[A] Quadrati e rettangoli

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emcuno
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Messaggio da emcuno » 01 gen 1970, 01:33

sqrt(b<sup>2</sup>-4ac)
<BR>dimostrare che esistono infinite coppie <i>b; c</i> di interi positivi tali che la radice del discriminante di un\'equazione di 2° grado sia un intero positivo.
<BR>(si considerino i casi in cui a=1)
<BR>Esempi:
<BR>per b=3; c=2 si ha:
<BR>sqrt(3<sup>2</sup>-4*2)=sqrt(9-8)=1
<BR>
<BR>per b=5; c=6 si ha:
<BR>sqrt(5<sup>2</sup>-4*6)=sqrt(25-24)=1
<BR>
<BR>per b=5; c=4 si ha:
<BR>sqrt(5<sup>2</sup>-4*4)=sqrt(25-16)=3
<BR>
<BR>Merry christmas omnibus!
<BR>Buon natale a tutti![addsig]

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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Poniamo b<sup>2</sup>=c<sup>2</sup>+6c+1 e dovremo avere la tesi
<BR>
<BR>EDIT: Scusate, scrito di fretta<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 24-12-2004 17:04 ]
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)

emcuno
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Messaggio da emcuno » 01 gen 1970, 01:33

Sì, giusto Boll, ma forse intendevi dire
<BR>b<red><sup>2</sup></red>=c<sup>2</sup>+6c+1[addsig]

Hammond
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Messaggio da Hammond » 01 gen 1970, 01:33

Boll, se ho capito bene le tue intenzioni, bisognerebbe porre b<sup><!-- BBCode Start --><B>2</B><!-- BBCode End --></sup> = c<sup>2</sup>+6c+1, che non assicura che b sia intero.
<BR>Una soluzione secondo me potrebbe essere c = b-1, valida per ogni b intero maggiore di 2.
<BR>boh, attendo conferme (o legnate, dipende... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> )

Hammond
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Messaggio da Hammond » 01 gen 1970, 01:33

Scusa emcuno, non avevo visto il tuo post...ehm...sono un bel po\' lento a scrivere <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

Il problema cmq resta, Hammod, bisogna provare che la difoantea di emcuno ha infinite soluzioni!
<BR>Cmq la tua soluzione mi pare corretta!
<BR>
<BR>Se vogliamo, si può considerare anche a diverso da 1 e porre
<BR>
<BR>b^2=c^2+(2a)^2
<BR>
<BR>negli infiniti modi in cui (2a,c,b) sono una terna pitagorica..

emcuno
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Messaggio da emcuno » 01 gen 1970, 01:33

Figurati Hammond, modestamente anch’io soffro della stessa lentezza!
<BR>
<BR>OK, info, hai risolto l’esercizio! A dispetto di quanto afferma info, mi pare proprio che anche Hammond lo abbia risolto correttamente, per giunta includendo un numero maggiore di casi!
<BR>Complimenti!
<BR>
<BR>Ma perché ogni volta che propongo un problema me lo risolvete con una soluzione più elegante di quella che avevo pensato? Grrr… adesso vi sistemo io! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>Rilancio il problema con questa sfida:
<BR><i>determinare </i><b>tutte</b><i> le possibili coppie </i>b, c<i> (come si è visto, infinite) per cui la radice del discriminante è un intero.</i>
<BR>(con <i>determinare</i> intendo “esprimere in modo indiretto”. Ad esempio, i numeri pari si “determinano” con l’espressione <i>2n</i>. Scusatemi per la terminologia inappropriata; sarei infinitamente grato nei confronti di chi potesse suggerirmi un termine più conciso).
<BR>Infatti, con la Hammond-procedura, sappiamo che per (b=6; c=5) la radice del discriminante è intera, ma lo è anche per (b=5; c=8 ).
<BR>Se lo preferite, considerate <i>a</i> diverso da 1.
<BR>
<BR><font color=\"blue\"><i>La goccia scava la roccia</i><font color=\"black\"> (Ovidio; Lucrezio; Tibullo; Seneca)</font><font color=\"white\">
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: emcuno il 25-12-2004 20:28 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: emcuno il 25-12-2004 20:29 ]

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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

Calma...io intendevo che la sol di Boll corretta da tè nn andava bene..
<BR>
<BR>Infatti:
<BR>
<BR>b^2=c^2+6c+1
<BR>richiede che il delta di ciò sia un quadrato
<BR>c^2+6c+(1-b^2)=0
<BR>
<BR>9+b^2-1=f^2
<BR>
<BR>f^2-b^2=8
<BR>
<BR>e l\'ultima equazione và bene solo per un numero limitato di casi (uno!)..
<BR>
<BR>A quella di Hammond avevo già dato il mio benestare ma ho aggiunto la mia perchè nn aveva il difetto di porre a=1...

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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

Va bè...
<BR>
<BR>Considero a=1 perchè nn ho voglia di altro ora:
<BR>
<BR>b^2-4c=t^2
<BR>
<BR>b^2-t^2=4c
<BR>
<BR>Si può trovare un c corrispondente se e solo se la differenza tra i quadrati è divisibile per 4. Se è divisibile per 4, i due quadrati devono avere almeno uguale parità, per essere pari la loro differenza. Se sono entrambi pari la differenza è divisibile almeno per 4. Se sono entrambi dispari la differenza è divisibile addirittura per 8..
<BR>
<BR>Tutto ciò ci porta a dire che ad ogni b e t di uguale parità è associabile un c. Volendo esprimere bene la diofantea:
<BR>
<BR>b^2-4* [(b^2-t^2)/4]=t^2
<BR>
<BR>con b e t che hanno la medesima parità...ovvero le coppie sono
<BR>
<BR>[b, (b^2-t^2)/4]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 25-12-2004 21:50 ]

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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

aggiungo solo questo, poi basta (per ora).
<BR>
<BR>Se t=(b-2), viene (b,b-1) la coppia di Hammond... ciao <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 25-12-2004 21:56 ]

emcuno
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Messaggio da emcuno » 01 gen 1970, 01:33

Ottimo! Il 2° problema è stato risolto!
<BR>
<BR>Io ho ragionato in maniera molto simile:
<BR>t=sqrt(b^2-ac)
<BR>d=(b-t)/2
<BR>com’è facilmente intuibile, se <i>b-t</i> è pari, <i>d</i> è intero.
<BR>
<BR>b<sup>2</sup>=(t+2d)<sup>2</sup>=t^2+4[d(t+d)].
<BR>Nell’espressione d(t+d) operiamo con la sostituzione di <i>d</i> e abbiamo [(b-t)/2][t+(b-t)/2]
<BR>Quindi le coppie (con a=1) sono:
<BR>[ b; [(b-t)/2][t+(b-t)/2] ]
<BR>Inutile dire che il metodo di info è più lineare… perciò non lo dirò <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>
<BR>Sfida 2: si può considerare anche il caso generale in cui </i>a</i> è diverso da 1? (quest\'ultimo questito esula dalle mie capacità, peraltro limitate).
<BR>
<BR><font color=\"blue\"><i>La goccia scava la roccia</i><font color=\"black\"> (Ovidio; Lucrezio; Tibullo; Seneca)</font><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: emcuno il 25-12-2004 23:21 ]

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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

se consideriamo a diverso da 1, nel ragionamento di sopra considera (ac) al posto di c. Quindi ti basta alla fine fattorizzare (b^2-t^2)/4 come a*c...magari si può tirare fuori anche altro ma bisognerebbe sapere cosa si vuole di preciso (una fattorizzazione di quella roba in funzione di b e t in primi mi pare mooolto improbabile!)....
<BR>
<BR>Beh: chiudo quà. Cmq il problema (credo inventato da tè) è simpatico. Ciao!

emcuno
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Messaggio da emcuno » 01 gen 1970, 01:33

Grazie! Ciao![addsig]

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