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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Altri due problemini... Se posso permettermi, suggerirei ai più ferrati nel campo del <!-- BBCode Start --><I>problem solving</I><!-- BBCode End --> di lasciare spazio agli \"anonimi\". E\' giusto che anche loro, di tanto in tanto, possano dire la propria. Su, ragazzi, fatevi avanti! Temete forse di prendere delle cantonate? Beh, guardate il lato positivo della faccenda: imparerete molto più in fretta la lezione... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>-------------
<BR>
<BR><font color=green><!-- BBCode Start --><B>Problema 1:</B><!-- BBCode End --></font> trovare tutte le coppie (p,q) di numeri primi naturali tali che l\'equazione x^2 - (6p - 4q)x + 3q = 0 abbia due radici intere.
<BR>
<BR><font color=green><!-- BBCode Start --><B>Problema 2:</B><!-- BBCode End --></font> mostrare che in una terna pitagorica primitiva c\'è sempre e solo un pari, e questo è uno dei due numeri più piccoli.
<BR>
<BR>------------
<BR>
<BR>Btw, il primo problema mi è stato proposto da b0nobo, il secondo da un vecchio frequentatore del forum, adesso non più \"attivo\"... Ciao, pazqo! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
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<BR>
<BR>\"Verrà un giorno...\" - fra\' Cristoforo

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enomis_costa88
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Messaggio da enomis_costa88 » 01 gen 1970, 01:33

<IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> Il primo problema è lo stesso di febbraio 2004..ed è solo calcolo!!! non ricordo bene le soluzioni ma dopo avere trovato le radici dovevi vedere quando erano il delta è un quadrato...tutto noiosissimo calcolo!!!il secondo è carino e credo che ci pensero un po\'.. Buon Natale a tutti..
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Poliwhirl
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Messaggio da Poliwhirl » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-12-24 17:31, HiTLeuLeR wrote:
<BR>
<BR><font color=green><!-- BBCode Start --><B>Problema 2:</B><!-- BBCode End --></font> mostrare che in una terna pitagorica primitiva c\'è sempre e solo un pari, e questo è uno dei due numeri più piccoli.
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Chiamiamo (a,b,c) una qualsiasi terna pitagorica tale che a^2+b^2=c^2; sappiamo che le formule a=v^2-u^2, b=2uv, c=v^2+u^2 dove u e v sono numeri interi positivi, primi tra loro e non entrambi dispari, con v>u, rappresentano tutte le terne pitagoriche primitive. Dall\'enunciato precedente, u e v sono uno pari e l\'altro dispari. La differenza di quadrati di 2 numeri uno pari e l\'altro dispari è dispari, infatti: (2k+1)^2-(2t)^2= 4k^2+4k+1-4t^2= 2(2k^2+2k-2t)+1 che è della forma 2x+1 quindi dispari; allo stesso modo: (2t)^2-(2k+1)^2= 4t^2-4k^2-4k-1= 2(2t^2-2k^2-2k)-1 che della forma 2x-1 quindi dispari; segue che a è sempre dispari (a=v^2-u^2). Analogamente la somma di quadrati di due numeri uno pari e l\'altro dispari è sempre dispari, infatti: (2k+1)^2+(2t)^2= 4k^2+4k+1+4t^2= 2(2k^2+2k+2t)+1 che è della forma 2x+1 quindi dispari; segue che anche c è sempre dispari (c=v^2+u^2). Invece, poiché uguale a 2uv, b è sempre pari. Poiché b è un cateto del triangolo corrispondente alla terna, è, quindi, anche uno dei due numeri più piccoli della terna; così la tesi è dimostrata.
<BR>
<BR>Bye,
<BR>Poliwhirl<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Poliwhirl il 24-12-2004 21:59 ]
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Hammond
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Messaggio da Hammond » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-12-24 17:31, HiTLeuLeR wrote:
<BR>
<BR><font color=green><!-- BBCode Start --><B>Problema 2:</B><!-- BBCode End --></font> mostrare che in una terna pitagorica primitiva c\'è sempre e solo un pari, e questo è uno dei due numeri più piccoli.
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Abbiamo che a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>=c<sup>2</sup>
<BR>Sappiamo che:
<BR>- (2k)<sup>2</sup> == 0 mod 4
<BR>- (2k+1)<sup>2</sup> == 1 mod 4
<BR>
<BR>Dunque:
<BR>
<BR>-<!-- BBCode Start --><I>non ci può essere più di un pari:</I><!-- BBCode End -->
<BR>se due tra a, b e c fossero pari, i loro quadrati sarebbero == 0 mod 4, e per mantenere l\'uguaglianza lo dovrebbe essere anche il terzo; ma allora la terna non sarebbe primitiva, perché semplificabile per 2.
<BR>
<BR>-<!-- BBCode Start --><I>non possono essere tutti dispari:</I><!-- BBCode End -->
<BR>se lo fossero, si vede sempre dalle congruenze mod 4 che l\'uguaglianza non sarebbe verificata
<BR>
<BR>con questo si dimostra che in una terna primitiva c\'è sempre e solo un pari; per verificare che non è il maggiore basta notare che, ragionando sulle solite congruenze, ponendo i due dispari a primo membro l\'uguaglianza non è soddisfatta.
<BR>
<BR>ciao e buon Natale a tutti <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

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enomis_costa88
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Messaggio da enomis_costa88 » 01 gen 1970, 01:33

ho provato a risolverlo anche io partendo dalla differenza di 2 quadrati pari che è ancora pari (2n+2a)^2-(2n)^2=4a^2+8na, che è semplificabile.quindi non sono tutti pari,e non possono essercene nemmeno 2 pari(anche la somma di due quadrati di numeri pari è ancora semplificabile per 2)ma i pari sono al massimo1.
<BR>Inoltre la differenza di due quadrati di numeri dispari è pari (2n+1)^2-(2a+1)^2=4(n^2+n-a^2-a)e lo stesso vale per la somma quindi i dispari sono 2 e uno e sicuramente pari.non sono però riuscito a dimostrare che deve essere uno dei minori...poi ho provato a leggere la dimostrazione di \"Hammond\" e non ci ho capito nulla..cosa sarebbe una congruenza???e== mod??? scusate la mia inmmensa ignoranza <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
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Messaggio da enomis_costa88 » 01 gen 1970, 01:33

ho provato a risolverlo anche io partendo dalla differenza di 2 quadrati pari che è ancora pari (2n+2a)^2-(2n)^2=4a^2+8na, che è semplificabile.quindi non sono tutti pari,e non possono essercene nemmeno 2 pari(anche la somma di due quadrati di numeri pari è ancora semplificabile per 2)ma i pari sono al massimo1.
<BR>Inoltre la differenza di due quadrati di numeri dispari è pari (2n+1)^2-(2a+1)^2=4(n^2+n-a^2-a)e lo stesso vale per la somma quindi i dispari sono 2 e uno e sicuramente pari.non sono però riuscito a dimostrare che deve essere uno dei minori...poi ho provato a leggere la dimostrazione di \"Hammond\" e non ci ho capito nulla..cosa sarebbe una congruenza???e== mod??? scusate la mia inmmensa ignoranza <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Visto, che ognuno dice la sua, dirò anch\'io la mia.
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR><font color=green><!-- BBCode Start --><B>Problema 2:</B><!-- BBCode End --></font> mostrare che in una terna pitagorica primitiva c\'è sempre e solo un pari, e questo è uno dei due numeri più piccoli.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Ricordiamo che se tre numeri a,b,c sono in terna pitagorica, allora per qualche u,v€N
<BR>a=u<sup>2</sup>+v<sup>2</sup>
<BR>b=u<sup>2</sup>-v<sup>2</sup>
<BR>c=2uv
<BR>Per ovvi motivi a>=b e a>=c, quindi a è ipotenusa. Ora è chiaro che se u e v sono cocongrui mod 2 (si dice così???) la terna non è primitiva, se sono discongrui avremo un solo pari è sarà un cateto.
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)

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karl
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Alla terna indicata da boll si puo\' dare
<BR>anche la forma:
<BR>a=2n+1,b=2n(n+1),c=n^2+(n+1)^2
<BR>da cui si ricava la tesi (almeno credo).
<BR>

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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Ehm, Euler, magari mi sbaglio, ma non è...
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR><font color=green><!-- BBCode Start --><B>Problema 1:</B><!-- BBCode End --></font> trovare tutte le coppie (p,q) di numeri primi naturali tali che l\'equazione x^2 - (6p - 4q)x + 3<!-- BBCode Start --><B>p</B><!-- BBCode End -->q = 0 abbia due radici intere.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>????
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)

Hammond
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Messaggio da Hammond » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-12-25 17:05, enomis_costa88 wrote:
<BR>ho provato a leggere la dimostrazione di \"Hammond\" e non ci ho capito nulla..
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>oh, be\', neanch\'io se è per quello... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>cosa sarebbe una congruenza??? e== mod???
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Non sono certo il più adatto a spiegarlo, ma farò del mio meglio.
<BR>prima di tutto qualche informazione sulla notazione:
<BR>quello che ho indicato come == si legge \"congruo\", ma la scrittura giusta è una specie di uguale con tre lineette anziché due (credo sia lo stesso simbolo di equivalente (negli insiemi), ma non sono sicuro)
<BR>\'mod\' sta per \"modulo\";
<BR>detto questo, la definizione di congruenza <!-- BBCode Start --><I>dovrebbe</I><!-- BBCode End --> essere qualcosa del genere:
<BR>
<BR>a == b (modulo m) se e solo se m divide (a-b) dove a, b, m sono interi.
<BR>
<BR>Intuitivamente si può dire che b è il resto di a­÷m.
<BR>Spero di aver dato almeno un\'idea ma soprattutto di non aver scritto boiate, per cui se qualcuno più esperto volesse esporre meglio il concetto ne sarei grato. Ciao.
<BR>
<BR>Andrea

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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-12-24 19:54, enomis_costa88 wrote:
<BR>Il primo problema è lo stesso di febbraio 2004... ed è solo calcolo!!!
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Boh, a me non l\'hanno mica detto, quando m\'è stato proposto! Inoltre, sono pure andato a verificare se fosse realmente come tu hai dichiarato, e in verità... Nel testo della gara di febbraio 2004, si legge di un problema simile, d\'accordo, ma non esattamente dello stesso... Comunque, hai parzialmente ragione sul resto: è (quasi) soltanto una questione di puro calcolo. E allora?!? Per caso ti ritieni tanto bravo da poterti permettere il lusso di snobbare i problemi calcolosi? Beh, in tutta sincerità, se è così, sono molto contento per te...
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>[...] <!-- BBCode Start --><I>non ricordo bene le soluzioni</I><!-- BBCode End --> ma [...]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Wow, bel modo di fare Matematica! Mi ricorda vagamente la maniera di incrociare i cruciverba, ma vabbe\'... Come si dice? A ciascuno il suo, giusto?
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>[...] dopo avere trovato le radici dovevi vedere quando erano il delta è un quadrato... tutto noiosissimo calcolo!!!
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Ecco, forse è anche per questo che ti ha annoiato così tanto! Non hai colto il suggerimento contenuto nel titolo del topic, tutto qui! Il problema resta \"noioso\" in ogni caso, ma forse un po\' meno che altrimenti...
<BR>
<BR>EDIT: eh, l\'italiano...
<BR>
<BR>Ciao,
<BR>- salvatore tringali
<BR>
<BR>
<BR>\"Ed io che sono cresciuto nutrendo la falsa convinzione che suor Germana fosse un\'anatra tramutata in una monaca da\' malefici sortilegi d\'una qualche strega. O me infelice, quale colpo scoprire un dì la verità...\" - HiTLeuLeR<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 26-12-2004 15:20 ]

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-12-24 20:57, Poliwhirl wrote:
<BR>Chiamiamo (a,b,c) una qualsiasi terna pitagorica tale che a^2+b^2=c^2; sappiamo che le formule a=v^2-u^2, b=2uv, c=v^2+u^2 dove u e v sono numeri interi positivi, primi tra loro e non entrambi dispari, con v > u, rappresentano <!-- BBCode Start --><B>tutte</B><!-- BBCode End --> le terne pitagoriche primitive.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Non esattamente... Tutte e sole le terne pitagoriche primitive sono della forma (a,b,c) o (b,a,c), dove a, b e c sono numeri interi (positivi) del tipo che tu hai giust\'appunto indicato, whirl. O forse le tue terne sono disordinate? Sia come sia, in quanto al resto, mi sembra tutto ok. Soltanto prova a prendere dimestichezza con le congruenze, sull\'esempio di hammond. Di norma ti semplificano la vita, e si sa che la vita del <!-- BBCode Start --><I>problem solver</I><!-- BBCode End --> è di per sé già piuttosto problematica, per cui... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>@Hammond: sì, tutto a posto.
<BR>
<BR>@Boll: \"cocongrui\" e \"discongrui\"?!? Ma lol... E se ti esprimessi in termini convenzionali, parlando di numeri \"congrui\" o \"incongrui\" modulo quel che ti pare, mmmh? Boh, se vuoi, possiamo tentare di raccogliere un po\' di firme per una petizione, chissà che l\'Accademia non accolga la proposta di \"ratificare\" l\'uso dei tuoi cacofonici neologismi natalizi... In quanto al problema n° 1, non c\'è nessuna correzione da apportare alla traccia. Ho riscritto il quesito esattamente nei termini in cui mi è stato proposto, punto!!!
<BR>
<BR>@karl: sì, lo <!-- BBCode Start --><I>credo</I><!-- BBCode End --> anch\'io... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>
<BR>EDIT: mi ero perso per strada il messaggio di karl!!!
<BR>
<BR>
<BR>\"Grazie a Dio, sono ateo!\" - un grande uomo di fede<font color=white> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 26-12-2004 16:01 ]

Hammond
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Messaggio da Hammond » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-12-24 17:31, HiTLeuLeR wrote:
<BR><font color=green><!-- BBCode Start --><B>Problema 1:</B><!-- BBCode End --></font> trovare tutte le coppie (p,q) di numeri primi naturali tali che l\'equazione x^2 - (6p - 4q)x + 3q = 0 abbia due radici intere.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Be\', proviamoci.
<BR>Cogliendo l\'astuto suggerimento del titolo <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> e scrivendo l\'equazione nella forma
<BR>x<sup>2</sup>-(s<sub>1</sub>+s<sub>2</sub>)x+s<sub>1</sub>s<sub>2</sub> = 0
<BR>dove s<sub>1</sub> e s<sub>2</sub> sono le radici dell\'equazione,
<BR>si ha s<sub>1</sub>s<sub>2</sub> = 3q, e poiché q deve essere primo e le due soluzioni devono essere intere, esse valgono 3 e q;
<BR>uguagliando la loro somma (3+q) al termine di primo grado del testo (cambiato di segno), si ottiene
<BR>6q - 5p = 3.
<BR>Si trova subito che una soluzione della diofantea è
<BR>p=3, q=3.
<BR>Sappiamo poi che per averne un\'altra si deve aggiungere a quella trovata una qualsiasi soluzione della diofantea omogenea associata, in questo caso
<BR>6p - 5q = 0, che ha per soluzioni p=5t, q=6t al variare di t in Z.
<BR>Ricapitolando, le soluzioni della diofantea di partenza sono
<BR>p=3+5t, q=3+6t
<BR>ma q si fattorizza in 3(2t+1), che è un primo naturale solo per t=0.
<BR>Quindi l\'unica coppia che soddisfa le richieste del problema è (3,3).
<BR>O almeno spero.<font color=white>
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Hammond il 26-12-2004 16:21 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Hammond il 26-12-2004 16:32 ]

Hammond
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Messaggio da Hammond » 01 gen 1970, 01:33

A proposito, qualcuno sa dove posso trovare su internet i testi delle ultime gare di febbraio non zippati?

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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-12-26 13:32, Hammond wrote:
<BR>Spero di aver dato almeno un\'idea ma soprattutto di non aver scritto boiate, per cui se qualcuno più esperto volesse esporre meglio il concetto ne sarei grato.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Non mi sento \"più esperto\", ma ci proverò lo stesso... Dunque, dati genericamente tre interi a, b, m tali che m sia diverso da zero, diciamo che a è congruo a b modulo m, e scriviamo: a = b mod m, sse m | a-b, ovvero (così si legge) sse m divide a-b. Si dice che a e b sono gli operandi della congruenza, ed m ne rappresenta il modulo.
<BR>
<BR>L\'affermazione di hammond, sul fatto che, là dove a sia congruo a b modulo m, si possa identificare b con il resto della divisione intera di a per m, andrebbe in vero spiegata più diffusamente. Difatti, è pacifico che: 7 = 19 mod 2, e ciò nondimeno 19 non è certo il resto della divisione intera di 7 per 2...
<BR>
<BR>Probabilmente, hammond intendeva riferirsi ad una delle più elementari, quanto importanti, proprietà delle congruenze, secondo cui due interi a e b sono tali che a è congruo a b modulo m sse i resti delle divisioni intere di a e b per m, rispettivamente, sono uguali fra loro. Così: 7 = 19 mod 2, dacché i resti delle divisioni intere di 7 e 19 per 2 sono entrambi eguali ad 1.
<BR>
<BR>Per inciso, vorrei soltanto aggiungere che, in linea di principio, la relazione di congruenza, così come qui introdotta, si generalizza tale e quale (più o meno) anche a strutture algebriche più ricche dell\'anello Z degli interi ordinari. Così, ad esempio, se x ed y sono numeri reali, si può scrivere che: x = y mod 2pi intendendo con ciò ch\'esiste un qualche intero k tale che: x - y = 2kpi.
<BR>
<BR>Eccovi un breve elenco delle proprietà di base delle congruenze sugli interi, che vi inviterei a dimostrare per conto vostro onde acquisire un po\' di manualità con l\'argomento. Da utente, mi permetto di ricordarvi che, per qualsiasi dubbio vi dovesse sorgere, potete sempre rivolgervi al forum. Di certo, qualcuno non tarderà a rispondere.
<BR>
<BR>Dunque, se a, b, c, d, m, n ∈ Z e m ed n sono diversi dallo zero, allora:
<BR>
<BR>i) a = c mod m e b = d mod m ==> a + b = c + d mod m;
<BR>ii) a = b mod m <==> a + c = b + c mod m;
<BR>iii) a = c mod m e b = d mod m ==> ab = cd mod m;
<BR>iv) per ogni k ∈ N: a = b mod m ==> a<sup>k</sup> = b<sup>k</sup> mod m;
<BR>v) se d | m: a = b mod m ==> a = b mod d;
<BR>vi) se ac = bc mod m e d := gcd(c, m), allora: a = b mod m/d;
<BR>vii) se ac = bc mod m e c è coprimo con m, allora: a = b mod m;
<BR>viii) se a = b mod m ed a = b mod n ==> a = b mod mcm(m, n).
<BR>ix) la congruenza modulo m è una relazione di equivalenza sugli interi (tecnico).
<BR>
<BR>Ciao, e buon lavoro!
<BR>- salvatore tringali<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 04-01-2005 01:09 ]

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