) derivanti dall\'applicazione del teorema binomiale di Newton. Il resto va bene, anche se qua e là i tuoi argomenti potevano essere raffinati. Sia come sia, hai fatto un buon lavoro. Onore al merito, perciò! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>EDIT: eh, l\'italiondo...<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 27-12-2004 01:14 ]

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Messaggio da enomis_costa88 » 01 gen 1970, 01:33

Grazie, l\'idea me l\'hai data..sapete dove poso trovare qualche testo decente per tentare d\'essere un po\' meno ignorante??? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
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Messaggio da enomis_costa88 » 01 gen 1970, 01:33

Volevo rispondere a quanto detto da HiTLeuLeR, dicendo che ha ragione ma se mi interesso di problemi è solo per divertirmi...quindi è ovvio che quando ci sono troppi conti mi annoio un po\'..e quindi il mio modo di fare matematica è di sicuro lo stesso di chi risolve un cruciverba..be visto che ho ancora 2 anni e mezzo per finire le superiori magari prima o poi diventerò più serio!!!!!! Ma voi geniacci siete tutti in quinta???? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Anch\'io come te, enomis, penso che la Matematica debba innanzitutto divertire chi la fa, e comprendo benissimo il senso del tuo discorso, e lo condivido volentieri (almeno in parte).
<BR>
<BR>[mode pathetic ON]
<BR>
<BR>Tuttavia, scoprirai crescendo che, purtroppo, non sempre quest\'è una condizione possibile, e te lo dice un tizio che si è un po\' \"smaruggiato\" le gonadi stando dietro, per molti anni, alla pseudo-Matematica degli ingegneri...
<BR>
<BR>[mode pathetic OFF]
<BR>
<BR>Ciò detto, goditi la tua età e divertiti con la Matematica che ti piace, ma di tanto in tanto, se puoi, fa\' pure un salto di là dello steccato del giardino...
<BR>
<BR>
<BR>\"Le più felici delle persone, non necessariamente hanno il meglio di ogni cosa; soltanto traggono il meglio da ogni cosa che capita sul loro cammino.\" - Paulo Coelho, da <!-- BBCode Start --><I>Le cose che ho imparato nella vita</I><!-- BBCode End --><font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 27-12-2004 12:55 ]

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Poliwhirl
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Messaggio da Poliwhirl » 01 gen 1970, 01:33

Grazie per i consigli HiTLeuLeR <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> ; ora provo a dimostrare le altre 4 proprietà delle congrenze che hai elencato:
<BR>
<BR>vi) se ac = bc mod m e d := MCD(c, m), allora: a = b mod m/d :
<BR>
<BR>ac==bc (mod m) ==> ac=bc+sm; d=MCD(c,m) ==> d|c e d|m;
<BR>ac/d = (bc+sm)/d ==> ac<sub> 1 </sub> = bc<sub> 1 </sub> + sm<sub> 1 </sub>; poiché d=MCD(c,m) c<sub> 1 </sub> e m<sub> 1 </sub> sono coprimi; ac<sub> 1 </sub> = bc<sub> 1 </sub> + sm<sub> 1 </sub> ==> ac<sub> 1 </sub>-bc<sub> 1 </sub>=sm<sub> 1 </sub> ==> m<sub> 1 </sub>|c<sub> 1 </sub>(a-b); poiché c<sub> 1 </sub> e m<sub> 1 </sub> sono coprimi, m<sub> 1 </sub>|a-b ==> a==b (mod m<sub> 1 </sub>); ricordando che m<sub> 1 </sub> = m/d allora a==b (mod m/d);
<BR>
<BR>vii) se ac = bc mod m e c è coprimo con m, allora: a = b mod m :
<BR>
<BR>dimostrazione analoga alla precedente: ac==bc (mod m) ==> ac=bc+sm ==> ac-bc=sm ==> m|c(a-b); poiché c e m sono coprimi tra loro m|a-b ==> a==b (mod m)
<BR>
<BR>viii) se a = b mod m ed a = b mod n ==> a = b mod mcm(m, n) :
<BR>
<BR>a==b (mod m) ==> m|a-b, quindi ogni fattore di m divide a-b;
<BR>a==b (mod n) ==> n|a-b, quindi ogni fattore di n divide a-b;
<BR>Poiché m.c.m.(m,n) è il prodotto dei fattori comuni, presi col massimo esponente, e non comuni di m e n, e tutti i fattori di m, n dividono a-b, allora m.c.m.(m,n)|a-b ==> a==b (mod m.c.m.(m,n))
<BR>
<BR>ix) la congruenza modulo m è una relazione di equivalenza sugli interi (tecnico) :
<BR>
<BR>La congruenza modulo m per essere una relazione di equivalenza deve godere delle seguenti proprietà:
<BR>
<BR>-riflessiva: a==a (mod m) cioé m|a-a , o meglio m|0, il che è vero.
<BR>
<BR>-simmetrica: a==b (mod m) ==> b==a (mod m) :
<BR>a==b (mod m) ==> a=b+sm ==> b-a=-sm ==> m|b-a ==> b==a (mod m)
<BR>
<BR>-transitiva: a==b (mod m) e b==c (mod m) ==> a==c (mod m)
<BR>a==b (mod m) ==> a=b+sm ==> a-b=sm; b==c (mod m) ==> b=c+tm ==> b-c=tm; sommiamo membro a membro a-b=sm e b-c=tm e otteniamo a-c=m(s+t) ==> m|a-c ==> a==c (mod m)
<BR>
<BR>Godendo delle tre proprietà, riflessiva, simmetrica e transitiva, la congruenza è, quindi, una relazione d\'equivalenza c.v.d..
<BR>
<BR>Qualcuno può proporre qualche altro semplice esercizio (per chi è alle prime armi con l\'argomento come me) da risolvere con le congruenze?
<BR>Grazie,
<BR>Poliwhirl<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Poliwhirl il 27-12-2004 14:05 ]
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-12-27 14:04, Poliwhirl wrote:
<BR>vi) se ac = bc mod m e d := MCD(c, m), allora: a = b mod m/d :
<BR>
<BR>m<sub> 1 </sub>|c<sub> 1 </sub>(a-b); poiché c<sub> 1 </sub> e m<sub> 1 </sub> sono coprimi, m<sub> 1 </sub> | a-b.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Per quanti se lo stessero chiedendo, aggiungo soltanto che l\'implicazione logica indicata da whirl è conseguente al cosiddetto 1° teorema di Euclide dell\'Aritmetica (\"se a, b, c sono numeri interi, a è diverso dallo zero ed MCD(a,c) = 1, allora a | bc soltanto se a | b\").
<BR>
<BR>Si noti inoltre come la vii) discende immediatamente dalla vi), ponendo d = 1. Il resto va decisamente bene, bravo whirl! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>EDIT: un \"se\" di troppo... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 27-12-2004 15:45 ]

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

In ogni caso, il problema 1 è ancora in attesa di soluzione!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">

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Messaggio da enomis_costa88 » 01 gen 1970, 01:33

ringrazio HiTLeuLeR per i suoi consigli e di sicuro ha ragione...non posso rimanere sedicenne per sempre.. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
<BR>ma per ora, per fortuna, lo sono!!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
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Messaggio da Poliwhirl » 01 gen 1970, 01:33

up!
<BR>
<BR>Problema 1: trovare tutte le coppie (p,q) di numeri primi naturali tali che l\'equazione x^2 - (6p - 4q)x + 3q = 0 abbia due radici intere.
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Poliwhirl il 28-12-2004 15:55 ]
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Messaggio da enomis_costa88 » 01 gen 1970, 01:33

ho provato ad approfondire le congruenze e qualcosina(pochissimo..) lo anche capito!!!
<BR>ho trovato un problema che credo (non ne sono per niente sicuro!!!) si possa risolvere anche con le congruenze:
<BR>la congrunza
<BR>2x^2==35 (mod3a^2) vorreri sapere se ha soluzioni o no e se le ha di che tipo sono...chiedo inoltre se è possibile di scrivere la risposta in temini comprensibili anche da me!!!grazie a chiunque possa rispondere.
"Tu che lo vendi cosa ti compri di migliore?"

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Messaggio da Hammond » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-12-27 15:46, HiTLeuLeR wrote:
<BR>In ogni caso, il problema 1 è ancora in attesa di soluzione!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>eh già! ...ehm... un aiutino? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>up!

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Messaggio da Poliwhirl » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-12-30 20:13, Hammond wrote:
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-12-27 15:46, HiTLeuLeR wrote:
<BR>In ogni caso, il problema 1 è ancora in attesa di soluzione!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>eh già! ...ehm... un aiutino? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>up!
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Io ci sto pensando da giorni e sono solo arrivato alla conclusione che c\'è un numero molto alto di coppie (forse infinite) e non posso dare una formula generale per esprimerle tutte.... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> Evidentemente ho sbagliato qualcosa ma non capisco cosa... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> Qualcuno (anche qualcuno fra i più esperti problem solver) posti la soluzione, per favore.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Poliwhirl il 31-12-2004 00:49 ]
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Messaggio da ReKaio » 01 gen 1970, 01:33

x^2 - (6p - 4q)x + 3q = 0
<BR>
<BR>il prodotto delle radici (intere) è 3q, la somma 6p-4q
<BR>le coppie di divisori di 3q sono relativamente poche... si possono pure studiare tutte a mano ^^
_k_

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